2020版高考数学(理)刷题小卷练： 8 Word版含解析
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故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，x －x0)，则切线方程为
y－(x －x0)＝f′(x0)(x－x0)．
又切线过点(1，b)，所以(3x －1)(1－x0)＋x －x0＝b，
即2x －3x ＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．
记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
二、非选择题
9．[2019·成都测试]已知函数f(x)＝xsinx，则f(x)在x＝ 处的导数为________．
答案：1
解析：∵f(x)＝xsinx，∴f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′ ＝sin ＋ cos ＝1.
10．[2018·全国卷Ⅲ]曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
7．[2019·广东七校联考]已知函数f(x)＝x2的图象在点(x0，x )处的切线为l，若l也与函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满足()
A．0<x0< B. <x0<1
C. <x0< D. <x0<
答案：D
解析：由题意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝x ，所以切线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x ＝2x0x－x .因为l也与函数y＝lnx(0<x<1)的图象相切，设切点坐标为(x1，lnx1)，易知y′＝ ，则切线l的方程为y＝ x＋lnx1－1，则有 又0<x1<1，所以x0>1，所以1＋ln2x0＝x ，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝2x－ ＝ >0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln2<0，g( )＝1－ln2 <0，g( )＝2－ln2 >0，所以存在x0∈( ， )，使得g(x0)＝0，故 <x0< ，选D.
7.
已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
答案：C
解析：由题意知，(2，f(2))，(3，f(3))两点连线的斜率为 ＝f(3)－f(2)，而f′(2)、f′(3)分别表示函数f(x)的图象在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，由图象可知0<f′(3)< <f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．
C．1D．e
答案：B
解析：∵f′(x)＝3f′(1)＋ ，∴f′(1)＝3f′(1)＋2，解得f′(1)＝－1.故选B.
4．[2019·广州调研]已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()
A．ln2B．1
C．1－ln2 D．1＋ln2
答案：D
解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)·(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.
6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是()
A．y＝3lnx－xB．y＝ex＋x
C．y＝3x＋2D．y＝x3－x2＋2x
答案：B
解析：对于A，因为y＝3lnx－x，所以y′＝ －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B，因为y＝ex＋x，所以y′＝ex＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C，因为y＝3x＋2，所以y′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D，因为y＝x3－x2＋2x，所以y′＝3x2－2x＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
答案：
解析：y′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，令(1－x)e－x＝1，得ex＝1－x，ex＋x－1＝0，令h(x)＝ex＋x－1，显然h(x)是增函数，且h(0)＝0，即方程ex＋x－1＝0只有一个解x＝0，又曲线y＝xe－x在x＝0处的切线方程为y＝x，两平行线x－y＝0和x－y＋3＝0之间的距离为d＝ ＝ ，故P、Q两点间距离的最小值为 .
8．[2019·宜昌调研]已知函数f(x)＝xlnx，则f′(1)＋f(4)的值为()
A．1－8ln2 B．1＋8ln2
C．8ln2－1 D．－8ln2－1
答案：B
解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝0＋1＝1，所以f′(1)＋f(4)＝1＋4ln4＝1＋8ln2.故选B.
二、非选择题
2．[2019·河南平顶山调研]设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()
A．e2B．e
C. D．ln2
答案：B
解析：f′(x)＝lnx＋1.因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e.故选B.
3．[2019·河南濮阳中学检测]已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′ ＝ ，则实数a的值为()
5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()
A．26B．29
C．212D．215
答案：C
解析：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
9．[2018·全国卷Ⅱ]曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．
答案：y＝2x－2
解析：∵y′＝ ，y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
∴切线方程为y＝2x－2.
10．[2019·广西南宁三中模拟]曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．
答案：(－∞，1]
解析：由题意，得f′(x)＝ ＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得 ＋t＋a＝3，所以3－a＝ ＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.
12．设点P、Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为________．
刷题课时增分练⑧综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·安徽蚌埠四校联考]若f′(x0)＝－3，则 ＝()
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
答案：B
解析：f′(x0)＝－3，则
＝
＝ ＋
＝2f′(x0)＝－6.故选B.
2．已知函数f(x)＝x(2 017＋lnx)，f′(x0)＝2 018，则x0＝()
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
6．[2019·安徽宣城六校联考]过函数f(x)＝ x3－x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为()
A. B. ∪
C. D.
答案：B
解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tanα≥－1，解得0≤α< 或 ≤α<π，则切线倾斜角的范围为 ∪ .故选B.
答案：
解析：因为f′(x)＝1＋lnx，且f(1)＝0，f′(1)＝1，所以切线l的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1.令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝1，∴切线l与两坐标轴的交点坐标分别为A(0，－1)，B(1,0)，则|OA|＝1，|OB|＝1，∴S△ABO＝ ×1×1＝ .
11．[2019·重庆巴蜀中学模拟]曲线f(x)＝lnx＋ x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
8．[2019·安徽蚌埠质检]已知函数f(x)＝x ，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()
A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)
C. D.
答案：D
解析：∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是 .故选D.
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．
A．e2B．1
C．ln2 D．e
答案：B
解析：由题意可知f′(x)＝2 017＋lnx＋x· ＝2 018＋lnx.由f′(x)＝2 018，得lnx0＝0，解得x0＝1.
3．[2019·潍坊月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3xf′(1)＋2lnx，则f′(1)＝()
A．－e B．－1
5．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A．y＝－2xB．y＝－x
C．y＝2xD．y＝x
答案：D
解析： ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
刷题增分练8导数的概念与几何意义、导数的运算
刷题增分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⑧小题基础练提分快
一、选择题
1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为()
A．f′(x0)B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)D．0
答案：B
解析： ＝ 2
＝2 ＝2f′(x0)．故选B.
答案：－3
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，得a＝－3.
11．[2019·湖北孝感高中模拟]已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.
A. B.
C. D．1
答案：B
解析：由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′ ＝ ，得 － a＝ ，解得a＝ .故选B.
4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()
A．－e B．－1
C．1D．e
答案：B
解析：由题可得f′(x)＝2f′(1)＋ ，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选B.
(2)设切点为(x0，x －x0)，则切线方程为
y－(x －x0)＝f′(x0)(x－x0)．
又切线过点(1，b)，所以(3x －1)(1－x0)＋x －x0＝b，
即2x －3x ＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．
记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
二、非选择题
9．[2019·成都测试]已知函数f(x)＝xsinx，则f(x)在x＝ 处的导数为________．
答案：1
解析：∵f(x)＝xsinx，∴f′(x)＝sinx＋xcosx，故f′ ＝sin ＋ cos ＝1.
10．[2018·全国卷Ⅲ]曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
7．[2019·广东七校联考]已知函数f(x)＝x2的图象在点(x0，x )处的切线为l，若l也与函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满足()
A．0<x0< B. <x0<1
C. <x0< D. <x0<
答案：D
解析：由题意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝x ，所以切线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x ＝2x0x－x .因为l也与函数y＝lnx(0<x<1)的图象相切，设切点坐标为(x1，lnx1)，易知y′＝ ，则切线l的方程为y＝ x＋lnx1－1，则有 又0<x1<1，所以x0>1，所以1＋ln2x0＝x ，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝2x－ ＝ >0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln2<0，g( )＝1－ln2 <0，g( )＝2－ln2 >0，所以存在x0∈( ， )，使得g(x0)＝0，故 <x0< ，选D.
7.
已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
答案：C
解析：由题意知，(2，f(2))，(3，f(3))两点连线的斜率为 ＝f(3)－f(2)，而f′(2)、f′(3)分别表示函数f(x)的图象在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，由图象可知0<f′(3)< <f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．
C．1D．e
答案：B
解析：∵f′(x)＝3f′(1)＋ ，∴f′(1)＝3f′(1)＋2，解得f′(1)＝－1.故选B.
4．[2019·广州调研]已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()
A．ln2B．1
C．1－ln2 D．1＋ln2
答案：D
解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)·(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.
6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是()
A．y＝3lnx－xB．y＝ex＋x
C．y＝3x＋2D．y＝x3－x2＋2x
答案：B
解析：对于A，因为y＝3lnx－x，所以y′＝ －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B，因为y＝ex＋x，所以y′＝ex＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C，因为y＝3x＋2，所以y′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D，因为y＝x3－x2＋2x，所以y′＝3x2－2x＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
答案：
解析：y′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，令(1－x)e－x＝1，得ex＝1－x，ex＋x－1＝0，令h(x)＝ex＋x－1，显然h(x)是增函数，且h(0)＝0，即方程ex＋x－1＝0只有一个解x＝0，又曲线y＝xe－x在x＝0处的切线方程为y＝x，两平行线x－y＝0和x－y＋3＝0之间的距离为d＝ ＝ ，故P、Q两点间距离的最小值为 .
8．[2019·宜昌调研]已知函数f(x)＝xlnx，则f′(1)＋f(4)的值为()
A．1－8ln2 B．1＋8ln2
C．8ln2－1 D．－8ln2－1
答案：B
解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝0＋1＝1，所以f′(1)＋f(4)＝1＋4ln4＝1＋8ln2.故选B.
二、非选择题
2．[2019·河南平顶山调研]设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()
A．e2B．e
C. D．ln2
答案：B
解析：f′(x)＝lnx＋1.因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e.故选B.
3．[2019·河南濮阳中学检测]已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′ ＝ ，则实数a的值为()
5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()
A．26B．29
C．212D．215
答案：C
解析：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
9．[2018·全国卷Ⅱ]曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．
答案：y＝2x－2
解析：∵y′＝ ，y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
∴切线方程为y＝2x－2.
10．[2019·广西南宁三中模拟]曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．
答案：(－∞，1]
解析：由题意，得f′(x)＝ ＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得 ＋t＋a＝3，所以3－a＝ ＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.
12．设点P、Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为________．
刷题课时增分练⑧综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·安徽蚌埠四校联考]若f′(x0)＝－3，则 ＝()
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
答案：B
解析：f′(x0)＝－3，则
＝
＝ ＋
＝2f′(x0)＝－6.故选B.
2．已知函数f(x)＝x(2 017＋lnx)，f′(x0)＝2 018，则x0＝()
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
6．[2019·安徽宣城六校联考]过函数f(x)＝ x3－x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为()
A. B. ∪
C. D.
答案：B
解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tanα≥－1，解得0≤α< 或 ≤α<π，则切线倾斜角的范围为 ∪ .故选B.
答案：
解析：因为f′(x)＝1＋lnx，且f(1)＝0，f′(1)＝1，所以切线l的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1.令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝1，∴切线l与两坐标轴的交点坐标分别为A(0，－1)，B(1,0)，则|OA|＝1，|OB|＝1，∴S△ABO＝ ×1×1＝ .
11．[2019·重庆巴蜀中学模拟]曲线f(x)＝lnx＋ x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
8．[2019·安徽蚌埠质检]已知函数f(x)＝x ，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()
A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)
C. D.
答案：D
解析：∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是 .故选D.
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．
A．e2B．1
C．ln2 D．e
答案：B
解析：由题意可知f′(x)＝2 017＋lnx＋x· ＝2 018＋lnx.由f′(x)＝2 018，得lnx0＝0，解得x0＝1.
3．[2019·潍坊月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3xf′(1)＋2lnx，则f′(1)＝()
A．－e B．－1
5．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A．y＝－2xB．y＝－x
C．y＝2xD．y＝x
答案：D
解析： ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
刷题增分练8导数的概念与几何意义、导数的运算
刷题增分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⑧小题基础练提分快
一、选择题
1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为()
A．f′(x0)B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)D．0
答案：B
解析： ＝ 2
＝2 ＝2f′(x0)．故选B.
答案：－3
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，得a＝－3.
11．[2019·湖北孝感高中模拟]已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.
A. B.
C. D．1
答案：B
解析：由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′ ＝ ，得 － a＝ ，解得a＝ .故选B.
4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()
A．－e B．－1
C．1D．e
答案：B
解析：由题可得f′(x)＝2f′(1)＋ ，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选B.