高考数学基础知识综合复习第2讲基本不等式课件

为(
)
B.2 2
A.3
D. 2
C.2
答案 B
解析 方法一
因为 xy=2,所以 x+y≥2 =2 2,当且仅当 x=y= 2时,
等号成立.故选 B.
方法二
2

2

2

2

因为 xy=2,所以 y= ,所以 x+y=x+ ≥2 · =2 2.当且仅当
x= ,x= 2时,等号成立.故选 B.
考点一
例1(2019年4月浙江学考)已知实数x,y满足x2+4y2=2,则xy的最大值
为
.
答案
1
2
1
2
1
2
解析 由基本不等式可知,x2+4y2=2≥2 2 4 2 =4|xy|,解得- ≤xy≤ .当且仅当
x2=4y2,|x|=2|y|=1 时,等号成立.
考点一
考点二
考点三
考点四
例2(2021年7月浙江学考)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值
6
5

3
· +

2
2
3
3
2
= + +
= ,a=b= 时,等号成立.故选 A.
考点一
考点二
考点三
考点四
a
b
2
3
a
b
本题的解决方法在于利用3 + 2 =1,通过构造(a + b )·
(3 + 2 )展开后结合基
b
a
本不等式a + b ≥2
a
b
· 求得最值.
b a
考点一
考点三
考点二
考点四
利用基本不等式比较大小
+
+



证明 因为 a,b,c 均为正数,且 a,b,c 全不相等,


+ >2
· =2c;



所以


+ >2
· =2b;





+ >2
· =2a.




三式相加,可得 + + + + + >2c+2b+2a,
2.常用的基本不等式形式
(1)当 a>0,b>0 时,1
2
1
+

≤ ≤
+
2
(2)当 a,b∈R 时,a2+b2≥2ab;

(3)当 x>0,a>0 时,x+≥2 .
3.利用基本不等式求最值问题
积定和最小,和定积最大.
≤
2 +2
;
2
考点一
考点二
考点三
考点四
基本不等式
◆角度1.常见基本不等式类型


4
因为不等式 x+ <m2+3m 有解,即 m2+3m>4 有解,解得 m<-4 或 m>1,所
以实数 m 的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).故选 C.
考点一
考点二
考点三
考点四
本题的解决方法是利用条件型不等式构造一元二次不等式,通过解
不等式,求得实数的取值范围.
1
2
,得 <a2+b2.
)
考点一
考点二
熟记不等式链
考点三
2
考点四
a+b
≤ ab ≤
≤
1 1
2
+
a b
a2 + b 2
可以比较快捷考查相关大小.
2
考点一
考点二
考点三
考点四
利用基本不等式证明不等式
例7(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,且a,b,c全不相等.
求证:

>a+b+c.
-1
例 3 已知函数 y=x+
A.4 2
C.5
)
B.4 2+1
D.9
答案 C
4
4
=(x-1)+ +1≥2
-1
-1
解析 因为 x>1,所以 x-1>0,所以 y=x+
4
,即
-1
仅当 x-1=
x=3 时,等号成立.故选 C.
4+1=5.当且
考点一
考点三
考点二
考点四
例4设0<x<2,则函数y= 3(8-3) 的最大值为
A.(-1,4)
B.(-4,1)
C.(-∞,-4)∪(1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,+∞)
)
考点一
考点二
考点三
考点四
答案 C
解析
1 4
因为 + =1,所以

当且仅当

4
=

1 4

4
x+ =(x+ )·( + )=2+ + ≥4.
4
4
4

4
,y=4x,x=2,y=8 时,等号成立.
例6设b>a>0,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(
A.
1
2
B.a2+b2
C.2ab
D.a
答案 B
解析 因为b>a>0,且a+b=1,
2
由不等式链1 1 ≤ ≤
+

2
a<1 1 < <
+

+
2
=
1
2
+
2
<
2 +2
可知,
2
≤
2
2 +
2
又2ab<a2+b2,
所以最大的是a2+b2.故选B.
.
答案 4
解析 由题可得,因为 0<x<2,所以 y= 3(8-3) ≤
4
3
3x=8-3x,x= 时,等号成立.
3+8-3
=4,当且仅当
2
考点一
考点二
考点三
考点四
利用不等式求函数的最值,关键在于将函数转化为基本不等式模型,
然后按照“一正二定三相等”进行求解.
考点一
考点二
考点三
考点四
◆角度3.条件型不等式型问题
第2讲
基本不等式
教材核心知识
课标要求
a+b
2
学业水平评价要求
基本不等式
基本不等式
基本不等式
结合具体案例,能用基本不
等式解决简单的最大值或 理解、应用
最小值问题
ab ≤
理解、应用
+
1.基本不等式: ≤ 2
(1)成立的条件:a>0,b>0;
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
简记:一正二定三相等.







化简得 + + >a+b+c.



考点一
考点二
考点三
考点四
根据条件局部构造基本不等式,然后相加证明不等式成立.
考点一
考点二
考点三
考点四
基本不等式中的参数问题
例 8 若两个正实数
1

4

x,y 满足 + =1,且存在这样的 x,y 使不等式

4
x+ <m2+3m 有解,则实数 m 的取值范围是(
考点二
考点三
考点四
根据条件求最值,可以根据条件与结论之间的关系,结合“和定积最
大,积定和最小”直接使用基本不等式即可求得最值;也可以利用整
体代换及换元,构造基本不等式进行求最值.使用基本不等式时要
注意范围,同时要关注最值取到的条件是否成立.
考点一
考点二
考点三
考点四
◆角度2.函数型最值的考查
4
(x>1),则函数的最小值等于(
例 5(2020 山东昌乐一中高二月考)设正数
最小值为(
25
6
11
C.
3
2

3

a,b 满足 2a+3b=6,则 + 的
)
8
3
A.
B.
D.4
答案 A

3

2
2

3

解析 因为 2a+3b=6,所以 + =1,所以 + =

+

≥
13

+2 ·
6

=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
25

.当且仅当
6



2 3
+