湖南高考数学应用题十年真题及解析

湖南高考数学应用题十年真题及解析
1.(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，
B (－10,0)，
C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中
心．
(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：
(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请
确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．
2．（2012湖南，理20）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）． （Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最
短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
3. （2011湖南，理20）如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）
的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为1
10
；（2）其它面的淋雨量之和，其值为
1
2
，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2
时。

（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少
4. （2010湖南，理19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，
B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂
直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过
65
km 的区域；在直线2x
=的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距离之和不超过45km 的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段12PP ，23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
5. （2009湖南，理19）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
m x (2x y y x m y
化 区 域
已 图6
6. （2008湖南，理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距
B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东
45+θ(其中sin θ
=
26
，090θ<<)且与点A 相距
C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由.
7. （2007湖南，理19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），
且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2
a
万元/km ．当山坡
上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥，
1.5(km)AB =
，OA =．
（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小； （II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO
修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的
总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
Ｏ
A
E
D
B
H
P
8.（2006湖南，理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的
清洁度定义为:1()
-
污物质量
物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方
案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81
x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac
y a
++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?
并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
9.（2005湖南，理20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *
，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2
成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *
，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.
答案
1．解：设点P 的坐标为(x ，y )．
(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．
(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．
①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|， 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立， 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)
当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．
d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．
故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，
所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|， 此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|，
d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.
由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．
综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．
2. 解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
123(),(),(),T x T x T x 由题设有
12323000100020001500
(),(),(),6200(1)T x T x T x x x kx k x
⨯=
===-+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.
（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为
2000,.1x x x N k *⎧⎫
<<∈⎨⎬+⎩⎭
易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到 212
()(),T x T x k
=
于是 （1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
，
由函数13(),()T x T x 的单调性知，当
10001500
2003x x
=-时()f x 取得最小值，解得 400
9x =
.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113
f T f T f f <<====<而.
故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250
(44)11f =.
（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时
{}1375
(),()max (),()50T x x T x T x x
ϕ=
=-易知()T x 为增函数，则 {}13()max (),()f x T x T x = {}1max (),()T x T x ≥
1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭
.
由函数1(),()T x T x 的单调性知，当
100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得400
11
x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311
T T ϕϕ<<==>==>而
此时完成订单任务的最短时间大于250
11
.
（3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时
{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫
==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，
当
2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得800
11
x =.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于250
11
.
综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.
3. 解析：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为
31||202
v c -+， 故100315
(||)(3||10)202y v c v c v v
=
-+=-+. （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)
(3310)15c y c v v v
+=
-+=-； 当10c v <≤时，55(103)
(3310)15c y v c v v
-=
-+=+. 故5(310)
15,05(103)15,10c v c v
y c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩。

(1)当1003c <≤
时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202
c
y =-。

(2) 当
10
53
c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c
=。

4. 【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P 的坐标为(,)x y .当
x ≥2时，
由题意知22
36
(4)5
x y -+= 当2PA PB P A,B x <时，由||+|在以焦点，长轴长为2a ＝ 2b ==的椭圆上。

此时短半轴长，因而其方程为221204
x y +=
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
2222123636
:(4)(2):(4)(2)55
C x y x x y x -+=
≥-+=<和C
（Ⅱ）设过点P 1，P 2的直线为l 1，点P 2，P 3的直线为l 2，则直线l 1，l 2的方程分别为
14,6y y =+=
【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。

本题属难题。

5. 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩， n (1)1m
n x m x
+=-，即n=
所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。

6. 解: （I ）如图，AB
，
,sin BAC θθ∠==
由于090θ<<,所以cos θ
= 由余弦定理得
=
3
=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）,
BC 与x 轴的交点为D.
由题设有，x 1=y 1=
2
AB=40, x 2=AC
cos )30CAD θ∠=-=
,
(2m m
x x x
-1)+2562256.x
m x
=
+-2
33
2
222561'()(512).22m m f x mx x x
x
=-
+=-'()0f x =32
512x =x x '()f x ()f x 64640x <<'()f x ()f x ()f x x 640
119.64
m n x =-=-=
y
y 2=AC
sin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d
7.=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .
在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-∠=⋅
=222
=10.
从而sin 10
ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，
AQ=
sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠
=157.=< 所以船会进入警戒水域.
7. 解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是
山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，
1sin PH
PB θ
=
=． 设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
PD ==[12]，
． 记总造价为1()f x 万元，
据题设有2
211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-+
2
143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则(
)212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭
，由2()0f y '=，得1y =． 当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67
16
a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302
x y +≤≤
，总造价为S
万元，则2
11111224x y S x a ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x -
-≥
1322y ≥，当且仅当11
4
x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值
67
16a ，点D E ''， α
A
O
E D
B
H
P
分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
211111224x y S x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
))
2
1111143
3
4416
x a y y a a ⎛
⎫⎡⎤=-++
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
143
416a a ⨯+≥ 6716
a =．
当且仅当114x =且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，
S 取得最小值67
16
a ，以上同解法一．
8. 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有
0.8
1
x x ++=0.99,解得x=19. 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:
0.950.99,y a
y a
+=+解得y=4a ,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3.
因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少. （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得
54
5(1)
c x c -=
-，(99100)y a c =-（*）
于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1
100(1)15(1)a c a c =
+----
当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+,
当且仅当
1
100(1)5(1)
a c c =--时等号成立.此时
1)1(0.8,0.99),
c c ==不合题意,舍去或
将1
c =-
代入（*）式得11,.x a y a =>-=
故1
c =-
时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为
1a 与, 最少总用水量是()1T a a =-+.
当'13,()10a T a
≤≤=
->时,故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
9. 解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为
221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此
1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即
（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11c
b
a x cx
b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b
猜测：当且仅当a >b ，且c
b
a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变 （Ⅲ）若
b 的值使得x n >0，n ∈N*
由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知
0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1. 而x 1∈(0, 2)，所以1,0(∈b
由此猜测b 的最大允许值是1
下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立
②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2), 则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0. 又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2
+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有x n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.。