高等数学：第四节 高阶导数

(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
17
例11 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
( 1 )(n) x
(1)n
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
3
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
( arctan b)
a
10
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
12
例8 设 y arctan x, 求y(n)(0).
解
y
1
1 x2
,
(1 x2 ) y 1, 由莱布尼兹公式,
（1 x2 ) y(n1) 2nxy(n) n(n 1) y(n1) 0,
令x 0, y(n1) (0) n(n 1) y(n1) , 递推关系！
由y(0) 0, y(0) 1, y(0) 0及递推关系得：
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
4
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
一高阶导数的定义二高阶导数求导举例三小结思考题作业dtdtdt的导数如果函数记作阶导数函数阶导数的导数称为函数一般地三阶导数的导数称为四阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
第四节 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求导举例 三、小结、思考题、作业
1
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0
f ( x)
lim
xa
xa
lim[2g( x) ( x a)g( x)]
xa
2g(a)
22
本次课作业： A. 作业12 高阶导数 B. 课后练习：课本习题2-4(P.100-101) 1（1，5，6）；2（1，2，4）；4；5（1，4）；
(3) (u v)(n) u(n)v nu( v n1) n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
k0
莱布尼兹公式
11
例7 设 y x2e2x , 求y(20) . 解 设u e2x , v x2 ,则由莱布尼兹公式知
9
例6 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1
1 x
y
(1
1 x
)
2
y
(1
2! x)3
y(4)
3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 ) 20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
2 e 20 2 x x 2 20 2 e 19 2 x 2 x 20 19 2 e 18 2 x 2 2!
220 e2x ( x2 20x 95)
y(2m)(0) 0 (m 1, 2, 3, ), y(2m1) (0) (1)m (2m)! (m 1, 2, 3, ).
13
例9 求由方程 xy y e 0所确定的隐函数y( x)
的二阶导数
d2y dx 2
.
解：方程 两边同时关于x求导得(注意y是x的函数)，
1 y x y y 0, （1）
7（3，4）；8；9（2，4）.
C. 思考题： 3；10.
28
设 s f (t),
则瞬时速度为
v
ds dt
或v
s'
,
加速度a是速度v对时间t的变化率
a dv d ( ds )或a (s' )' dt dt dt
2
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
8
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
16
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
(e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin( kx n ) 2
y
y ,
1 x
y
y (1 x) y (1) (1 x)2
2y (1 x)2 .
法二： (1)两端同时关于x求导得: 注意y和y都是x的函数！
y 1 y x
y
y 0,
y 2 y 1 x
2y (1 x)2Biblioteka .14例10
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin 3a cos2
2 t cos t t( sin t
)
tan
t
dt
d dy
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
d dt
( dy ) dx
dt dx
() dt dx
dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
2x (1 x 2 )2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
0;
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
5
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x1 ) ( 1)x2 y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
6
例 设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6).
分析 此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
又是求6阶导数,
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
7
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例3 设 y e x , 求y(n) .
解 y (sin2 x)3 (cos2 x)3
(sin2 x cos2 x)(sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x)
(sin2 x cos2 x)2 3sin2 x cos2 x
1 3 sin2 2x 1 3 1 cos 4x
4
42
53
cos 4x
88
n! x n1
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
18
例12设 y sin6 x cos6 x, 求y(n(c)o.skx)(n) kncos(kxn2)
dt
t
sec4 t 3a sin t
15
dy
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
dy dt (t) dx dx (t)
dt
d2y dx 2
d ( dy ) dx dx
d ( (t)) dx (t)
d ((t)) dt dt (t) dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
y(n)
3 4n
cos(4x
n
).
8
2
19
三、小结
高阶导数的定义及物理意义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);
n阶导数的求法;
1.直接法;
2.间接法.
20
思考题
设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ， 求 f (a) .
21
思考题解答
g( x) 可导 f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x) g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)