高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》易错题汇编附答案解析

数学《坐标系与参数方程》高考复习知识点
一、13
1．已知点()30A -,
，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）上运
动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．
92
B ．62
C ．32
62
+ D ．32
62
-
【答案】D 【解析】 【分析】
化简曲线1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小
值求解即可. 【详解】
由曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.
故直角坐标方程为：()2
211x y -+=.
又点()30A -,
,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=. 故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为()
2
2
1032211d -+=
=+-.
故P 到直线AB 的距离最小值为221h =-.故PAB △面积的最小值为
()
1132
322216222S AB d =
⋅=⨯⨯-=-
. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.
2．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

3．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=o 且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 5 【答案】D 【解析】 【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标2,24πρθ⎛⎫+ ⎪
⎪⎝⎭
，将函数
1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=o ，则点A 的极坐标
,4πρθ⎫+⎪⎪⎝
⎭，将函数1
y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2
sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 22ρθ=，
将点A
的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤
⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2
cos 24ρθ=，于是有2
2sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩
，
()()2
4
2
222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=
，得2ρ=，
因此，OAB ∆
的面积为
111sin 2424OAB S OA OB πρρ∆=
⋅=⨯=⨯=
故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
4．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C
的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）
A ．1 B
C ．2
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，
即可得出AB 的值. 【详解】
易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，
联立曲线1C 与2C
的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得3πθρ⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
，因此，AB ρ== 故选：B. 【点睛】
本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.
5．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的
1
2
；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）
A ．1'2'3x x y y
⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B ．'2'3x x
y y =⎧⎨=⎩
C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】
解：由sin y x =变成3sin 2y x =''
设伸缩变换为(,0)x x
y y
λλμμ'=⎧>⎨
'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则312μλ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得123x x y y ⎧'=⎪⎨
⎪'=⎩，故选A 。

【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

6．直线34x t
y t
=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P
的点的坐标是( )
A ．()4,3
B ．()4,5-或()0,1
C ．()2,5
D ．()4,3或()2,5
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为直线3(4x t
t y t
=-⎧⎨
=+⎩为参数）， 所以设直线上到点(3,4)P
的点的坐标是(3,4)t t --，
=1t =±，
代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.
7．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C
:12
112x t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)上的点
的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】
将1C 转化为直角坐标方程为()2
211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C
转化为直角坐标方程为10x y ++=，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d =
=，
所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．
8．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，
则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
设()
4,23P cos sin θθ，02θπ≤<，由题意可得：
122242384d d sin cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结
论． 【详解】
解：设()
4,23P cos sin θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
122242384164341681688
6d d sin cos sin cos sin πθθθθθ⎛
⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭．
当且仅当816sin πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．
故选：D 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度
2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
10．若点P
的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则
2ρ=
=
，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】
由题得2
2
(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理
能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪
⎨=⎪
⎩
,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直
角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉22
0x y +=.
12．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．32,4
π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．()2,0
【答案】B 【解析】 【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，即ρθθ=-，
即2sin cos ρθθ=-
，所以220x y ++-=，
所以圆心坐标为(，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．已知曲线C
：2{
2
x y a =
=+
（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P
满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r
，则实数a 的取值范围为（ ）
A
．⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C
．⎡⎣
D ．[]2,2-
【答案】C 【解析】
曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r
⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆
221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小
于等于半径1,根据点到直线的距离公式有
1≤,
解得a ≤≤故选C.
14．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u u
u r
=
因为2cos θ
θ+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r u
u u r
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
15．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2
π
B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，故选B.
考点：直角坐标与极坐标的互化.
16．已知点 A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+=的距离的最
大值是（ ） A ．
9
2
B ．
72
C ．
52
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可 【详解】
2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为222x y x +=
配方为：()2
211x y -+= 可得圆心为()1,0，半径1r = 直线sin()46
π
ρθ+
=
展开可得
1
sin cos 422
ρθρθ+=
可得直角坐标方程为：80x +-= 则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+
=的距离的最大值为：
9
12
+=
故选：A 【点睛】
极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.
17．已知曲线C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴非
负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C
经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ
=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解.
【详解】 解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=
⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22
143
x y +=， 曲线C
经过伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=， ∴伸缩变换得到的曲线是圆．
故选：C ．
【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x y =⎧=''⎪为解题关键.
18．在极坐标系中，点2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) A
B ．3
C ．1
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】
先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．
【详解】 在极坐标系中，点2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1）， 直线ρsin （θ﹣6
π）＝1化为直角坐标方程为x
+2＝0，
1）到x
+2＝0
的距离1=，
即点（2，
6π）到直线ρsin （θ﹣6
π）＝1的距离为1， 故选C ．
【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
19．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A
．5
B
．7 C
- D
．9-
【答案】D
【解析】
【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】 因为实数x ，y 满足2212
x y +„，
设x θ=，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-
+2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--… 故则2222|2||67|x y x y x +-++-+
的最小值等于9-
故选：D ．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ）
A ．12
B ．13 C
D
【答案】B
【解析】
【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值．
【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠==+++„， 1sin 3BAM ∴∠„
， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．。