2019-2020学年福建省龙岩一中实验班高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年福建省龙岩一中实验班高一(下)期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若0≤x≤2π，√1+2sin2x=sinx+cosx，则x的取值范围是()
A. {0,π}
B. [π
4,5π4
]
C. [π
2,3π
4
]∪[5π
4
,2π] D. [0,3π
4
]∪[7π
4
,2π]
2.阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填人的条
件为
A. i≤4
B.
C. i≤6
D. i≤7
3.向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,3)，若m a⃗−n b⃗ 与a⃗+2b⃗ 共线，其中(m、
n∈R，且n≠0)，则m
n
=()
A. −1
2B. 2 C. 1
2
D. −2
4.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进
行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()
A. 不全相等
B. 均不相等
C. 都相等
D. 无法确定
5.已知a⃗=(5,12),|a⃗−b⃗ |=3，则|b⃗ |的取值范围是()
A. [9,15]
B. [10,16]
C. [11,17]
D. [12,18]
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=√10.△ABC的周长为5+√10，(sinB−
sinC)2=sin2A−sinBsinC，则△ABC的面积为()
A. 5
4B. 5√3
2
C. 5√3
4
D. 15√3
4
7.sin7π
12
的值为()
A. √6+√2
4B. −√6+√2
4
C. √6−√2
4
D. −√6−√2
4
8.样本中共有五个个体，其值分别为−1，0，2，3，a，若该样本的平均值为1，则样本方差为()
A. √6
5B. 6
5
C. √2
D. 2
9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
A. 225
B. 196
C. 169
D. 144
10.在△ABC中，∠A=60°，a=√6，b=√7，满足条件的△ABC()
A. 不能确定
B. 无解
C. 有一解
D. 有两解
11.已知向量a⃗=(−x,1)，b⃗ =(x,tx)，若函数f(x)=a⃗⋅b⃗ 在区间[−1,1]上不是单调函数，则实数t
的取值范围是()
A. (−∞,−2]∪[2,+∞)
B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−2,2)
D. [−2,2]
12.已知函数f(x)=log2(√x2+1−x)+1−e x
1+e x
+2，则不等式f(2sin2x−1)>2，x∈(0,π)的解集为()
A. (π
6,π
2
) B. (π
3
,2π
3
)
C. (π
12,5π
12
) D. (0,π
12
)∪(5π
12
,π)
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.从含有8 000个个体的总体(编号为0000，0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，若采
用系统抽样(等距抽样)，已知最后一个入样编号是7894，则开头第一个个入样编号是______ ．14.已知关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：
x23456
y 2.2 3.8 5.5 6.57.0
由表可得线性回归方程ŷ=b̂x+0.08，若规定当维修费用y>12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为______．
15.若关于x的方程cos2x−sinx+a=0在[0,π]内有解，则实数a的取值范围是______ ．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy = (1) ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2) ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段
[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的频率分布直方图． (1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；
(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．
18. 已知向量a ⃗ =(cosα,sinα),b ⃗ =(cosx,sinx)，c
⃗ =(sinx +2sinα,cosx +2cosα)，其中0<α<x <π
(1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π
3，且a
⃗ ⊥c ⃗ ，求tan2α的值； (2)若α=π
4，求函数f(x)=b ⃗ ⋅c ⃗ 的最小值及相应的x 的值．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a2=(b−c)2+(2−√3)bc，又
sinAsinB=1+cosC
2
．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=2，求△ABC的面积S．
20.已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin(θ−π
4),cos(θ−π
4
))，且|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |.
(1)求tan(θ−π
4
)的值；
(2)若θ−π
4∈(0,π
2
)，求cosθ的值．
21.18.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=(a−b,c−a)，n=(a+b,c)且m·n=0。

(I)求角B的大小；
(Ⅱ)求函数f(A)=sin的值域。

22.已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx−√3
2,且f(0)=√3
2
,f(π
4
)=1
2
．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：
，
∴sinx+cosx≥0，
即，
又，
所以，
故选D．
已知等式左边被开方数利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用完全平方公式及二次根式的性质化简，得到sinx+cosx≥0，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的性质确定出x的范围即可．
此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2.答案：A
解析：试题分析：根据程序框图可知，当输入进入判断时，需要得到；当进入判断时，需要得到；当时进入判断得到.当时，得到.由题意可知，当是要退出循环，所以应该填
.故选A．
考点：1.程序框图的知识.2.循环结构的应用.3.递推类比的思想．
3.答案：A
解析：解：由a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,3)得：
m a⃗−n b⃗ =(m,2m)−(−2n,3n)=(m+2n,2m−3n) a⃗+2b⃗ =(−3,8)
根据m a⃗−n b⃗ 与a⃗+2b⃗ 共线得：
−3(2m−3n)=8(m+2n)
整理得：
14m=−7n
即m
n =−1
2
故答案为A．
通过计算，求出m a⃗−n b⃗ 与a⃗+2b⃗ 的值，根据m a⃗−n b⃗ 与a⃗+2b⃗ 的共线关系得到m与n的关系．经
过化简即可得到m
n
的值
本题考查向量间的运算及向量共线的关系，属于基础题
4.答案：C
解析：解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，
在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，
∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，
∴每人入选的概率p=2000
2007×50
2000
=50
2007
，
故选C．
在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，每个个体被抽到包括两个过程，这两个过程是相互独立的．在系统抽样过程中，为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，通过从总体中删除一些个体(用简单随机抽样的方法)．
5.答案：B
解析：
因为b⃗ =a⃗−(a⃗−b⃗ )，由向量的三角形不等式|a⃗|−|a⃗−b⃗ |≤|b⃗ |≤|a⃗|+|a⃗−b⃗ |及|a⃗|=13，能求出|b⃗ |的取值范围．
本题考查平面向量的数量积的性质及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 解：∵b ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ −b ⃗ )，
由向量的三角形不等式，得|a ⃗ |−|a ⃗ −b ⃗ |≤|b ⃗ |≤|a ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |， ∵|a ⃗ |=13，
∴13−3≤|b ⃗ |≤13+3， 即|b ⃗ |的取值范围是[10,16]． 故选B ．
6.答案：C
解析：解：由题意可得：a =√10.△ABC 的周长为5+√10，可得b +c =5，
因为(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ，由正弦定理可得：b 2+c 2−a 2=bc =2bccosA ，A ∈(0,π) 所以cosA =1
2，A =π
3，
a 2=(
b +c)2−2b
c −2bccosA ，所以10=25−2bc −bc ，所以bc =5， 所以S △ABC =1
2
bcsinA =1
2
×5×√3
2
=
5√3
4
， 故选：C ．
由a 边及三角形的周长可得b +c 的值，由正弦定理及(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ，可得A 的值，再由余弦定理可得bc 的值，进而由面积公式求出三角形的面积． 本题考查三角形的正弦定理及余弦定理，属于中档题．
7.答案：A
解析：解：sin 7π12
=sin(π4
+π3
)=sin π4
cos π3
+cos π4
sin π
3
=
√22
×1
2
+
√22
×
√32
=
√2+√6
4
， 故选：A ．
由条件利用两角和的正弦公式求得sin 7π
12=sin(π
4+π
3)的值． 本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
8.答案：D
解析：
本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属于基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．
由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
解：由题意知1
5
(−1+0+2+3+a)=1，解得a=1，
∴样本方差为S2=S2=1
5
[(−1−1)2+(0−1)2+(2−1)2+(3−1)2+(1−1)2]=2，
故选D．
9.答案：B
解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=1+3+5+⋯+27
又∵1+3+5+⋯+27=196
故选B．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+3+5+⋯+27的值．
根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
10.答案：D
解析：解：因为A=60°，b=√7，a=√6，如图
所以ℎ=bsinA=√7×√3
2=√21
2
，
又√21
2
<√6<√7，则此三角形有两解，
故选：D．
由题意画出图形，再结合条件可此三角形解的情况．
本题考查利用图形判断出三角形解的情况，考查数形结合思想，属于基础题．
11.答案：C
解析：解：由题意，f(x)=a⃗⋅b⃗ =−x2+tx，其对称轴是x=t
2
又函数f(x)在区间[−1,1]上不是单调函数，
∴x=t
2
∈(−1,1)，即t∈(−2,2)
故选C
由题意，先由向量的数量积运算，求出函数f(x)的表达式，再根据其在[−1,1]上不是单调函数，得出实数t的取值范围选出正确选项
本题考查平面向量综合题，解题的关键是熟练掌握向量的数量积坐标表示式，求出函数的解析式，再由函数的性质在区间[−1,1]上不是单调函数判断出参数所满足的不等式解出其取值范围，本题考查了转化的思想，将函数不是单调性这一性质转化为不等式，本题涉及到了向量，二次函数的性质，有一定的综合性
12.答案：D
解析：解：∵f(x)=log2(√x2+1−x)+1−e x
1+e x
+2，
∴f(−x)=log2(√1+x2+x)+1−e−x
1+e−x +2=−log2(√1+x2−x)+e x−1
e x+1
+2，
∴f(−x)+f(x)=4即f(x)−2=2−f(−x)=−[f(−x)−2]，令g(x)=f(x)−2，则g(−x)=−g(x)且g(0)=f(0)−2=0，
∵y=log2(√1+x2−x)=log
√1+x2+x 单调递减，y=1−e
x
1+e x
单调递减，
故f(x)单调递减，g(x)单调递减，
∵f(2sin2x−1)−2>0，x∈(0,π)，∴g(2sin2x−1)>g(0)，
∴2sin2x−1<0即sin2x<1
2
，
∵x∈(0,π)，
∴0<x<π
12或5π
12
<x<π，
故选：D．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
13.答案：0054
解析：解：利用系统抽样从8000个个体中抽取50个个体， 因此分段后每一段的人数是160人，
∴最后一段的第一个编号是7999−160+1=7840， ∴最后一段的编号是7840～7999， ∵最后一个入样的编号为7894，
则开头第一个入样的编号为：7894−7840=54， 故答案为：0054．
根据总人数和分的段数得到分段后每一段的人数是160人，得到最后一段的第一个编号是7999−160+1，写出最后一组的号，根据最后一个入样的编号为7894，即可求开头第一个个入样编号． 本题考查系统抽样，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，属于基本知识的考查．
14.答案：9
解析：解：由表中数据，计算x −
=1
5×(2+3+4+5+6)=4， y −
=1
5×(2.2+3.8+5.5+6.5+7)=5； ∴5=b ̂
×4+0.08，解得b ̂
=1.23， ∴回归方程为y ̂
=1.23x +0.08， 令1.23x +0.08≤12，解得x ≤
1192123
≈9.7；
∴该设备的使用年限最大为9年． 故答案为：9．
计算x −
、y −
和b ̂
，写出回归方程，利用回归方程求出y ̂
≤12时x 的值即可． 本题考查了线性回归方程的求法与数值估计问题，是基础题．
15.答案：[−1,1]
解析：
本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想．
令t =sinx ，由题意可得方程t 2+t −a −1=0在[−1,1]上有解，函数f(t)=t 2+t −a −1的对称轴为t =−1
2，故有f(0)·f(1)≤0，解此不等式组求得a 的取值范围． 解：∵方程cos 2x −sinx +a =0，即sin 2x +sinx −a −1=0． 由于x ∈[0,π]，∴0≤sinx ≤1．
令t =sinx ，故方程t 2+t −a −1=0在[0,1]上有解．
又方程t 2+t −a −1=0对应的二次函数f(t)=t 2+t −a −1的对称轴为t =−1
2， 故有f(0)·f(1)≤0，即(−a −1)(−a +1)≤0． 解得−1≤a ≤1． 故答案为[−1,1]．
16.答案：−1
4
−1
解析：解：由正方形ABCD 的边长为2，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点， 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =−1
2，y =1
2， 所以xy =−14，
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )
=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1
4
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， 故答案为：−1
4；−1．
根据MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得出x =−12，y =12，所以xy =−14，将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化为1
2
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅
(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+1
4
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，得解． 本题考查了平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算，属中档题．
17.答案：解：(1)由频率分布直方图可知，本次竞赛成绩的众数是75．
因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内． 设中位数为x ，则有(x −70)×0.03=0.5−0.4，解得x ≈73.3． 所以中位数约为73.3．
(2)因为不低于80分的频率=(0.025+0.005)×10=0.3， 所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3=360．
解析：(1)由频率分布直方图能求出本次竞赛成绩的众数和中位数．
(2)不低于80分的频率为0.3，由此能求出1200名学生中可以获得礼物的人数．
本题考查众数、中位数、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．
18.答案：解：(1)由已知，cos π
3=a
⃗ ⋅b ⃗ |a
⃗ ||b ⃗ |=cosαcosx +sinαsinx =cos(x −α)， ∵0<α<x <π，∴0<x −α<π，得x −α=π
3．
由a
⃗ ⊥c ⃗ ，得cosα(sinx +2sinα)+sinα(cosx +2cosα)=0， 即sin(x +α)+2sin2α=0， 由x −α=π
3，得x =α+π
3，
∴sin(2α+π3
)+2sin2α=0，得52
sin2α+√32
cos2α=0，
∴tan2α=−
√3
5
； (2)f(x)=cosxsinx +2sinαcosx +sinxcosx +2sinxcosα=2sinxcosx +√2(sinx +cosx)． 令t =sinx +cosx(π
4<x <π)，则2sinxcosx =t 2−1且t ∈(−1,√2)， ∴y =t 2+√2t −1=(t +
√22
)2−3
2
．
当t =−√22
时，y min =−32，此时sinx +cosx =−√2
2
，
即√2sin(x +π4)=−√22⇒sin(x +π4)=−1
2，
∵
π4
<x <π，∴
π2
<x +π4<
5π
4
，得x +π4=7π
6
，x =11π12
．
∴f(x)的最小值为−32，相应的x 的值为11
12π．
解析：(1)由已知结合a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π
3，可得x −α=π
3，再由a ⃗ ⊥c ⃗ ，结合坐标运算可得tan2α的值； (2)写出函数f(x)=b ⃗ ⋅c ⃗ ，然后令t =sinx +cosx(π
4<x <π)换元，转化为关于t 的一元二次函数求解．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，训练了y =Asin(ωx +φ)型函数的性质应用，是中档题．
19.答案：解：(1)∵a 2=(b −c)2+(2−√3)bc ，
∴b 2+c 2−a 2=√3bc ， 又∵cosA =b 2+c 2−a 2
2bc
=
√3bc 2bc
=
√3
2
， ∴A =π
6．
(2)∵sinAsinB =
1+cosC 2
，
∴2sinAsinB =1+cosC =1−cos(A +B)， ∴cosAcosB +sinAsinB =1即cos(A −B)=1− ∴A −B =0,即B =A =π
6，C =2π3
，
又∵a =2,S =1
2absinC ，
∴S =√3
解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查，属于一般题．
(1)由已知整理可得b 2+c 2−a 2=√3bc ，利用余弦定理可求cos A ，即可解得A 的值．
(2)利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos(A −B)=1，可得A ，B ，C 的值，利用三角形面积公式即可得解．
20.答案：解：(1)∵点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin(θ−π
4),cos(θ−π
4))，且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，
∴√[2sin(θ−π)−1]2+cos 2(θ−π)=√(2sin(θ−π)2+[cos(θ−π
)−1]2,
化简可得2sin(θ−π
4)=cos(θ−π
4)，
∴tan(θ−π
4)=sin(θ−
π
4
)
cos(θ−π
4
)
=1
2
．
(2)∵θ−π
4∈(0,π
2
)，由(1)的结果结合sin2(θ−π
4
)+cos2(θ−π
4
)=1，
求得sin(θ−π
4)=√5
5
，cos(θ−π
4
)=2√5
5
，
∴cosθ=cos[(θ−π
4)+π
4
]=cos(θ−π
4
)cosπ
4
−sin(θ−π
4
)sinπ
4
=2√5
5
⋅√2
2
−√5
5
⋅√2
2
=√10
10
．
解析：(1)由条件利用两点间的距离公式求得tan(θ−π
4
)的值．
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(θ−π
4)和cos(θ−π
4
)的值，再利用两角和差的余弦公
式求得cosθ=cos[(θ−π
4)+π
4
]=的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两点间的距离公式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
21.答案：
解析：第一问，由两向量的坐标及数量积为0，利用平面向量数量积运算法则计算得到a，b，c的关系式，由余弦定理表示出cos B，
将得出的关系式代入求出cos B的值，即可确定角B的大小；
第二问，由B的大小和三角形内角和定理求出角A的范围，进而求出A+30°的范围，再利用正弦函数的值域即可求出f(A)
的值域．
此题是向量与三角函数的综合题，难度一般，要求熟练掌握数量积的运算和余弦定理，利用正弦函数值域求复合函数值域
问题关键是要求出角A+30°的范围，这是此题的难点，只要突破了难点，问题迎仍而解．
22.答案：解：(1)由f(0)=√3
2,得2a−√3
2
=√3
2
，∴2a=√3,则a=√3
2
，
由f(π
4)=1
2
,得√3
2
+b
2
−√3
2
=1
2
，∴b=1，
∴f(x)=√3cos2x+sinxcosx−√3
2=√3
2
cos2x+1
2
sin2x=sin(2x+π
3
)．
∴函数f(x)的最小正周期T=2π
2
=π．
(2)由π
2+2kπ≤2x+π
3
≤3
2
π+2kπ,得π
12
+kπ≤x≤7
12
π+kπ，
∴f(x)的单调递减区间是[π
12+kπ,7
12
π+kπ](k∈Z)．
(3)∵f(x)=sin2(x+π
6
)，
∴奇函数的图象左移π
6
即得到f(x)的图象，
故函数f(x)的图象右移π
6
后对应的函数成为奇函数．
解析：(1)先由f(0)=√3
2求得a，由f(π
4
)=1
2
求得b，进而求得函数f(x)的解析式，利用二倍角公式和
两角和公式化简整理，进而根据T=2π
w
求得函数的最小正周期．
(2)根据正弦函数的单调性可求得当函数单调减时2x+π
3
的范围，进而求得x的范围，即函数的单调性减区间．
(3)根据函数的解析式可知奇函数的图象左移π
6
即得到f(x)的图象，进而可推断出函数f(x)的图象右
移π
6
后对应的函数成为奇函数．。