3年高考(新课标)高考数学一轮复习 5.3平面向量的数量

【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 5.3平面向量的
数量积及平面向量的应用
A组2012—2014年高考·基础题组
1.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()
A.1
B.2
C.3
D.5
2.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
A.2
B.
C.1
D.
3.(2013陕西,3,5分)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2013福建,7,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A. B.2 C.5 D.10
5.(2012湖南,7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC=( )
A. B. C.2 D.
6.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则
|λ|=.
7.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与
b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=.
8.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为.
9.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为;·的最大值为.
B组2012—2014年高考·提升题组
1.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC
上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()
A. B. C. D.
2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
3.(2012天津,7,5分)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,则λ=()
A. B. C. D.
4.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和
y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
①S有5个不同的值
②若a⊥b,则S min与|a|无关
③若a∥b,则S min与|b|无关
④若|b|>4|a|,则S min>0
⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为
5.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .
6.(2012安徽,14,5分)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是.
7.(2013山东,15,4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为.
8.(2013江苏,15,14分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
A组2012—2014年高考·基础题组
1.A 由|a+b|=得a2+b2+2a·b=10,①
由|a-b|=得a2+b2-2a·b=6,②
①-②得4a·b=4,∴a·b=1,故选A.
2.B 由题意得⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=.故选B.
3.C |a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b|,故|cos<a,b>|=1,故a,b同向或反向,即a∥b,反之也成立.故为充分必要条件.
4.C ·=(1,2)·(-4,2)=0,故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直,面积
S=·||·||=××2=5,选C.
5.A ∵·=·(-)=·-=1,∴·=5,即2×3cos A=5,∴cos A=.由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=3,∴BC=,故选A.
6.答案
解析∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.
∵|a|=1,|b|=,∴|λ|=.
7.答案
解析a·b=(3e 1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.
∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,∴|a|=3.
∵|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,
∴|b|=2,∴cos β===.
8.答案
解析由·=tan A,A=,得||·||cos=tan,即||·||==,所以S △ABC=||·||sin A=××=.
9.答案1;1
解析①如图建立直角坐标系,则D(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0).设E(x,1),那么
=(x,1),=(0,1),
∴·=1.
②∵=(1,0),∴·=x.∵正方形的边长为1,∴x的最大值为1,故·的最大值为1.
B组2012—2014年高考·提升题组
1.C 以,为基向量,
则·=(+λ)·(+μ)=μ+λ+(1+λμ)··=4(μ+λ)-2(1+λμ)=1①.·=(λ-1)·(μ-1)=-2(λ-1)(μ-1)=-②,由①②可得λ+μ=.
2.D 在A中,取a=(1,0),b=(0,0),则min{|a+b|,|a-b|}=1,而min{|a|,|b|}=0,不符合,即A 错.在B中,设a=b≠0,则min{|a+b|,|a-b|}=0,而min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即B错.因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b,则当a·b≥0
时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;当a·b<0
时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即总有
max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.故选D.
3.A 如图,=-,=-,
∵·=-,
∴(-)·(-)=-,
·-·-·+·=-.
又=λ,=(1-λ),代入上式得
(1-λ)·λ-(1-λ)·-·λ+·=-.(*)
∵△ABC为等边三角形,且||=||=||=2,
∴·=||·||·cos 60°=2×2×=2,||2=4,||2=4,代入(*)式得4λ2-4λ+1=0,即
(2λ-1)2=0,∴λ=,故选A.
4.答案②④
解析根据题意得S的取值依据含a2的个数,分三类:有0个a2,有1个a2,有2个a2.分别得S的取值为S1=4|a||b|·cos θ+b2,S2=2|a||b|cos θ+a2+2b2,S3=2a2+3b2(记θ=<a,b>).S 至多有3个不同的值,故①错误;若a⊥b,则θ=90°,易知S min=S1=b2=|b|2,与|a|无关,故②正确;若a∥b,则S的三个值均与|b|有关,所以S min也一定与|b|有关,故③错误;若|b|>4|a|,则S1>-16a2|cos θ|+16a2=16a2(1-|cos θ|)≥0,S2>-8a2|cos θ|+a2+32a2=a2(33-8|cos
θ|)>0,S3>0,∴S min>0,故④正确;若|b|=2|a|,则S1=8a2cos θ+4a2,S2=4a2cos
θ+9a2,S3=2a2+12a2=14a2,∵S2-S1=a2(5-4cos θ)>0,S3-S1=2a2(5-4cos
θ)>0,∴S min=S1=8a2·cos θ+4a2,若S min=8|a|2,则可解得cos θ=,又θ∈[0,π],∴θ=,故⑤错误.
5.答案 2
解析解法一:∵b·c=0,
∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,
又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴t+1-t=0,t=2.
解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.
把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.
6.答案-
解析由向量的数量积知-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥-a·b(当且仅当<a,b>=π时等号成立).
由|2a-b|≤3⇒4|a|2-4a·b+|b|2≤9
⇒9+4a·b≥4|a|2+|b|2≥4|a||b|≥-4a·b
⇒a·b≥-(当且仅当2|a|=|b|,<a,b>=π时取等号)
⇒a·b的最小值为-.
7.答案
解析∵⊥,∴·=0,∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=0.
∵向量与的夹角为120°,||=3,||=2,∴(λ-1)||||·cos 120°-9λ+4=0,解得λ=.
8.解析(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=.。