函数求导法则课件 - 副本

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二、复合函数求导法则
定理二 如果函数 u ( x) 在x处可导，而函数
y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数
y f [ ( x)] 在x处可导，且有
dy dy du dx du dx
或
yx yu ux
y dy f ux f xx
例2 设 y 5 x 2 x , 求y
解： y (5 x 2 x )
5( x )2 x 5 x (2 x )
5 2x

5
x 2 x ln 2
2x
例3. 求证
证:
(tan
x)


sin cos
x x

(sin
x)cos x sin cos 2 x
初等函数求导问题
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一、四则运算求导法则
定理1.
，则
(uv) uv u v
特 别 地, v( x ) C (C为 常 数 ）, 则( Cu) Cu
(uvw ) uvw uv w uvw
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(v(x) 0)
dx
注： 对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法
则也称链导法。
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
f (u) (v) (x)
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P74)
(C) 0
(x ) x 1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
dy du d u dx

f (u) (x)
(sin x) cos x
(ln
x)
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
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作业
P 78 1(2) , (3) , (4) , (5) , (6) ; 2 (1) , (3) , (5) , (6) ; 3 (3) ; 4 (2) , (3)

u v


uv u v v2
特别地,如果 u( x ) 1,
可得公式

1

v(
x)


v( x) [v( x)]2
(v( x) 0)
例1 设y x 3 e x sin x ln 3， 求y
解： y ( x 3 e x sin x ln 3) ( x 3 ) (e x ) (sin x) (ln 3) 3 x 2 e x cos x
例4 y sin(1 x 2 ), 求y 解：y sin(1 x 2 )可 看 作y sin u, u 1 x 2复 合 而 成
y (sin u)u (1 x 2 )x
cos u 2x 2 x cos(1 x 2 )
例5 y sin ln x 2 2,求y
x (cos
x)

cos 2 x sin 2 x cos 2 x
sec2 x
(csc
x)


1 sin
x


(sin x) sin 2 x
cos x sin 2 x
csc x cot x 类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
(a x ) a x ln a
(log a
x)

1 x ln a
(arcsin x)
1 1 x2
(arctan
x)

1
1 x2
(ex ) ex
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)


1
1 x
2
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第二节
第二章
函数的求导法则
一、四则运算求导法则 三、复合函数求导法则 二、反函数的求导法则 四、隐函数的求导法则
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
( C ) 0
( sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
x
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
解： y cos ln x 2 2
x cos ln x 2 2
x2 2
1 1 2x x2 2 2 x2 2
例6. 设
求
解:

1 cos(ex )
(sin(ex ))
ex
ex tan(ex )
思考: 若 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv

u v


uv uv v2
(v 0)
3. 复合函数求导法则
说明: 最基本的公式
y f (u) , u ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
练习: 设 y f ( f ( f (x))) , 其中 f (x)可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
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