江苏省兴泰高补中心高三数学寒假作业一苏教版

寒假作业（1）
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知集合}{21<<-=x x A ，集合}{13≤<-=x x B ，则B A = .
2.5
2lg 4lg
8+的值= . 3.若复数i
i
z -=12(i 为虚数单位)，则z ＝ .
4.若命题“R x ∈∃，使得01)1(2
<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围为
.
5.已知2
()1f x ax bx =++是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，则b a +的值为 .
6.焦点在y 轴上，离心率是1
2
，焦距是8的椭圆的标准方程为_ .
7.在等差数列{n a }中，若4681012120a a a a a ++++=，则数列{n a }前15项的和为 .
8.已知直线0ax by c ++=与圆:C 12
2
=+y x 交于A ，B 两点，且||3,AB =
则
OA OB ⋅= .
9. 已知500辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在]80,60[ 的汽车车辆数为
.
10.已知x
x
x tan 1tan 1)4
tan(-+=
+
π
，且函数x y tan =的最小正周期是π. 类比上述结论，若
R x ∈，a 为正的常数，且有 1()
()1()
f x f x a f x ++=
-，则()f x 的最小正周期是
.
11. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S 等于 .
12.当2
0π
<<x 时，函数21cos28cos ()sin 2x x
f x x -+=的最小值为 .
13.在直角ABC ∆中，已知32=AB ，3=AC ，
90=∠ACB ，点M 是ABC ∆内任意一
点，则3<AM 的概率是 .
14.二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若
22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5
8222bc
b c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6 ⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ；
16．（本小题满分14分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆
O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==．
（1）求证：AF ⊥平面CBF ；
（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --
17．（本小题满分14分）
如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座FG 高1.5m ，现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？
30.20.58,0.660.81≈≈）
18．（本小题共16分）
已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两
条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心 率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
222
2
a b ON
OM
+
为定值．
19．（本小题共16分）
已知M （p, q ）为直线x+y-m=0与曲线y=-1
x 的交点，
且p<q ，若f （x ）=2x-m
x 2+1 ，λ、μ为正实数。

求证：|f （λp+μq λ+μ ）-f （μp+λq
λ+μ ）|<|p-q|
20．（本小题共16分）
已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=- （p 为大于1的常数），记f （n ）1(1)2(1)
n
n n p p p p -+=⋅-． （1）求n a ； （2）试比较(1)f n +与
1
()2p f n p
+的大小（*n ∈N ）
； （3）求证：（2n-1）f （n ）≤f （1）+f （2）+…+f （2n-1） ≤p+1p-1 [1-（p+12p ）2n-1] （n∈N *
）
答案：
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知集合}{2
1<<-=x x A ，集合}{13≤<-=x x B ，则B A = .
{}11≤<-x x
2.5
2lg 4lg 8
+的值= . 1
3.若复数i
i
z -=12(i 为虚数单位)，则z ＝
.
4.若命题“R x ∈∃，使得01)1(2
<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围为
. ()()+∞-∞-,31,
5.已知2
()1f x ax bx =++是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，则b a +的值为 .
3
1
6.焦点在y 轴上，离心率是1
2，焦距是8的椭圆的标准方程为_ .
148
642
2
=+x y
7.在等差数列{n a }中，若4681012120a a a a a ++++=，则数列{n a }前15项的和为 .360
8.已知直线0ax by c ++=与圆:C 12
2
=+y x 交于A ，B 两点，且||3,AB =
则
OA OB ⋅= . 2
1-
9. 已知500辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在]80,60[
的汽车车辆数为
.300
10.已知x
x
x tan 1tan 1)4
tan(-+=
+
π
，且函数x y tan =的最小正周期是π. 类比上述结论，若
R x ∈，a 为正的常数，且有 1()
()1()
f x f x a f x ++=
-，则()f x 的最小正周期是
.4a
11. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S 等于 .441
12.当2
0π
<<x 时，函数21cos28cos ()sin 2x x
f x x -+=的最小值为 .4
13.在直角ABC ∆中，已知32=AB ，3=AC ，
90=∠ACB ，点M 是ABC ∆内任意一
点，则3<
AM 的概率是 . 9
3π
14.二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若
22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .()+∞⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-∞-,021,
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5
8222bc
b c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6 ⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ；
解：（1） 5
82
2
2
bc
b c a -
=-⇒
5
4
2222=
-+bc a c b ⇒5
4
cos =A ⇒5
3sin =A ……… 7分
（2） 65
3
21sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20
由5
4
2222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ……… 7分
C 16．（本小题满分14分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==． （1）求证：AF ⊥平面CBF ；
（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --
（1）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥平面 ABCD 平面ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,……… 2分
又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF 。

……… 5分
（2）设DF 的中点为N ，则MN //CD 2
1
，
又AO //CD 2
1
，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形， ……… 7分
//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，
//OM ∴平面DAF 。

……… 9分 （3）过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
31=⋅=∴-，……… 11分
⊥CB 平面ABEF ，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 6
1
2131=⋅⋅⋅=，……… 13分
ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． ……… 14分
17
．（本小题满分14分）
如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座
FG 高1.5m ，
现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩
0.58,
0.81≈≈）
吊车能把工件吊上的高度y 取决于吊臂的张角θ， 由图可知，
1.5 1.5sin 2tan 1.5
y AB AD BC CD DF CE θθ=+=--+=--+
15sin 3tan 0.5θ
θ=--． ……… 6分
所以/
2
315cos cos y
θθ
=-，由/0y = 得cos 0.58,sin 0.81θθ=
≈≈时，y 有最大值，
G
H
0.81
150.8130.57.46()0.58
y m ≈⨯-⨯
-≈ ………12分 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上． ……… 14分 18．（本小题共16分）
已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两
条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心 率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
222
2
a b ON
OM
+
为定值．
18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222
x y b +=，
∴ b c =，∴ 2
2
2
2
b a
c c =-=， ∴ 2
2
2a c =，∴2
e =
……… 5分 （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =， ∴2
222,OP b a =≤∴22
2a c ≤
∴2
1
2
e ≥
，212e ≤<． ……… 10分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则
011011
y y x
x x y -=--整理得220011x x y y x y +=+
22211x y b += ∴PA 方程为：211x x y y b +=，
PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，
∴
021
210
x y y x x y -=--,
直线AB 方程为 ()0
110
x y y x x y -=-
-，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2
b OM x x ==，
∴
2222
22222002
2
442a y b x a b a b a b b b
ON OM ++
===，
∴2
2
22
a b ON OM
+为定值，定值是2
2a b ……… 16分 19．（本小题共16分）
已知M （p, q ）为直线x+y-m=0与曲线y=-1
x 的交点，
且p<q ，若f （x ）=2x-m
x 2+1 ，λ、μ为正实数。

求证：|f （λp+μq λ+μ ）-f （μp+λq
λ+μ ）|<|p-q|
证明：
易证f （x ）在（p,q ）上单调……… 6分 又
λp+μq λ+μ ),(q p ∈，μp+λq
λ+μ
),(q p ∈……… 10 ∴|f （
λp+μq λ+μ ）-f （μp+λq
λ+μ
）|<)()(q f p f -=q p -……… 16分 20．（本小题共16分）
已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=- （p 为大于1的常数），记f （n ）1(1)2(1)
n
n n p p p p -+=⋅-． （1）求n a ； （2）试比较(1)f n +与
1
()2p f n p
+的大小（*n ∈N ）
； （3）求证：（2n-1）f （n ）≤f（1）+f （2）+…+f（2n-1） ≤
p+1p-1 [1-（p+12p
）2n-1] （n∈N *
） 解：（1） ∵(1)n n p S p pa -=-， ① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．
②
②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=． 在①中令1n =，可得1a p =．
∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． ……… 4分
（2）．
f （n ）1(1)2(1)
n n n p p p p -+=⋅
-，
(1)f n +1
111(1)2(1)
n n n p p p p +++-+=
⋅-． 而1
()2p f n p
+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=
⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<
1
()2p f n p
+，
（*n ∈N ）． …10分
（3） 由（2）知 1
(1)2p f p
+=， (1)f n +<
1
()2p f n p
+，
（*n ∈N ）． ∴当n 2≥时，2
11111()(1)()(2)(
)(1)()2222n n
p p p p f n f n f n f p p
p p
-++++<
-<-<<=． 1
22)21()21(21)12()2()1(-+++++<
-++∴n p
p p p p p n f f f
21
11112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
（当且仅当1n =时取等号）． 另一方面，当n 2≥，1,2,
,21k n =-时，
2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦
1p p -⋅
1p p -=
1p p -=
∵22k n k n p p p -+，
∴22221
21(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-．
∴12(1)()(2)
2()2(1)n n n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-,（当且仅当k n =时取等号）． ∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑．
（当且仅当1n =时取等号）．
综上所述，2n-1）f （n ）≤f（1）+f （2）+…+f（2n-1） ≤
p+1p-1 [1-（p+12p ）2n-1] （n∈N *）……… 16分。