初中数学：17.2 勾股定理的逆定理课件(人教版八年级数学下册第十七章勾股定理)

初中数学
第17章勾股定理
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初中数学第17章
17.2 勾股定理的逆定理
1. 掌握原命题、逆命题的概念；　
2. 理解勾股定理的逆定理；
3．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；
4．综合运用勾股定理及逆定理解决问题．
互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，称这两个定理为互逆定理. 其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.　
逆命题有真假，但定理都是真命题.
假命题．
(1) 两直线平行，同旁内角互补；
同旁内角互补，两直线平行，真命题；
(2) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线，真命题；
假命题．
(3) 对顶角相等；
相等的角是对顶角，假命题；
(4) 有一个角是60°的三角形是等边三角形．
等边三角形有一个角是60°，真命题．
练习
1把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： .
如果三角形三边长a、b、c，满足a2+b2=c2，那么这个
三角形是直角三角形.
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足
那么这个三角形是直角三角形，且边长c 为三角形的斜边.
，2
22c b a =+a
c
b
例2如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形　B．锐角三角形
C．钝角三角形　D．以上答案都不对
解：
证明：连接CF . 设AF ＝x
，则有
例3 如图，已知在正方形ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝ AD .求证：CE ⊥EF .
41∵AE ＝EB ，∴AE ＝EB ＝2x .
AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4x ，DF ＝3x .
由勾股定理得
∴ EF 2＋EC 2＝FC 2，
EF 2＝x 2＋(2x )2＝5x 2，EC 2＝(2x )2＋(4x )2＝20x 2，FC 2＝(4x )2＋(3x )2＝25x 2.∴ △CFE 是直角三角形，且∠FEC ＝90°，即EF ⊥CE .
解：连接AC .
例4 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝24，AD ＝26，求四边形ABCD
的面积．
∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，
∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝82＋62＝102，∴AC ＝10.
在△ACD 中，
∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°
.
∵AC 2＋CD 2＝100＋576＝676，AD 2＝262＝676，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，
【方法总结】
(1) 要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.
(2) 利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
(3) 将求四边形面积的问题有时可以转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
1 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
练习
∠ABC =45°
AC 2+BC 2=AB 2
5==BC AC 10
=AB △ABC 是等腰直角三角形.
2若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
②③
勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.3、4、55、12、138、15、177、24、252222,2,n
m c mn b n m a +==-=9、40、4112、35、3711、60、61
13、84、8514、48、50，
222c b a =+15、112、11316、63、6420、21、2920、99、101
最简勾股数：总有两个数相差1或2.
例5判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
练习
1观察以下几组勾股数，并寻找规律：
① 3，4，5；
② 5，12，13；
③ 7，24，25；
④ 9，40，41；…
11、60、61
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
提示：第一个数是11，第二、第三个数相差为1，第二、第三个数之和是第一个数的平方，因112＝121，故第二个数为60，第三个数为61. （当然使用勾股定理也可以算出第二个和第三个数.）
2如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是A. CD，EF，GH
B. AB，EF，GH
C. AB，CD，GH
D. AB，CD，EF
提示：
AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2.
航行问题
几何问题其它实际问题
＝5，求∠APB的度数．
分析：3、4、5是一组勾股数，试着把P A、PB、PC这三条边放在一个三角形中，构成直角三角形.E3
45
4
5
如图，PE＝PB＝4，EA＝PC＝5.
猜想△EBP是一个等边三角形，
因此可以想到将△BCP绕点B逆时针旋转60°就可以得△BAE，从而得到想要的图形.
则EB＝PB＝4，EA＝PC＝5，BA＝BC，△EAB≌△PCB，∠EBP＝60°.
＝5，求∠APB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC
.
∴BE＝BP＝4，∠PBE＝60°，AE＝PC＝5，
∴△BPE为等边三角形，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋P A2，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°＋60°＝150°.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°可得△BEA，连EP，
例7 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的点，AB ＝13，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，求BD
的长．
解：在△ADC 中，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，
∴AC 2＝AD 2＋CD 2，
在Rt △ADB 中，AD ＝12，AB ＝13，∴BD ＝5，
∴△ADB 是直角三角形．
∴BD 的长为5.
∴△ADC 是直角三角形，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，
例8 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？∴ AB 2＋BC 2＝82＋62＝64＋36＝100.
∴∠ABC ≠90°，∴该农民挖的不合格．
解： ∵AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，
又 ∵AC 2＝92＝81，∴AB 2＋BC 2≠AC 2
，
例9如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反
走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B
两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
13 512
分析：△ABC是一个直角三角形，且∠ABC＝90°
13
512解 ：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°.
∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，
∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，
∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE
.
即走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．
1如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截. 已知甲巡逻艇每小时
航行120nmile，乙巡逻艇每小时
航行50nmile，航向为北偏西40°，问甲巡逻艇的航向是多少？
练习
答案：东偏北40°
ABCD的面积和周长(精确到0.1).
ABCD的面积和周长(精确到0.1).
3如图，图中王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔. 已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1) 请用a表示第三条边长.
(2) 问第一条边长可以为7m吗?为什么？请说明理由，并求出a 的取值范围
(3) 能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数?若能，说出你的围法；若不能，请说明理由.
(1)∵第二条边长为2a＋2，∴第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a.
(2) 当a＝7时，三边长分别为7，16，7.
由于7＋7<16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7m.
根据三角形边长的关系，则有
(2a＋2)＋a＞28－3a，且(2a＋2)－a＜28－3a，
(3) 在(2)的条件下，a为整数时，则a只能取5或6.
当a＝5时，三角形的三边长分别为5，12，13.
由52＋122＝132知，恰好能构成直角三角形.
当a＝6时，三角形的三边长分别为6，14，10.
由62＋102≠142知，此时不能构成直角三角形.
综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5m，12m，13m.
【归纳整合】
(1)两者都与a2＋b2＝c2有关.
(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.
1. 如图下列定理中，有逆定理的个数是
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和；
③角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
④对顶角相等．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
提示：④的逆命题为假命题，故无逆定理；其余三个的逆命题均为真命题，即有逆定理.
2.下列说法中正确的个数是（ ）
①每一个命题都有逆命题②每一个定理都有逆定理
③真命题的逆命题都是真命题④假命题的逆命题都是假命题．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
提示：任何一个命题都有逆命题，而原命题与其逆命题的真假没有关联，所以可判断②③④不正确．
D
①④。