构造函数法在微积分证明中的应用参考论文综述

一、绪论
构造函数思想是数学的一种重要的思想方法。

在数学中具有广泛的应用。

他属于数学思想方法中的构造法。

所谓构造法，就是根据件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。

它具有两个显著的特性：直观性和可行性，正是这两个特性，在数学应用中经常运用它。

构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观。

构造法思想的核心是根据题设条件的特征恰当构造一种新的形式。

对培养学生的数形结合的思想、思维能力以及培养学生的创新能力都有很大的帮助。

怎样构造呢？当某些数学问题用通常办法按定势思维去解，很难凑效时，应根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法，手段，进而构造出解决问题的特殊模式，就是构造法解题的思路．构造法是我们在研究有关数学问题时，需要构造并解出一个合适的辅助问题，从而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法，其实质就是把研究的数学问题经过仔细的观察，挖掘其隐含条件，再通过丰富的联想，把问题化归为已知的数学模型，从而使问题得以解答。

怎样去构造呢？常常是从一个目标联想起我们曾经用过的某种方法、手段，借助于这些方法、手段达到目标。

因此构造法体现了数学思维的灵活性和创造性，构造法并不是独立的，它的运用需要借助于联想法、化归法等。

如果我们能够掌握了构造法并能运用此方法解决数学问题，那么不但可以培养我们的良好的思维品质，而且还可以提高我们的抽象思维能力、发散思维能力和解题能力。

构造法的方法很多，技巧性强，使用时没有固定的模式，须根据具体问题采用相应的构造法。

本文通过不同数学模型的例子介绍构造法的应用。

二、构造函数在微积分证明中的应用
构造法是数学解题的主要方法之一，它的应用极广。

随着知识的积累和增加，构造法就越加突现重要。

比如在零点定理的证明和应用上，在微积分学里的中值定理的证明和应用上等。

最典型的是拉格朗日中值定理的证明。

这个定理的证明是根据几何直观的启示，构造了一个与问题有关的辅助函数，才得以运用罗尔定理解决的。

这种思想方法在数学解题中经常用到，且往往有效。

中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用，通过对不等式的结构分析，构造某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明目的。

其中，在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数，再利用函数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理。

其他中值定理也如此，都是通过构造函数来证明的。

微积分学中的四种中值定理：费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

构造法都贯穿其中，起到了重要和决定性的作用。

（一）构造辅助函数用零点定理证明
零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与 ()f b 异号（即()()0f a f b ⨯<），那么在开区间(,)a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点ξ（a b ξ<<）使()0f ξ=.
零点定理的结论是：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，结论中并未出现导数运算.所以不太可能利用中值定理证明.相反，只要可以整理为：“证明存在(,)a b ξ∈，使某连续函数()x ϕ满足()0ϕξ=”这种形式的命题，基本上都可以使用零点定理来证明，而辅助函数的构造更为简单.
证明方法
(1)将把要正的等式化为等价的标准形式（所有项均移到等式左边，使等式右边为零）.
(2)将等式左边的表达式（将ξ换成x ）作为辅助函数即可.
例1． 设()f x 在闭区间[0,]a 上的非负连续函数，并且(0)0f =，证明：对于任意的0λ>，
0μ>，都存在(,)a b ξ∈，使得()()f f a λξμξ=-.
证明：只要证()()0f f a λξμξ--=，即可.为此，设()()()x f x f a x ϕλμ=--.显然()x ϕ
在闭区间[0,]a 上连续，
并且 20a >(0)(0)()()0f f a f a ϕλμμ=-=-≤，
()()(0)()0a f a f f a ϕλμλ=-=≥.
（1） 若()0f a =，则0ξ=，a ξ=都满足方程；
（2） 若()0f a >，则由(0)0ϕ<，()0b ϕ>及零点定理知，
必有(,)a b ξ∈，使得()0ϕξ=； 因而，对于任意的0λ>，0μ>，都存在(,)a b ξ∈，使得()()0f f a λξμξ--=，即()()f f a λξμξ=-.
构造辅助函数利用零点定理可以证明根的存在性，下面我们通过例子来验证：
例 2 设实数10a >，20a >，30a >，123λλλ<<.证明方程
3121230a a a x x x λλλ++=---分别在区间12(,)λλ和23(,)λλ有且仅有一个实根. 证明：设312123
()a a a F x x x x λλλ=++--- 123213312123()()()()()()()()()a x x a x x a x x x x x λλλλλλλλλ--+--+--=
---， 记123213312()()()()()()()f x a x x a x x a x x λλλλλλ=--+--+--；
易见，()f x 是一个二次函数，它在(,)-∞+∞内连续，当然在12[,]λλ和23[,]λλ上都连续，并且111213()()()0f a λλλλλ=-->，222123()()()0f a λλλλλ=--<，
333132()()()0f a λλλλλ=-->.
所以由零点定理知，必存在112(,)ξλλ∈与223(,)ξλλ∈，使得1()0f ξ=，2()0f ξ=； 然而()f x 是一个二次函数，最多有两个零点，因此()0f x =分别在区间12(,)λλ和23(,)λλ有且仅有一个实根.
另一方面，由于123()()()()()
f x F x x x x λλλ=---，所以()0F x =当且仅当()0f x =，因而()0F x =也分别在区间12(,)λλ和23(,)λλ有且仅有一个实根.
（二）构造辅助函数用罗尔定理证明
罗尔中值定理 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =,那么至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()0f ξ'=.
对于含有抽象函数()f x 及其导数'()f x 的方程或关于ξ的等式，在证明时，应构造辅助函数，用罗尔定理证明。

此时构造函数的一般方法是，查找原函数，其步骤为：
1．若证的是含有ξ的等式，先把ξ改为x ，使等式成为方程；
2．把方程看作是以()f x 为未知函数的微分方程，然后解微分方程；
3．求出解后，把任意常数c 移到一端，另一端即为所要构造辅助的函数;
4．对于形式简单的方程或含ξ的等式，则可用观察法求出辅助函数.
下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理：
拉格朗日中值定理 设函数()f x 满足条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导。

则至少存在一点 (,)a b ε∈，使
()()'(
)f b f a f b a
ε-=- （1.1） 我们要证（1.1）式， 即要证()()'()0f b f a f b a
ε--=-， 即 ()()['()]'0X f b f a f x b a
εε=--=-. 故我们可以从几何意义上来考虑： 拉格朗日中值定理的几何意义如图11-所示，函数()f x 的图像在[,]a b 区间上为图中的弧段 AB ，AB 上点点存在不与oy 轴平行的切线。

那么，结论是在(,)a b 内存在ε点，使相应于这一点的弧AB 上C 点处的切线平行于弦AB 。

图11-
因此在证明拉格朗日中值定理中，故我们想到作辅助函数
()()()()f b f a x f x x b a
-Φ=--
我们所做的辅助函数
()()()()f b f a x f x x b a
-Φ=-- 实际上分两部分：1()y f x =和2()()f b f a y x b a -=
-，容易验证，它们在闭区间[,]a b 连续，在开区间),(b a 内可导，此时易知
()()a b Φ=Φ()()bf a af b b a
-=- 容易验证，()x Φ在[,]a b 上满足罗尔定理的条件.因而存在(,)a b ε∈，使'()εΦ=0， 即()()'()0f b f a f b a
ε--=-成立. 柯西中值定理 设函数()f x 和()g x 满足条件：（1）()f x ,()g x 均在闭区间[,]a b 上连续；
（2）()f x , ()g x 均在开区间(,)a b 内可导;（3）对(,),x a b ∀∈ '()0g x ≠.则存在(,)a b ε∈，
使
'()()()'()()()
f f b f a
g g b g a εε-=- （2.1） 我们要证（2.1）式，
即要证 [()()]'()[()()]'()0g b g a f f b f a g εε---=,
也就是 {[()()]()[()()]()}'|0X g b g a f x f b f a g x ε=---=.
故我们想到作辅助函数
()[()()]()[()()]()x g b g a f x f b f a g x Φ=---.
容易验证，()x Φ在[,]a b 上满足罗尔定理的条件。

因而存在(,)a b ε∈，
使[()()]'()[()()]'()0g b g a f f b f a g εε---=.
因'()0g x ≠（(,)x a b ∈）故()()0g b g a -≠，'()0g ε≠，
得
'()()()'()()()
f f b f a
g g b g a εε-=- 柯西定理证毕.
（三）构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明
证明方法根据－拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件：（I ）)(x f 在闭区间],[b a 上连续；（II ）)(x f 在开区间),(b a 内可导，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得
a
b a f b f f --=
')()()(ξ. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系. 对于常值不等式或函数不等式，通过恒等变形后，若出现函数差值与自变量之差之比，符号拉格朗日中值公式的形式，则用拉格朗日中值定理证明之.此时，所要构造的辅助函数可观察得出.
证明步骤为：
1．辅助函数，找到相应的区间I ；
2．验证该函数在区间I 满足拉格朗日中值定理的条件；
3．写出拉格朗日中值公式； 4．由ξ满足的不等式，对'()f ξ放大或缩小，从而消去ξ，得到所要证明的不等式. 例1 证明：当x x x
x x <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为
x
+11 ，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理证之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x ，原不等式等价于：11
)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.
证明：构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在[1,1]x +(0)x >上连续，在(1,1)x +上可导，)
(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使
ξ
ξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ， 因11(1)ln(1)ln1ln(1),
11f x x x ξ=+-=+<<+， 所以1ln(1)11x x x
+<<+. 即ln(1)1x x x x
<+<+，(0)x >. 适用范围
当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗
日中值定理来证明.
(四) 构造辅助函数用柯西中值定理证明
证明方法根据－柯西中值定理
柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.
证明方法
①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ； ②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理；
③利用ξ与b a ,的关系，对柯西公式进行加强不等式.
例2：设20,π
<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-. 分析：原不等式可等价于a a x
y a a x x
y ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数t a t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之. 证明：原不等式等价于a a x
y a a x x
y ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g 均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π
<<<y x ，
则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条
件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξ
ξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''a a x y a a x g y g x f y f g f x y ， 又因),,(,y x e a ∈>ξ,20π
<<<y x 有 1ln ,1sin 1,>><a a a x ξ
ξ， 得到ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a x x
->-< ,因此a a x y a a x x
y ln cos cos -<--, 即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.
适用范围
当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.
三、构造函数在不等式证明中的应用
不等式的证明历来是数学证明的难点。

不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。

本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。

（一）构造函数利用判别式证明不等式
1．构造函数正用判别式证明不等式
在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法.一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制.
例1. 设：a 、b 、c R ∈，证明：0)(322≥+++++c b a b c ac a 成立，并指出等号何时
成立.
证明：令bc b c a c b a a f 33)3()(222+++++=
⊿＝2222)(3)33(4)3(c b bc b c c b +-=++-+
因为b 、c ∈R ，所以⊿≤0
即：0)(≥a f ，所以0)(322≥+++++c b a b c ac a 恒成立.
当⊿＝0时，0=+c b ，此时，0)(3)(222=-=+++=c a ab c ac a a f ，
所以c b a =-=时，不等式取等号.
例2. 已知：R c b a ∈,,且2,2222=++=++c b a c b a ，求证： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈34,0,,c b a . 证明：⎩⎨⎧=++=++2
2222c b a c b a 消去c 得：012)2(22=+-+-+b b a b a ，此方程恒成立， 所以⊿＝043)12(4)2(222≥+-=+---b b b b b ，即：3
40≤≤b . 同理可求得∈c a ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡34,0.
2．构造函数逆用判别式证明不等式
对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=
由0)(≥x f ，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明.
例3. 设+∈R d c b a ,,,且1=+++d c b a ， 求证：14141414+++++++d c b a ﹤6.
证明：构造函数：
2222)114()114()114()114()(-++-++-++-+=x d x c x b x a x f
＝)1.(4)14141414(282=+++++++++++-d c b a x d c b a x
由0)(≥x f ，得⊿≤0，即⊿＝0128)14141414(42≤-+++++++d c b a . 所以2414141414≤+++++++d c b a ﹤6.
例4. 设+∈R d c b a ,,,且1=++c b a ，求
c b a 941++的最小值. 证明：构造函数222)3
()2
()1
()(c x c b x b a x a x f -+-+-=
＝2149)121x x a b c
++-+（. 因为1a b c ++=，
由0)(≥x f （当且仅当2
1,31,61===c b a 时取等号）， 得⊿≤0,即⊿＝144-4（c
b a 941++）≤0. 所以当21,31,61===
c b a 时，36)941(min =++c
b a .
（二）构造函数运用函数有界性、单调性、奇偶性证明不等式
1.构造函数利用函数有界性证明不等式
定义1（函数的有界性） 设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果0>∃M ，使得对I x ∈∀，
有M x f ≤)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则，称)(x f 在区间I 上无界.
例5. 设a ﹤1，b ﹤1，c ﹤1，求证：ac bc ab ++﹥-1.
证明：令1)()(+++=bc x c b x f 为一次函数.
由于)1)(1()1(c b f ++=﹥0，且)1)(1()(c b x f --=﹥0，
所以)(x f 在)1,1(-∈x 时恒有)(x f ﹥0.
又因为)1,1(-∈a ，所以)(a f ﹥0，即1+++ac bc ab ﹥0
评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为1)(->a f .
2.构造函数利用单调性证明不等式
函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.若在),(b a 内)0)((0)(<'>'x f x f ,则函数)(x f y =在],[b a 上单调增加(减少).
对于形如()()f x g x >（或()()f x g x <）的函数不等式，常构造辅助函数()()()F x f x g x =-（或()()()F x g x f x =-）用单调性证之，其步骤为：
1．构造辅助函数()()()F x f x g x =-；
2．证'()0F x >（或0<）得出单调性；
3．求出()f x 在区间端点之一处的函数值或极限值；
4．最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式.
例6. 求证：当x ﹥0时，x ﹥)1ln(x +.
证明：令)1ln()(+-=x x x f ，因为x ﹥0，所以1
111)(/+=+-=x x x x f ﹥0. 又因为)(x f 在0=x 处连续，所以)(x f 在[)+∞,0上是增函数，
从而，当x ﹥0时，)1ln()(x x x f +-=﹥)0(f ＝0，
即x ﹥)1ln(x +成立.
评注：例6可以看出，在证明这样一类不等式时，先是将原不等式移项，使一端变为0，再构造辅助函数()F x ，证明()F x 在相应的区间内的最大值或最小值为零，从而移项便得所证.
利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。

下面我们就用可导函数的单调性证明不等式法.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理.
定理1 若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是：
),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.
定理2 设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或0)(<'x f ）
，那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）. 定理3 设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
证明方法 （1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；
①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；
②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；
③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）. （2）研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式. 例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .
分析：利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ，而0)0(=f ，因而只要证明
)0(),0()(>>x f x f .
证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ， 即01)1ln(122>+-+++x x x x . 因此)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x . 例3：求证：
b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111.
分析：不等式两边有相同的“形式”:
A A +1：试构造辅助函数)0(,1)(≥+=
x x
x
x f .利用定理二与)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式.
证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=
x x
x
x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)
1(1
)(2
>+=
'x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加. 由b a b a +≤+≤0，有()()f a b f a b +≤+，
得到
b
b a
a b
a b b
a a b
a b a b
a b a ++
+≤
+++
++=
+++≤
+++111111，
所以原不等式成立.
例4：证明：当0>x 时，2
111)
1(x x
e
x +
+<+.
分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在),0(+∞上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到
2
1)1l n ()11(x x x +<++，化简得22)1ln()1(2x x x x +<++，在此基础上可利用差式构造辅
助函数)0)(1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，且0)0(=f ，因而只要证明
)0(),0()(>>x f x f 即可.
证明：分别对不等式得两边取对数，有2
1)1ln()11(x
x x +<++，化简有：
22)1ln()1(2x x x x +<++.设辅助函数)0(),1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ，
)1ln(22)(x x x f +-='，易知)(x f 在),0[+∞上连续，)(x f '也在),0[+∞上连续，因)0(,012)(>>+=
''x x
x
x f ，根据定理二，得)(x f '在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>='>'x f x f .又由)(x f 在),0[+∞上连续，且0)(>'x f ，根据定理二可知)
(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以)0(,0)0()(>=>x f x f ，即0)1l n ()1(222>++-+x x x x ，因此)1ln()1(222
x x x x ++>+，即2
11
1)
1(x x
e
x +
+
<+.
适用范围
利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数
)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后
通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.
3.构造函数利用奇偶性证明不等式
定义2（函数的奇偶性） 设函数)(x f 的定义域X 关于原点对称，（即若∈x X ，则必有∈-x X ）
，如果∀∈x X ，有)()(x f x f =-成立，则称)(x f 为偶函数，如果∀∈x X ，有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f 为奇函数. 例7. 求证：
x
x 2
1-﹤)0(2≠x x
. 证明：设=
)(x f x
x
21--)0(2≠x x ，221)(x x x f x +--=--＝2
122x x x x +-⋅-＝[]
2)21(121x x x
x
+---＝221x x x x +--＝)(x f .
所以)(x f 是偶函数，其图象关于y 轴对称.当x ﹥0时，x 21-﹤0，故)(x f ﹤0；当x ﹤0
时，依图象关于y 轴对称知)(x f ﹤0.故当0≠x 时，恒有)(x f ﹤0，即
x
x 21-﹤)0(2≠x x
. 评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明的，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健.
（三）构造函数运用函数的极值与最大、最小值证明不等式
极值的第一充分条件 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导， （i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)
(x f 在0x 取得极大值;
(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)
(x f 在0x 取得极小值.
极值的第二充分条件 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,
(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值； (ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.
极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理
反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.
证明方法
构造辅助函数)(x f ，并取定区间.
①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）； ②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）； ③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数（见例7）.
例5：证明：当0>x 时有455+≥x x .
分析：利用差式构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于)(x f 在),0(+∞上不是单调函数,（因对任意0,21>x x ，12,x x >55121212()()()5()f x f x x x x x -=---，不能判断)(x f 的符号）.所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．
证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有
),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 51
1
f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因
当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在
),1(+∞上为增函数；由极值的第二充分条件(ii)可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故
),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ． 例6：设0,0>>b a ，则b b b
a
b a )()11(
1≥+++． 分析：此不等式两边含有相同的“形式”：B B
A
)(，可将不等式变形为
b b b b b b a a 11)1()1(+++≥+，可构造辅助函数)0()1()(1
>+=+x x
x x f b
b ． 证明：将不等式变形为b b b b b b a a 11)1()1(+++≥+，构造辅助函数)0()1()(1
>+=+x x
x x f b
b ，
则有b
b b x
b x x x x f 21)
()1()(-+='-，令0)(='x f ，则有b x =．当b x <<0时，0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；当b x >时，0)(>'x f ，则)(x f 单调递增．因此，由极值的第二充分条件(ii)可知)(x f 在b x =时取得极小值，即最小值．所以当),0(+∞∈∀a ，有
≥+=+b b a a a f 1)1()(b
b b
b b f 1
)1()(++=，即)0,(,)()11(1>≥+++b a b a b a b b ． 例7：证明：若1>p ，则对于]1,0[中的任意x 有：1
21)1(1-≥
-+≥p p p x x ．
分析：显然设辅助函数)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，若设1
2
1)(-=
p x g ，由
)10(0)1(2
11)0()0()0(1
≤≤≠=-
=-=-x F g f F p ，故很难用函数单调性的定义去证明．考
虑到1)1()0(==f f ，不难看到不等式1)1(≤-+p p x x ，即为)(x f 与其端点1,0==x x 处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之．
证明：设辅助函数为)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f p p ，则10≤≤x 时，
有],)1([)
1()(111
1------=--='p p p p x x p x p px x f 令0)(='x f 得11
)1(---=p p x x
,解之得稳定点2
1
=x ,因函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值.
已知 121
)211()21()21(,1)1()0(-=-+===p p p f f f .
有 ,1}2
1,
1{max )}({max 1
]
1,0[]
1,0[==-∈∈p x x x f =∈)}({min ]
1,0[x f x ,2
1}2
1,1{min 1
1
]
1,0[--∈=p p x
因此对一切1],1,0[>∈p x 时，有,1)(211
≤≤-x f p 所以原不等式得证.
适用范围
（1）所设函数)(x f 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；
（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.
（四）构造函数运用凹凸性证明不等式
定义1（凹凸性）设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有
2)
()()2(
2121x f x f x x f +<
+ 那么就称)(x f 在区间I 上的图形是凹的（或凹弧）;如果恒有
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>
+ 那么就称)(x f 在区间I 上的图形是凸的（或凸弧）.
凹凸性的判定方法
定理1 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,那么 ① 若在),(b a 内0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的. ② 若在),(b a 内0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的. 证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式.
定义2：设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点21,x x 和实数
)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数，若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.
定理2：设)(x f 为I 上的二阶可导函数，则)(x f 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .
詹森不等式 若)(x f 在],[b a 上为凸函数，对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且
11
=∑=n
i i
λ
,则≤
∑=)(1
n
i i i x f λ)(1
i n
i i
x f ∑=λ
.该命题可用数学归纳法证明.
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系. 证明方法：
①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数)(x f ，并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.
②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.
例10：证明：当0,0>>y x 时, 2
ln )(ln ln y
x y x y y x x ++>+.
分析：不等式等价于：2
ln )2(2ln ln y
x y x y y x x ++>+.不等式两边含有相同“形式”：
t t ln ,可设辅助函数)0(ln )(>=t t t t f .因此原不等式可化为要证)2(2)()(y
x f y f x f +>+.
只要证明)(t f 在),0(+∞上为凸函数，即证)(x f 在),(y x 内0)(>''x f 即可.
证明（定义证明法）：设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01
)(,1ln )(>>=''+='t t
t f t t f .则)
(t f
在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>，有
)2(2)()(y x f y f x f +>+(取2
1
=λ).(要
使)(x f 与)(x g 的系数相同，当且仅当λλ-=1时成立，即2
1
=λ).因此
2
ln )(ln ln y
x y x y y x x ++>+.
例11：若A,B,C 是ABC ∆的三内角，则32
3
sin sin sin ≤
++C B A . 分析：不等式左边为x sin 的函数的和，考虑构造凸函数x x f sin )(-=.
证明（詹森不等式）：令π<<-=x x x f 0,sin )(，则0s i n )(>=''x x f .则)(x f 是),0(π上的凸函数, π<<C B A ,,0,取321λλλ==，由13
1=∑=i i λ，得到3
1
321=
==λλλ. 由詹森不等式结论得)sin sin (sin 3
1
3sin C B A C B A ++-≤++-,因C B A ,,是ABC ∆的三内角，
则 π=++C B A ，
可得 2
33
sin
)sin sin (sin 3
1
=
≤++π
C B A . 即 32
3
sin sin sin ≤
++C B A . 适用范围
当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.
（五）构造函数运用定积分理论来证明不等式
证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论.
定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两格可积函数，若
],[),()(b a x x g x f ∈≤, 则
dx x g dx x f b
a
b
a
⎰⎰
≤)()(.
微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分
],[,)()(b a x dt t f x x
a
∈=Φ⎰，
定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在
],[b a 上的一个原函数.
微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.
证明方法
构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分
⎰
x
a
dt t f )(及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.
例15：设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明dx x f b a dx x xf b
a
b
a ⎰⎰+≥
)(2)(. 分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b 变为变数t ，利用差式构造辅助函数：
dx x f t a dx x xf t F t
a
t
a ⎰⎰+-=)(2)()(，则要证0)()(=≥a F
b F .
证明：（利用构造变上限辅助函数）设辅助函数dx x f t a dx x xf t F t
a t
a
⎰⎰+-
=)(2
)()(.显然0)(=a F ．
对],[b a t ∈∀，1()()()()22t a a t
F t tf t f x dx f t +'=-
-⎰ 1()()22t
a t a f t f x dx -=-⎰ 1[()()]2t
a
f t f x dx =-⎰ ),(t a x ∈．
因为)(x f 单调递增，则0)(≥'t F ，则)(t F 单调递增， 所以)(,0)()(a b a F b F ≥=≥. 因此dx x f b a dx x xf b
a b
a ⎰⎰+≥)(2
)(. 适用范围
当不等式含有定积分（或被积函数)()(x g x f ≤时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.
（六）构造函数引入参数证明不等式
证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论
研究函数的性质，从而证明不等式.
证明方法
引入参数t ，构造辅助函数0])()([2
≥-⎰
dx x tg x f b
a
，得到关于t 的二次多项式，利
用判别式0≤∆来证明不等式.
例
16：设
)
(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，证明：
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
⎰⎰⎰≤)()())()((22
2
（柯西－许瓦茨不等式）.
分析：欲证不等式是函数)(),(22x g x f ，以及)()(x g x f 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.
证明：利用定积分的性质易知
0])()([2
≥-⎰dx x tg x f b
a ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰b
a
b
a
b
a
dx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式，因此，
判别式：
0)()(4))()((422
2
≤-=∆⎰⎰⎰b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f ，即：
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
⎰⎰⎰≤)()())()((22
2
．
适用范围
当积分式含有平方项)(2x f ，或)(2x f '的情形.
四、条件极值与拉格朗日乘数法
（一）条件极值
了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． 条件极值；拉格朗日乘数法．
(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法; (2) 用条件极值的方法证明或构造不等式; (3) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大.;
(4) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积xyz V =焊制水箱用去的钢板面积为
xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题.
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件
)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ
限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值. 条件极值与无条件极值的区别:
条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等.
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点.请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）.
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值. 1.何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制.决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形.我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.。