2014年高考数学二轮复习专题九第二讲填空题解题技法(A)理

第二讲 填空题解题技法(A)
1．(2013·高考江苏卷)集合{－1，0，1}共有________个子集．
2．命题p ：∀x ∈R ，函数f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x ≤3，则￢p ：________． 3．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 4．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件．
5．(2012·高考江苏卷)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i
1－2i
(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为
________．
6．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的取值集合为________．
7．(2013·高考重庆卷)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →
＝(－2，k )，则实数k ＝________．
8．若命题“∃x ∈R ，2x 2
－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 9．(2013·高考北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，
μ∈R )，则λ
μ
＝________.
10．设命题p ：c 2<c ；命题q ：对∀x ∈R ，x 2
＋4cx ＋1>0，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数c 的取值范围是________．
11．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－OB →
，则△AOB 与△AOC 的面积之比为__________．
12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2ny ＋n 2－4＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－6mx －4ny ＋9m 2
＋4n 2
－9＝0}，若A ∩B 为单元素集，则点P (m ，n )构成的集合为________．
13．(2012·高考安徽卷)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 14．已知集合A 、B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：
． 15．设命题p ：非零向量a ，b ，|a |＝|b |是(a ＋b )⊥(a －b )的充要条件；命题q ：平面上
M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →
，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；③￢p ∧q ；④￢p ∨q .
其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上)
16．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含
边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →
的最大值为________．
答案：
1．【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有23
＝8(个)子集． 【答案】8 2．【解析】全称命题的否定是特称命题，故綈p ：∃x ∈R ，
函数f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x >3.
【答案】∃x ∈R ，函数f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x >3 3．【解析】|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝t a ＋(1－t )b ，
∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2
＝t ×1×1×12＋(1－t )×1
＝t 2＋1－t ＝1－t
2
. ∵b ·c ＝0，∴1－t
2
＝0，∴t ＝2.
【答案】2 4．【解析】∵a ＝1或b ＝3⇒/ a ＋b ＝4，且a ＋b ＝4⇒/ a ＝1或b ＝3，∴a ＝1或b ＝3是a ＋b ＝4的既不充分也不必要条件．
由原命题与逆否命题等价可知，“a ＋b ≠4”是“a ≠1且b ≠3”的既不充分也不必要条件．
【答案】既不充分也不必要
5．【解析】11－7i 1－2i ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝25＋15i
5
＝5＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＋b ＝8.
【答案】8 6．【解析】∵x ＋a ≥0，∴M ＝{x |x ≥－a }． 又log 2(x －1)<1，∴0<x －1<2. ∴1<x <3，
∴N ＝{x |1<x <3}，
∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．
又M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}． ∴－a ＝1，∴a ＝－1. 【答案】{－1} 7．【解析】
如图所示，由于OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →
＝(1，k －1)．
在矩形中，由OA →⊥AB →，得OA →·AB →
＝0，所以(－3，1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.
【答案】4
8．【解析】因为“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2
－3ax ＋9≥0”
为真命题．因此Δ＝9a 2
－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.
【答案】[－22，2 2 ] 9．【解析】以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．
由c ＝λ a ＋μ b ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ
＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λ
μ
＝4.
【答案】4
10．【解析】命题p ：0<c <1，命题q ：－12<c <1
2
，
∵p ∧q 为假，p ∨q 为真， ∴p 和q 有且仅有一个成立．
若p 成立，q 不成立，则1
2≤c <1，
若p 不成立，q 成立，则－1
2<c ≤0，
综上知，c 的取值范围是(－12，0]∪[1
2
，1)．
【答案】(－12，0]∪[1
2
，1)
11．【解析】采用特殊位置，可令△ABC 为正三角形，则根据OA →＋OC →＝－ OB →
可知，O 是△ABC 的中心，则OA ＝OB ＝OC ，所以△AOB ≌△AOC ，
即△AOB 与△AOC 的面积之比为1. 【答案】1
12．【解析】因为A ∩B 为单元素集，即圆x 2＋(y ＋n )2＝4与圆(x －3m )2＋(y －2n )2
＝9相
切，所以（3m ）2＋（2n ＋n ）2＝3＋2或（3m ）2＋（2n ＋n ）2＝3－2，整理得m 2＋n 2
＝259
或
m 2＋n 2＝1
9
.
【答案】{(m ，n )|m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2
＝19
}
13．【解析】由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b ，而4a 2
＋
b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－9
8
，当且仅当2|a |＝|b |，〈a ，b 〉＝
π时取“＝”号．
【答案】－9
8
14．【解析】由给出的定义知集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 011，2 012，－2 012，2 013}．
【答案】{－2 011，2 012，－2 012，2 013}
15．【解析】(a ＋b )⊥(a －b )⇔(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2
＝0⇔|a |＝|b |，故p 是真命题．
若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ，使MA →＝xMB →＋yMC →
(x ＋y ＝1)； 若MA →＝sin 2αMB →＋cos 2
αMC →，则A ，B ，C 三点共线． 故q 是假命题．
故p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∨q 为假命题． 【答案】①③④
16．【解析】∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →
， ∴BP →＝tBA →
，又0≤t ≤1， ∴P 在线段BA 上运动，
∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ， ∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →
|≤2×2＝4，
即当P 、Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →
取最大值4. 【答案】4。