中考数学压轴专题---翻折类

中考数学压轴专题 翻折类
1、如图10，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是_______ .
2、如图11，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，假设△
FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_______ .
3、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA ＝，
AB ＝1，则点A 1的坐标是〔 〕 A.〔
23，23〕 B.〔23，3〕 C.〔23，23〕 D.〔21，2
3
〕 4、〔06临汾〕如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．假设AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________．
5、〔2010上海金山〕如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′的位置，那么点D 到直线BC ′的距离是 ．
4、〔08十堰〕如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使
点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ．
〔1〕求证：ΔABF ≌ΔEDF ；
〔2〕假设将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．
解：
⑴证明：由折叠可知，C ．E ED ，CD ∠=∠= ……1分 在矩形ABCD 中，C ，A CD ，AB ∠=∠= ∴E ．A ED AB ∠=∠=, ∵∠AFB ＝∠EFD ，
∴△AFB ≌△EFD ． ……………………４分
⑵四边形BMDF 是菱形． ………………………５分 理由：由折叠可知：BF ＝BM ，DF ＝DM ． …………６分 由⑴知△AFB ≌△EFD ，∴BF ＝DF ．∴BM ＝BF ＝DF ＝DM ． ∴四边形BMDF 是菱形． …………………7分
1、〔08枣庄〕如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝
3
4
． F
E
D
C
B
A
图10
D
A
B
C
E
F
图11
A F
C
D
B
A
M
第22题图
F
E
C /
B
D C
A
图2
〔1〕求B ′ 点的坐标；
〔2〕求折痕CE 所在直线的解析式． 解：
〔1〕在Rt △B ′OC 中，tan ∠OB ′C ＝3
4
，OC ＝9， ∴
93
4
OB ='． 解得OB ′＝12，即点B ′ 的坐标为〔12，0〕． ………………………………………３分 〔2〕将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上的B ′ 点，CE 为折痕， ∴ △CBE ≌△CB ′E ，故BE ＝B ′E ，
CB ′＝CB ＝OA ．
由勾股定理，得 CB ′15． … …………………………………４分 设AE ＝a ，则EB ′＝EB ＝9－a ，AB ′＝AO －OB ′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a 2+32＝(9－a )2，解得a ＝4．
∴点E 的坐标为〔15，4〕，点C 的坐标为〔0，9〕． ········································· ５分 设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，根据题意，得 9,
415.
b k b =⎧⎨
=+⎩ …………… ６分
解得9,
1
.3b k =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
∴CE 所在直线的解析式为 y ＝－13x +9． …………………８分
2、〔09益阳〕如图11，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD
2，DC ＝3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答以下问题：
(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；
(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值. 解析：
(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ··········································· 1分 ∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠F AC ，又∠BAC ＝45°， ∴∠EAF ＝90° ···································································································· 3分 又∵AD ⊥BC
∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90° ································································· 4分 又∵AE ＝AD ，AF ＝AD ∴AE ＝AF ··········································································································· 5分 ∴四边形AEGF 是正方形 ······················································································· 6分 (2)解：设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x ···································································· ７分 ∵BD ＝2，DC ＝3
图11
∴BE ＝2 ，CF ＝3
∴BG ＝x －2，CG ＝x －3 ······················································································· ９分 在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2 ∴( x －2)2＋(x －3)2＝52 ························································································· 11分 化简得，x 2－5x －6＝0
解得x 1＝6，x 2＝－1〔舍〕 所以AD ＝x ＝6 ···································································································· 12分 3、已知如图，矩形OABC 的长OA=3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC. 〔1〕填空：∠PCB=_ ___度，P 点坐标为〔 ， 〕； 〔2〕假设P ，A 两点在抛物线y=－
43
x 2
+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；
〔3〕在〔2〕中的抛物线CP 段〔不包括C ，P 点〕上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？假设存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；假设不存在，请说明理由．
3、〔06临安〕如图，△OAB 是边长为23+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.
〔1〕当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； 〔2〕当A ′E//x 轴，且抛物线2
16
y x bx c =-
++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；
(3)当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？假设能，请求出此时点A ′的坐标；假设不能，请你说明理由. 解：
〔1〕由已知可得∠A ，OE=60o , A ，E=AE 由A ′E//x 轴,得△OA ，E 是直角三角形，设A ，
的坐标为〔0，b 〕 AE=A ，
E=3b ,OE=2b 3223b b +=+
所以b=1，A ，
、E 的坐标分别是〔0，1〕与〔3，1〕因为A ，
、E 在抛物线上，所以
2
111(3)36c
b c =⎧⎪⎨=-++⎪⎩所以136c b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，函数关系式为213166y x x =-++ 由213
1066
x x -
++=得123,23x x =-=与x 轴的两个交点坐标分别是〔3-，0〕与〔23，0〕 不可能使△A ′EF 成为直角三角形. ∵∠FA ，E=∠FAE=60o ,假设△A ′EF 成为直角三角形,只能是∠A ，EF=90o 或∠A ，FE=90
o
假设∠A ，EF=90o ,利用对称性,则∠AEF=90o , A ，
、E 、A 三点共线，O 与A 重合，与已知矛盾；
同理假设∠A ，FE=90o
也不可能
所以不能使△A ′EF 成为直角三角形.
2. 〔08浙江衢州〕已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如下图，四个顶点的坐标
分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将
纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？假设存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；假设不存在，请说明理由.
2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)， ∴38
103
2OAB tan =-=
∠， ∴︒=∠60OAB 当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA
´，∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2
3
60sin )t 10(T P -=
︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='，
∴2TP
A )t 10(8
3T P P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，AT=AB=460sin 3
2=︒
，
所以此时10t 6<≤.
(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，A T=2AB=8，点T 的坐标是(2，
又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<<.
(3)S 存在最大值 ○
1当10t 6<≤时，2)t 10(8
3
S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，
∴当t=6时，S 的值最大是32.
○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=
∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ∴2
3
)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=
x
34)2t (8
3)28t 4t (8322+--=++-=
当t=2时，S 的值最大是34； ○
3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，
∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴343242
1
OC EF 21S =⨯⨯=⋅=
综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<.
28．〔08绵阳市〕如图，矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 10，点P 在矩形的边DC 上由D 向C 运动．沿直线AP 翻折△ADP ，形成如下四种情形．设DP = x ，△ADP 和矩形重叠部分〔阴影〕的面积为y ．
〔1〕如图丁，当点P 运动到与C 重合时，求重叠部分的面积y ；
〔2〕如图乙，当点P 运动到何处时，翻折△ADP 后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？
〔3〕阅读材料：
已知锐角α≠45°，tan2α 是角2α 的正切值，它可以用角α 的正切值tan α 来表示，即 2
)(tan 1tan 22tan αα
α-=
〔α≠45°〕．
根据上述阅读材料，求出用x 表示y 的解析式，并指出x 的取值范围．〔提示：在图丙中可设∠DAP = α 〕 〔1〕由题意可得 ∠DAC =∠D′AC =∠ACE ，∴ AE = CE ． 设 AE = CE = m ，则 BE = 10－m ．
在Rt △ABE 中，得 m2 = 82 +〔10－m 〕2，m = 8.2．
∴ 重叠部分的面积 y =21· CE · AB =21
×8.2×8 = 32.8〔平方单位〕．
另法 过E 作EO ⊥AC 于O ，由Rt △ABC ∽Rt △EOC 可求得EO ． 〔2〕由题意可得 △DAP ≌△D′AP， ∴ AD′ = AD = 10，PD′ = DP = x ．
在Rt △ABD′ 中，∵ AB = 8，∴ BD′ =2
2
810-= 6，于是 CD′ = 4． 在Rt △PCD′ 中，由 x2 = 42 +〔8－x 〕2，得 x = 5．
此时 y =21· AD · DP =21
×10×5 = 25〔平方单位〕．
说明当DP = 5时，点D 恰好落在BC 边上，这时y = 25． 另法 由Rt △ABD ′∽Rt △PCD′ 可求得DP ．
〔3〕由〔2〕知，DP = 5是甲、丙两种情形的分界点．
当0≤x ≤5时，由图甲知 y = S △AD′P = S △ADP =21
· AD · DP = 5x ．
当5＜x ＜8时，如图丙，设∠DAP = α，则 ∠AEB = 2α，∠FPC = 2α．
在Rt △ADP 中，得 tan α =10x
AD DP =
．
根据阅读材料，得 tan2α =2
210020)
10(1102x x x x
-=-⋅
．
在Rt △ABE 中，有 BE = AB ∕tan2α =2
100208
x x -=x x 5)100(22-．
同理，在Rt △PCF 中，有 CF =〔8－x 〕tan2α =2
100)8(20x x x --．
∴ △ABE 的面积
S △ABE =21· AB · BE =21×8×x x 5)100(22-=x x 5)
100(82-．
△PCF 的面积
S △PCF =21· PC · CF =21〔8－x 〕×2100)8(20x x x --=2
2
100)8(10x x x --．
而直角梯形ABCP 的面积为
S 梯形ABCP =21〔PC + AB 〕×BC =21
〔8－x + 8〕×10 = 80－5x ．
故重叠部分的面积 y = S 梯形ABCP －S △ABE －S △PCF= 80－5x －x x 5)100(82-－2
2
100)8(10x x x --．
经验证，当x = 8时，y = 32.8适合上式．
综上所述，当0≤x ≤5时，y = 5x ；当5＜x ≤8时，y = 80－5x －x x 5)100(82-－2
2
100)8(10x x x --．。