2017届陕西省黄陵高三(重点班)下学期考前模拟(二)数学(理)试题

2017届陕西省黄陵高三（重点班）下学期考前模拟（二）
数学（理）试题
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知1213,3z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则
1
2
z z 的虚部为（ ） A ．-1 B ．
45
C ． i -
D ．45
i
2．已知集合11|
<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛
⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩
⎭，则()R A C B =（ ）
A ．11,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦ B ．(]1,1-
C ．1,12⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．∅
3．给出下列两个命题：
命题:p ：若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ,则1MA ≤的概率为
4
π
． ,a b a b a b a b ⋅=⋅命题q:设是两个非零向量，则“”是“与共线”的充分不必要条件；
那么，下
列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧
B ．p ⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∨
4．若函数()sin y k kx ϕ=+（0,2
k π
ϕ><
）与函数2
6
y kx k =-+的部分图像如图所示，则函数()()()sin cos f x kx kx ϕϕ=-+-图像的一条
对称轴的方程可以为（ ） A ．24
x π
=-
B ． 1324x π
=
C ．724
x π=
D ．1324
x π
=-
5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod m n N =，例如)3(mod 211=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( ) A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
6．如果n 为正奇数，那么7n
＋C 1
n ·7n －1
＋…＋C n －1
n ·7被3除所得的余数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
7．在平面直角坐标系内，区域M 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，0≤y ≤1，区域N 满足⎩
⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，
0≤y ≤sin x ，则向区域M 内投一点，落在区
域N 内的概率是( ) A.
2π B.π4 C ．2－2π D ．2－π
4
8．已知空间四面体ABCD 的体积是V ，点O 是该四面体内的一点，且满足＋(2－1)＋sin α＋cos α＝0，
其中变量α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列判断正确的是( )
A ．V OACD 的最大值为2－24V
B ．V OABD 和V OAB
C 的最大值均为V
4
C ．V OAB
D ＋V OABC 的最大值为12V D ．V OBCD 的最大值为2
4
V
9．已知方程(m －1)x 2
＋(3－m )y 2
＝(m －1)(3－m )表示焦距为8的双曲线，则m 的值为( ) A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或34 10．如果sin 3
θ＋sin θ≥cos 3
θ＋cos θ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范围是( ) A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4，3π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，5π4
11．已知点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，－1在抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的准线l 上，过点A 向抛物线C 引切线AT ，切点为T ，点P
是抛物线C 上的动点，则点P 到直线l 和直线AT 的距离之和的最小值是( ) A. 5 B.
52 C.32 5 D.5
2
或 5 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2
＋x
2x 2
＋cos x
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1－x )8
＋(1－x 2)4
的展开式中x 6
项的系数为________． 14．已知不
等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0
表示的平面区域为D ，若存在x 0∈D ，使得y ＝2x 0＋mx 0
||x 0，则实数m 的取值范围是
________．
15．已知圆E ：x 2＋y 2
－2x ＝0，若A 为直线l ：x ＋y ＋m ＝0上任意一点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是________．
16．已知f ()x ＝sin 4
ωx －cos 4
ωx ()ω>0的值域为A ，若对任意a ∈R ，存在x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，使得{y |y
＝f ()x ，a ≤x ≤a ＋2}＝＝A ，设x 2－x 1的最小值为g ()ω，则g ()ω的值域为___ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和；
(2)设b n ＝S n n
，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．
18．(本小题满分12分)某在每年的11月份都会举行“文化艺术节”，且在开幕式当天举办大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示，其中有34的社长是高生，14的社长是初生，高生社长中有13是
高一学生，初生社长中有2
3
是初二学生．
(1)若校园电视台记者随机采访3名社长，求恰有1名是高一学生且至少有1名是初生的概率； (2)若校园电视台记者随机采访3名初生社长，设初二学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．
19．(本小题满分12分)如图33，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，且AC ⊥BC ，M 是AB 1与A 1B 的交点，N 是线段B 1C 1的中点． (1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；
(2)求平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值．
图33
20.(本小题满分12分)已知平面内定点F (1，0)，定直线l ：x ＝4，P 为平面内一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且||＝2||.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)若过点F 且与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断|FR ||AB |是否为定值．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x
，其中a ∈R ，e 为自然对数的
底数．
(1)若函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值； (2)若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求
a 的取值范围．
选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 的方程是2sin ρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标坐标方程；
（2）过曲线1cos :(sin x C y α
α
α=⎧⎨=⎩为参数）上一点T 作1C 的切线交曲线C 于不同两点,M N ,求TM TN ⋅的
取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()()
x a
f x a R x -=∈.
（1）若1a =，解不等式
2
()f x x <
；
（2）若对任意的[1,4]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数a 的取值范围.
参考答案·数学(理科)
1.B
2.A 3 C 4. .B 5.C
6．B 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．B 13．24 ()
1－x 8
＋()1－x 2
4
的展开式中x 6项的系数为C 68－C 3
4＝28－4＝24.
14.[)－4，2 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0
表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，
A ()0，2，
B (－2，－2)，
C (2，0)，E (0，－1)．当x >0时，y ＝2x ＋
mx
||
x ＝2x ＋m, 把A ()0，2的坐标代入y ＝2x ＋m ，得m ＝2 ，把C ()2，0的坐标代入y ＝2x ＋m ，得m ＝－4，所以－4≤m <2；当x <0时，y ＝2x ＋mx
|x |＝2x －m, 把A ()0，2的坐标代入y ＝2x －m ，得m ＝－2，把E (0，－1)的坐
标代入y ＝2x －m ，得m ＝1，所以－2<m <1.综上可得实数m 的取值范围是 圆E ：x 2
＋y 2
－2x ＝0的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，故圆E 是圆心为()1，0，半径为1的圆．因为过点A 可作两条直线与圆E 相切，所以直
线l 与圆E 相离，所以圆心(1，0)到直线l 的距离d >r ，即
||
1＋m 2
>1，即m >2－1或m <－2－1.若△ABC
为正三角形，则AE ＝2r ＝2，故d ≤2，即||
1＋m 2
≤2，即－22－1≤m ≤22－1.综上可得，实数m 的取值
范围是．
16.(]0，1 f ()x ＝sin 4
ωx －cos 4
ωx ＝(sin 2
ωx ＋cos 2
ωx )(sin 2
ωx －cos 2
ωx )＝sin 2
ωx －cos 2
ωx ＝－
cos 2ωx ，其最小正周期T ＝
2π2ω＝π
ω
.若对任意a ∈R ，{y |y ＝f (x )，a ≤x ≤a ＋2}＝A ，则T ≤()a ＋2－a ＝2，即πω≤2，所以ω≥π
2
.由＝A ，可得x 1，x 2分别是f ()x 的极小值点与极大值点，所以x 2－x 1的最小值
g ()ω＝T 2＝π2ω.由ω≥π
2
，可得g ()ω的值域为(]0，1.
17．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2，2分
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).6分 (2)证明：由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *
，且互不相等)成等比数列，8分 则b 2
q ＝b p b r ，即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2
－pr )＋2(2q －p －r )＝0，∵p ，q ，r ∈N *
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪
⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾，
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 12分
18．解：(1)由题意得，高生社长有27名，其中高一学生有9名；初生社长有9名，其中初二学生有6名．设事件A 为“采访的3名社长中，恰有1名是高一学生且至少有1名是初生”， 则P (A )＝C 19C 19C 1
18C 336＋C 19C 2
9C 336＝297
1190.6分
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，则 P (X ＝0)＝C 3
3C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 2
3C 39＝3
14，
P (X ＝2)＝C 26C 1
3C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 3
6C 39＝5
21，9分
所以X 的分布列为
E (X )＝0×184
＋1×14
＋2×28
＋3×21
＝2.
12分
19．解：(1)证明：以C 为原点，分别以CC 1，CB ，CA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A 1(2，0，2)，
B 1(2，2，0), B (0，2，0)，
C 1(2，0，0)，
∴M (1，1，1)，N (2，1，0)，
∴＝(－2，2，－2)，＝(0，2，0)，＝(1，0，－1)，3分 ∴·＝－2×1＋0×2－2×()－1＝0， ·＝0×1＋0×2＋0×()－1＝0， ∴MN ⊥A 1B ，MN ⊥CB .又∵A 1B ∩CB ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BC .6分
(2)过C 点作CH ⊥AB 于H 点，∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CH ⊥平面A 1BA, 故平面A 1BA 的一个法向量为＝(0，1，1)．
由(1)知平面A 1BC 的一个法向量为＝(1，0，－1).8分 设θ为所求两平面所成锐二面角，则
cos θ＝＝＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－1×12×2＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴sin θ＝1－cos 2
θ＝
3
2
.11分 故平面AA 1B 与平面A 1BC 所成锐二面角的正弦值为
3
2
.12分 20．解：(1)设P (x ，y )，则Q (4，y )，∵||＝2||， ∴2
＝42
，∴(4－x )2
＝4， 化简整理，得 x 24＋y 2
3
＝1.4分
(2)依题意，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，5分
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2
3
＝1，消去y ，得
(3＋4k 2
)x 2
－8k 2
x ＋4k 2
－12＝0，6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－12
3＋4k 2.8分
设AB 的中点为D (x 0，y 0)，则
x 0＝
x 1＋x 2
2＝4k 2
3＋4k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－3k 3＋4k
2. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －4k 2
3＋4k 2， 令y ＝0，得x R ＝k 23＋4k 2，∴|FR |＝1－k 2
3＋4k 2＝3（1＋k 2
）3＋4k 2
.10分 ∵|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝12（1＋k 2
）
3＋4k
2
，
∴
|FR ||AB |＝1
4
为定值.12分 21．解：(1)因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能， 所以要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点， 只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立， 即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 2分
令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，
则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，
再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）
x
2
<0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0，
从而l ′(x )>0，所以l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，
所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2－4ln 2. 所以要使a >2－2ln x x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12上恒成立，只要a ∈时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．又因为g (0)＝0，g (1)
＝1，g (e)＝e ·e
1－e
>0，
所以函数g (x )在(0，e]上的值域为(0，1].6分 易知当a ＝2时，不合题意．
当a ≠2时，f ′(x )＝2－a －2x ＝（2－a ）x －2x ＝（2－a ）⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －22－a x
，
当x ＝
2
2－a
时，f ′(x )＝0. 由题意得，f (x )在(]0，e 上不单调， 故0<22－a <e ，即a <2－2e
①.
此时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫22－a ＝a －2ln 22－a ，f (e)＝(2－a )(e －1)－2，
所以，若对任意给定的x 0∈(]0，e ，在(]0，e 上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)， 使得f (x i )＝g (x 0)成立，则a 满足
⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝
⎛⎭⎪⎫22－a ≤0，f （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2ln 22－a ≤0②，（2－a ）（e －1）－2≥1③.9分 令h (a )＝a －2ln 22－a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e ，
则h ′(a )＝1－2′＝1－
22－a ＝a
a －2
，令h ′(a )＝0，得a ＝0， 故当a ∈(－∞，0)时，h ′(a )>0，函数h (a )单调递增； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2e 时，h ′(a )<0，函数h (a )单调递减． 所以，对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e ，有h (a )≤h (0)＝0，
即②式对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2e 恒成立． 由③式解得a ≤2－3
e －1
④.11分
综合①④可知，当a ∈－∞，2－3
e －1时，对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，
2)，使f (x i )＝g (x 0)成立.12分
22.【答案】（1）
22(1)1x y +-=（2）[0,1]. 【解析】（1）依题,因222,sin x y x ρρθ=+=,所以曲线C 的直角坐标方程为
22
(1)1x y +-=.
（2）曲线1cos :(sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数）的直角坐标方程为：
22
1x y +=， 设
00(,)
T x y ，切线MN 的倾斜角为θ，由题意知
0(0,1]
y ∈，，
所以切线MN 的参数方程为: 00cos sin x x t y y t θ
θ=+⎧⎨
=+⎩（t
为参数）．
代入
2
C 的直角坐标方程得,
20002(cos sin sin )120
t x y t y θθθ++-+-= ，
∴012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈．
考点：简单曲线的极坐标方程
23．【答案】（1）{|03x x <<或1}x <-；（2）35a -<<.
【解析】（1）由已知得：12x x x -<
,012x x >⎧⎪∴⎨-<⎪⎩解得 03x << 或0
12x x <⎧⎪⎨
->⎪⎩
解得 1x <- 所以不等式的解集为：{|03x x <<或1}x <-.
（2）由题意知，24x a x -<，2222
44,44x x a x x x a x x ∴-<-<-<<+
从而2
244a x x a x x ⎧>-⎪⎨
<+⎪⎩ ∵[1,4]x ∈ ∴35a -<<.。