专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)

专训1 用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题
名师点金：反比例函数的系数k 具有一定的几何意义，|k |等于反比例函数y ＝k
x (k ≠0)图
象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k 的几何意义求解．
反比例函数的系数k 与面积的关系
1．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2
x 的
图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上的任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(第1题) (第2题) (第3题)
2．如图，P 是反比例函数y ＝k
x 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得
到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )
A ．y ＝－6x
B ．y ＝6x
C ．y ＝－3x
D ．y ＝3
x
3．【2016·菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6
x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD
为( )
A ．36
B ．12
C ．6
D ．3
(第4题) (第5题) (第6题)
4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1
x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点
C ，则△ABC 的面积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4
x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y
轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．【2016·本溪】如图，点A ，C 为反比例函数y ＝k
x (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分
别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为3
2
时，k 的值为( )
A ．4
B ．6
C ．－4
D ．－6
已知面积求反比例函数的表达式
题型1 已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B (2，n )，连接BO ，已知S △AOB ＝4.
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB 对应的函数表达式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．
(第7题)
题型2 已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝k
x 在第二象限的
图象的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；
(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．
(第8题)
已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1 利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6
x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面
积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
(第9题)
题型2 利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2
x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴
交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．
(第10题)
题型3 利用面积关系求点的坐标
11．【2016·兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A (3，1)在反比例函数y ＝k
x
的图象上．
(1)求反比例函数y ＝k
x
的表达式；
(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝1
2
S △AOB ，求点P 的坐标；
(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，点A ，O 的对应点分别为点E ，D .直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
(第11题)
参考答案
1．A 点拨：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则 S △ABC ＝1
2AB ·h
＝1
2(AP ＋BP )·h ＝1
2(AP ·h ＋BP ·h ) ＝1
2(|－4|＋|2|) ＝12×6 ＝3. 故选A . 2．A
3．D 点拨：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，可得出B 点坐标为(a ＋b ，a －b )．因为点B 在反比例函数y ＝6
x 第一象限的图象上，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.所以
S △AOC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝1
2
×6＝3.故选D .
4．A
5．D 点拨：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝1
2×|－4|＝2.易知OC ＝OD ，AC ＝BD ，
所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.
6．C 点拨：设点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，则点E ⎝⎛⎭⎫12m ，k 2m ，A ⎝⎛⎭⎫12m ，2k
m ，根据三角形的面积公式可得出S △AEC ＝－38k ＝3
2
，由此即可求出k 值．
7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D . 由题易知OA ＝2，BD ＝n .
∴S △AOB ＝12OA ·BD ＝1
2×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．
∴反比例函数的表达式为y ＝8
x
.
设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋2.
(第7题)
(2)对于y ＝x ＋2，当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)． ∴OC ＝2.
∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－1
2
×2×2＝2.
8．解：(1)由题中图象知k ＜0，由已知条件得|k |＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的表达式为y ＝－3
x ，
一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，
y ＝－x ＋2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，
y 2
＝－1.
∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
(3)设点P 的坐标为(0，m )，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则点M 的坐标为(0，2)．
∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝1
2PM (|－1|＋|3|)＝5，
∴PM ＝52，即|m －2|＝5
2.
∴m ＝92或m ＝－1
2
.
∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝
⎛⎭⎫0，－1
2. 9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6
x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总
费用为25×24＝600(元)．
所以所需钢条一共要花600元．
10．解：(1)∵点A (－2，4)在反比例函数y ＝k 2
x 的图象上，
∴k 2＝－8.
∴反比例函数的表达式为y ＝－8
x
.
(2)∵点B 的横坐标为－4，且点B 在反比例函数y ＝－8
x 的图象上，
∴其纵坐标为2.
∴点B 的坐标为(－4，2)．
∵点A (－2，4)，B (－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝6.
∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋6.当y ＝0时，x ＝－6. ∴点C 的坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12
×6×4＝12.
11．解：(1)∵点A (3，1)在反比例函数y ＝k
x 的图象上，
∴k ＝3×1＝ 3.
∴反比例函数的表达式为y ＝
3
x
. (2)∵A (3，1)，AB ⊥x 轴于点C ， ∴OC ＝3，AC ＝1.
由题意易得△AOC ∽△OBC ， ∴
OC BC ＝AC OC
. ∴BC ＝OC 2
AC
＝3.
∴B 点坐标为(3，－3)． ∴S △AOB ＝1
2×3×(1＋3)＝2 3.
∴S △AOP ＝1
2S △AOB ＝ 3.
设点P 的坐标为(m ，0)， ∴12×|m |×1＝ 3. ∴|m |＝2 3.
∵P 是x 轴的负半轴上的点， ∴m ＝－2 3.
∴点P 的坐标为(－23，0)． (3)点E 的坐标为(－3，－1)．
点E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵－3×(－1)＝3＝k ，
∴点E在该反比例函数的图象上．。