高考物理万有引力定律的应用解题技巧及练习题

高考物理万有引力定律的应用解题技巧及练习题
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．
（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；
（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．
【答案】（1）2π=T ω；（2）2
3124GMT h R π
（3）h 1= h 2 【解析】 【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=T
ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：2
1
212π=()()()Mm G
m R h R h T
++ 解得：2
312
=4π
GMT
h R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，2
2
22
2=()()()Mm G
m R h R h T
π++ 解得：2
322
=4GMT
h R π
- 因此h 1= h 2．
故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π
- （3）h 1= h 2 【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．
2．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m
-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l
在最高点：2
22mv F mg l += ① 在最低点：2
11mv F mg l
-= ② 由机械能守恒定律，得
221211222
mv mg l mv =⋅+ ③ 由①②③，解得1
2
6F F g m
-= （2）
2
GMm
mg R
= 2GMm R =2
mv R
两式联立得：v=
12()6F F R
m -
（3）在星球表面：2
GMm
mg R = ④ 星球密度：M
V ρ=
⑤ 由④⑤，解得12
8F F GmR
ρπ-=
点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．
3．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做角速度相同的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若A 星体的质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：
（1）A 星体所受合力的大小F A ； （2）B 星体所受合力的大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ；
（4）三星体做圆周运动的周期T ．
【答案】（1
） （2
）22a （3
）4a （4
）T = 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为
2
4222A B R CA m m m F G G F r a
===,
则合力大小为
22A m F a
=
（2）同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为
222
222
2A B AB C B CB
m m m F G G r a
m m m F G G r a
====
则合力大小为
2
2cos 602Bx AB CB m F F F G a =︒+=
2
2sin 60By AB m F F a
=︒=．
可得
2
2B m F a
==
（3）通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，
C R == （4）三星体运动周期相同，对C 星体，由
2
222C B C m F F m R a T π⎛⎫=== ⎪⎝⎭
可得
T =
4．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通
过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间． 【答案】
2
03
t gR r ω=
- 或者202
t gR r ω=
-
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．
解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有
22Mm
G
mr r
ω= 航天飞机在地面上，有2mM
G R
mg = 联立解得22gR r
ω=
若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π 所以
2
02
t gR r ω=
- 若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π 所以
202
t gR r ω=
-
． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．
5．一宇航员登上某星球表面，在高为2m 处，以水平初速度5m/s 抛出一物体，物体水平射程为5m ，且物体只受该星球引力作用求： （1）该星球表面重力加速度
（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍． 【答案】（1）4m/s 2；（2）1
10
； 【解析】
（1）根据平抛运动的规律：x ＝v 0t 得05
15
x t s s v ＝
＝＝
由h ＝
12
gt 2 得：2222222
/4/1
h g m s m s t ⨯＝
＝＝ （2）根据星球表面物体重力等于万有引力：2
G M m
mg R 星星
＝ 地球表面物体重力等于万有引力：2
G M m
mg R '地地
＝
则2
22411
=()10210
M gR M g R '⨯=星星地地＝ 点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力．
6．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。

请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T ，两颗恒星之间的距离为d ，引力常量为G 。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s 的速度传播的
倍，这个关系对于其他天体也是正确的。

③地球质量m e =6.0×1024kg ，引力常量G = 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1) 3224s Gm r T π= (2) 232
4d GT
π (3) 9×10-3
m 【解析】 【详解】
⑴设太阳质量为m s ，地球质量为m e ，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力
根据万有引力定律和牛顿运动定律
2
224s e e m m G m r r T
π=
解得常量
322
4s
Gm r T π
= ⑵设双星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2 根据万有引力定律及牛顿运动定律
2
1211224m m G m r d T π= 2
1222224m m G m r d T
π= 且有
12+r r d =
双星总质量
23
122
4=d m m m GT
π+=总 ⑶设地球质量为m e ，地球半径为R 。

质量为m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
212e m m v G m R R
=
解得
1v =
逃逸速度
2v =
假如地球变为黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R =9×10-3m
7．如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱．已知月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常量为G ，不考虑月球的自转．求：
（1）月球的质量M ；
（2）轨道舱绕月飞行的周期T ．
【答案】（1）G
gR M 2
=
（2）2r r
T R g
π=【解析】 【分析】
月球表面上质量为m 1的物体，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期； 【详解】
解：(1)设月球表面上质量为m 1的物体，其在月球表面有：112Mm G
m g R = 1
12
Mm G m g R
= 月球质量：G
gR M 2
=
(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m
由牛顿运动定律得： 2
2Mm 2πG m r r T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
222()Mm G m r r T π= 解得：2r
r T R g
π=
8．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．
【答案】2
3
4()h R l T
g
π+=
【解析】 【分析】 【详解】
设卫星周期为1T ,那么:
22
2
14()(
)Mm m R h G R h T π+=+, ① 又
2Mm
G
mg R
=, ② 由①②得
3
12()h R T R g
π+=
. 设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则
1
2T
l R T π⋅=. 所以
23
124()RT h R l T T
g
ππ+==
. 【点睛】
摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间
内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．
9．已知火星半径为R ，火星表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R ，忽略火星自转的影响。

求：
（1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）人造卫星的运行周期。

【答案】（1）2
g
G
R （2gR （3）2
4R g
π
【解析】 【详解】
（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：2
GMm
mg R
=
得火星的质量 2
g
M G
R =；
（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据2
mg m R
v =
得
v = （3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得()()2
2
222GMm
m R
T
R π=⎛⎫ ⎪⎝⎭
联立得2
4R T g
π=。

10．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r ，运行周期为 T ，引力常量为 G ，求两颗星的质量之和．
【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【详解】
对双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r =r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+=。