徐州市王杰中学高考数学压轴专题《等比数列》难题汇编 百度文库

一、等比数列选择题
1．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2
1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）
A ．13a a <，24a a <
B ．13a a >，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
2．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =
，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）
A ．
312
或112
B ．
31
2
C ．15
D ．6
3．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=
，公比q =，则456a a a ⋅⋅=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 4．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2±
B ．2
C ．3±
D ．3
5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=
（ ） A ．3
B ．505
C ．1010
D ．2020
6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---⨯+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
8．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >
B ．01q <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为7T
9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．4或5
D ．5或6
10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方
法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
大吕
=大吕
=
太簇．据此，可得
正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）
A
．n -
B
．n -C
． D
． 11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
12．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111
2
33
n n n a b a ++=+
，113
44
n n n b a b +=
+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
13．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
14．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．
14
B ．1
C ．
12
D ．
13
15．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()
*
122n n a S n N ++=∈，则
满足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
16．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16
B ．32
C ．64
D ．128
17．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
18．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）
A．1 9
B．9 C．
1
3
D．3
19．已知等比数列的公比为2，其前n项和为n S，则3
3
S
a
=（）
A．2 B．4 C．
7
4
D．
15
8
20．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为
（）
A．3 B．12 C．24 D．48
二、多选题
21．设()
f x是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y，都有
()()()
f x y f x f y
+=，若
1
1
2
a=，()()*
n
a f n n N
=∈，数列{}
n
a的前n项和
n
S组成数列{}n S，则有（）
A．数列{}n S递增，且1
n
S<B．数列{}
n
S递减，最小值为1
2
C．数列{}n S递增，最小值为
1
2
D．数列{}n S递减，最大值为1
22．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,
C即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,
C=若一台计算机有5
10个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
23．设{}n a是无穷数列，1
n n n
A a a
+
=+，()
1,2,
n=，则下面给出的四个判断中，正确
的有（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列
B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列
C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列
D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列
24．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1
13()2
n n a -=⋅-
B ．36n
n S a =+
C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a 3a =，则19p s +的最小值为83
D ．若1
n n t S m S ≤-
≤恒成立，则m t -的最小值为116
25．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-=
B ．12n n a
C ．21n
n S =- D ．1
21n n S -=-
26．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a ⋅>，
871
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9S
D ．n T 的最大值为7T
28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C ．此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里
D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-=
B ．12n n
a
C ．21n
n S =- D ．1
21n n S -=-
30．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得
64m n a a =，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．22
212413
n
n a a a -++
+=
D ．m n +为定值
31．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：
111213212223231
32
3331312
n n n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．7
67173a =⨯
C ．1
(31)3
j ij a i -=-⨯
D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称
{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B ．已知4
n a n n
=+
，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n
n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D ．已知2
2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<
34．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 23
12a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
35．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；
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一、等比数列选择题 1．B 【分析】
由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】
设等比数列的公比为q ， 则(
)()()23
2
123411
1+++1+1+0a a a a a q q q
a q q +++==≥，可得1q ≥-，
当1q =-时，12340a a a a +++=，()2
1230a a a ++≠，1q ∴>-，
()2
1234123a a a a a a a +++=++，即()
2
23
211+++1++q q q a q q
=，
()
23
12
21+++11++q q q a q q ∴=
>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，
()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，
()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，
()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小.
2．B 【分析】
由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+，
2332a a ∴=+，
解得32a =或31a =-（舍去） 又112
a =
， 23
1
4a q a ∴=
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 3．A 【分析】
由等比数列的通项公式可计算得出()6
456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.
【详解】
由6
326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.
故选：A. 4．D 【分析】
根据等比数列定义知3
813q =，解得答案.
【详解】
4个数成等比数列，则3
813q =，故3q =.
故选：D. 5．C 【分析】
利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】
由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，
所以313232020log log log a a a ++
+
()10103101010113log log 31010a a ===.
故选：C 6．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 7．D 【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，245
4a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==，
因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪
--⎝⎭=
=
==--⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：D. 8．B 【分析】
根据11a >，66771
1,01
a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】
若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671
01
a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为
671
01
a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 9．C 【分析】
由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差1
2
d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，
134,,a a a 成等比数列，2
314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12
d =-，
()()2
111198122
4
4216
n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+
=-
=--+ ⎪⎝⎭，
所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 10．C
【分析】
根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为
11n n a a q -=
，所以q =
所以11
1
111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪
⎛== ⎭
⎝
⎝
1111
n k k n n n
a a
----==⋅ 故选：C. 11．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
13
2a a q =
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 12．C 【分析】
令n n n c a b =-，由111
2
3
3n n n a b a ++=+
，11344
n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即1
1.812n n c -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=⨯，则1
10.0121.8n -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
⨯，解不等式可得n 的最小
值. 【详解】
令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=
1111131313
4444412123334
3n n n n n n n n n n n
n c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222
n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以1
1.812n n c -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=⨯
由0.01n n a b -<，即1
10.0121.8n -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
⨯，整理得12180n ->
由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =
故选：C. 【点睛】
本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 13．C 【分析】
根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项
公式可得1
21n n a -=+，即求.
【详解】
因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即
11
21
n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.
则112n n a --=，即1
21n n a -=+.
因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 14．D 【分析】
根据241a a =，由2
243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.
【详解】
因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，
由于2
243a a a =，
所以2
31a =，31a =，211a q =.
因为313S =， 所以1q ≠.
由()()31231111a q S a q q q
-=
=++-
得2
2
131q q q =++， 即2
1210q q --=， 解得13q =，或1
4
q =-（舍去）. 故选：D 15．C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N ++=∈可求出n
a
的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21
2
a =
；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n
⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210
n
⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 16．A 【分析】
由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3
q ，再由()3
7s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.
【详解】
1234a a a ++=，4568a a a ++=.
∴3
2q =，
∴()3
78945616a a a a a a q ++=++=.
故选：A 17．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1
531
a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531
a =
，
5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 18．D 【分析】
利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用2
1
a a 求出公比即可
【详解】
设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈，
则31327a ==，4
2381a ==，2
1
3a q a ∴
==， 故选：D 19．C 【分析】
利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】
解：因为等比数列的公比为2，
所以313
12311(12)
7712244
a S a a a a --===⋅， 故选：C 20．C 【分析】
题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】
根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为
1a ，则有()717
12381
12
a S ⋅-=
=-，解得13a =，中间层灯盏数3
4124a a q ==， 故选：C.
二、多选题
21．AC 【分析】
计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =
，所以1(1)2
f =， 所以2
21
(2)(1)4
a f f ===
， 31
(3)(1)(2)8
a f f f ===，
……
所以1
()2
n n a n N +=∈，
所以11(1)
122111212
n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112
S a ==， 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列
{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档
题 22．ABC 【分析】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则
()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.
【详解】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则
()121n n a S +=+，且12a =，
由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，
所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，
所以1
23n n a -=⨯，
在第3分钟内，该计算机新感染了31
32318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；
经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313
a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文
件，故选项B 正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为
()
1010512102131
11310132
a a a ⨯-+++
+=+
=>⨯-，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得
n a .
23．AD 【分析】
利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，
则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，
()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，
奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则
11111n n n n n n n n n n
a q a A a a a q
q a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 24．ABD 【分析】
根据等差中项列式求出1
2
q =-
，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；
3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1
p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为
114
，C 不正确；利用1n
n y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由13a =，21344a a a -=+得2
43343q q -⨯=+⨯，解得1
2
q =-
，所以11
3()2
n n a -=⋅-，
1
3(1())
1221()121()2
n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；
1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛
⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝
⎭；所以A ，B 正确；
3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，
所以11
4p s q q
q --=，所以6p s +=，
则15p s =⎧⎨
=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩
，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，
122,2121()2122,2n
n n n
n S n ⎧⎛⎫
+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛
⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩
为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3
[,2)2
n S ∈，
又1n n y S S =-
关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138
(,]23
n n S S -
∈，当n 为偶数时，153
[,)62n n S S -
∈，所以83
m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】
本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 25．BC 【分析】
根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断.
【详解】
数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>
23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，
2410a a +=，4
410q q
∴+=即22520q q -+=，解得2q
或
12
， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q
，3124
14
a a q =
==， 1
2
n n
a ，212121
n n n S -==--，()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 26．BD 【分析】 证明12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321a =，选项C 不正确.
【详解】
因为2AE EC =，所以2
3
AE AC =， 所以2
()3
AB BE AB BC +=+, 所以12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；
设BD tBE =（0t >），
则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以
()()1111
23n n n n BE a a BA a a BC t t
-+=
-+-， 所以
()11123n n a a t --=，()11233
n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，
显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；
因为2a -1a =4，
11
4n n
n n a a a a +--=-， 所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，
易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 27．AD 【分析】
根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】
因为11a >，781a a ⋅>，
871
01
a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.
27981a a a =<⋅，故B 错误；
因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 28．BCD 【分析】
设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列. 所以6
6
1161[1()](1)2=3781112
a a q S q --==--，解得1
192a =. 选项A:5
5
61119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962
a a q ==⨯
=,而61
94.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.
选项D:2
123111
(1)192(1)33624
a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 29．BC 【分析】
先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】
由23464a a a =得33
34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由
2410a a +=，得4
410q q
+=，即22520q q -+=，解得2q
或1
2q =
．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q
，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n
a ，
()
1122112
n n n S ⨯-=
=--，所以()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.
30．BD 【分析】
由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数
列前n 项和公式，求出 1
22
212443
n n a a a +-++
+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式
得到62642m n +==，所以选项D 正确.
【详解】
由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，
所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，
所以1
2n
n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，
故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2
n
a 是以首项214a
=，公比14q =的等比数列，
所以()
()21
1122
2
121
141444114
3
n n n n a q a a a q +-⨯--+++=
=
=--，故选项C 错误；
6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.
故选：BD 【点睛】
本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 31．ACD 【分析】
根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】
由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，
可得22
13112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，
解得3m =或1
2
m =-
（舍去），所以选项A 是正确的； 又由666
6761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；
又由1
111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m
a i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选
项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++
++++++++++
11121(13)(13)(13)131313
n n n n a a a ---=++
+
---1(231)(31)22n
n n +-=-⋅ 1
(31)(31)4
n n n =
+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD.
本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
32．AB
【分析】
由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可．
【详解】
123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列
又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，
∴()2412323412
n n n S n n +-=-=---. 故选：AB.
33．BCD
【分析】
根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】
A. ()
1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误； B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；
C. ()()
()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k
k +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；
D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则()()()
2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，
则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()2
20k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立
所以23t -<，且22t -≥
解得45t ≤<，故正确.
【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
34．ABC
【分析】
由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，
∴31118a a q +=，21112a q a q +=， ∴12a =，2q 或12q =
（舍去）故A 正确， ()
12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；
∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；
而lg lg 2lg 2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．
故选：ABC .
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 35．ABD
【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列，
若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确； 对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，
即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。