高考数学新型问题解题策略

高考数学新型问题解题策略
从最近几年来高考中创新题型逐年攀升的趋势，可预测创新性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。

我们认为进行创新性问题的训练，是数学教育走出困境的一个好办法。

在高考复习的过程中要重视对创新性问题的专题训练,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些，难度由浅入深；
预测创新题型多出现与经济、生活密切相关的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。

根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求，结合中学数学教材的内容及我国的经济发展的要求，在实际问题中侧重如下几种模型：
（1）社会经济模型
现值、终值的计算及应用（计息、分期付款、贴现等），投资收益，折旧，库存，经济图表的运用； （2）拟合模型
数据的利用、分析与预测（线形回归、曲线拟合）等问题；
（3）优化模型科学规划，劳动力利用，工期效益，合理施肥，最值问题，工程网络，物资调用等问题；
（4）概率统计模型彩票与模型，市场统计，评估预测，风险决策，抽样估计等问题；
（5）几何应用模型工厂选址，展开、折叠，视图，容器设计，空间量的计算，轨迹的应用等； （6）边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。

例1．（社会经济问题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系
式为116t a
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（a 为常数），如图所示。

据图中提供的信息，回答下列问题：
（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为； （II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
答案：（I ）()()1
10
1000.1 10.116t t t y t -≤≤⎧⎪⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
（II ）0.6； 解析：（I ）由题意和图示，当00.1t ≤≤时，可设y kt =（k 为待定系数），由于点()0,1,1在直线上，
10k ∴=；同理，当0.1t >时，可得0.11110.101610
a
a a -⎛⎫
=⇒-=⇒=
⎪
⎝⎭
（II ）由题意可得10.254y ≤=，即得110400.1t t ⎧≤⎪⎨⎪≤≤⎩或110111640.1
t t -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩1040t ⇒≤≤或 0.6t ≥，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室。

例2．（拟合问题）“人口问题”是我国最大社会问题之一,估计人口数量'和发展趋势是我们制定一系
方法1 ：(利用计算器) (1) 在坐标系中描出数据的散点图,直观判断散点近似在一直线上； (2) 用回归直线作为其拟合模型,为便于计算,可将数据适当简化,再用计算器计算相应的数据之和. 7125a ＋225b=221 860.55,
由 225a ＋10b=8530.38, 解得 a=14.510 06,b=526.561 6.
例3．对项目乙投资的
3
2
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
（A ）36万元 （B ）31.2万元 （C ）30.4万元 （D ）24万元
解析：选B ．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投
资不小于对项目乙投资的
3
2
倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的3
2
倍时可获最大利润．这是最优解法。

也可用线
性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现。

例4．（科技问题）如图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，它能接收到信号，否则就不能接收到信号，若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组中的两个接线点用导线连结，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）
A.
45
1 B.
361 C.154D.15
8 分析：时代信息，服务生活，普及科技.这是一道综合性较强的题目,考查知识点比较多,考查背景是概率.相关知识点:)!
(!!m n m n C m
n -=
)1()1(+--=m n n n A m
n .
解：左端的六个接点平均分成三组有153
322
2426=A C C C 种连接方式，右端的六个接点平均分成三组也有153
3
222426=A C C C 种连接方式，将左右两边按序连接，故共有33215A 种连接方式，在左端任取两个接点有2
6C 种取法，则右端的其中一个接线点只能在剩余的4个接线点中选择一个连接，有1
412C C 种连接方式；被选择的接线点对应的接收器的左边接线点只能在左边剩余的3个接线点中选择一个连接，有1
3C 种连接方式；对应到这个接收器的右边的接线点，只能在剩余的2个中选择一个，有1
2C 种连接方式；将其余的接线点
顺次相连即可接收到信号，则共有33
12
13
14
12
2
6
815A C C C C C ⨯=种连接方式。

故158
158153
3
23
3=⋅⨯=A A P 故应选D ． 点评：本题情境新颖，考查灵活，以概率为背景考查思维转化能力及分步原理，是一道水平很高的好题．
例 5.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A ．4,6,1,7
B ．7,6,1,4
C ．6,4,1,7
D ．1,6,4,7
分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a,b,c,d 的值． 解：当接收方收到密文14，9，23，28时，
则214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得6417
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．
. (I)求该运动员两次都命中7环的概率；(II)求ξ的分布列
解析：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ)ξ的可能取值为7、8、9、10
04.0)7(==ξP ；21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP ， 39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，
36.02.02.03.022.03.022.02
.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，
ξ分布列为：
(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。

点评：分布列不仅明确给出了（i x =ξ）的概率，而且对任b a <事件（b a ≤≤ξ）发生的概率均可由分布列算出：b
a a b
a a i i i
b a P a U b a ≤≤≤≤∑
=
≤≤⇒==
≤≤)()()(ξξξi i i P a P b
a a ≤≤∑
=
=)(ξ。