江苏省苏州陆慕高级中学2019-2020学年高二上学期期中调研测试试题 数学【含答案】

江苏省苏州陆慕高级中学2019-2020学年高二上学期期中调研测试试题
数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．． 1.设命题2:2n
p n n ∃∈>N ，，则命题p 的否定为 （ ）
A ．∀n ∈N ，n 2
>2
n
B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2≤2
n
D ．∃n ∈N ，n 2
＝2n
2.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a = （ ）
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
3．“1x >”是“2
x x >”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为 （ ）
A ．
221124x y -= B ．221412x y -= C ．221106x y -= D ．22
1610
x y -= 5.已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k=（ ） A. 9 B 8 C 7 D 6
6.已知椭圆22
2210)x y a b a b
+=（＞＞的左顶点、上顶点和左焦点分别为,,A B F ，中心为O ，
其离心率为
1
2
，则:ABF BFO S S =△△ （ ） A ．1:1 B ．1:2 C ．(23:2 D 3:
7.设0,0.a b >>11
333a b a b +是与的等比中项，则
的最小值 （ ） A 8 B 4 C 1 D 1
4
8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和直线13
4:=+y
x l ，若过C 的左焦点和
下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为 （ ）
A ．
45 B ．35 C ．34 D ．15
9.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且
1a ，
321,22
a a 成等差数列，则91078a a
a a +=
+ A.1212 C.322+ D.322- ( )
10.双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且
|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 （ ） A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
11.设,x y 为实数，若2
2
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 （ ）
A.
55 B.552 C.510 D.5
102 12.已知数列{}n a 满足2*12311
1
()23n a a a a n n n N n
+
+++=+∈，设数列{}n b 满足： 121n n n n b a a ++=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1
n n N T n n
λ<
∈+恒成立，则实数λ 的取值范围为 （ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8
+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卷相应位置．．．．．．．上．． 13.若命题“对任意实数2
,2(1)x x m x >+”是真命题,则实数m 的取值范围是 . 14.如果等差数列{}n a 中，3
4512a a a ++=，那么127...a a a +++=
．
15.如果椭圆22
193
x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是 .
16. 若实数a ，b ，c 成等比数列，且a+b+c=1，则a+c 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卷指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17、（本题满分10分）已知函数f （x ）=x 2
－（a+1）x+b
（1）若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞3}，求实数a,b 的值． （2）若a=b,解不等式f （x ）≤0.
18. （本题满分12分）等比数列{a n }满足a 3a 4a 5=512，a 3+a 4+a 5=28，公比为大于1的数． （1）求{a n }通项公式；
（2）设b n =2n ﹣1，求{a n +b n }前n 项和S n ．
19、（本题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右两个焦点分
别为21F F 、过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(
)
2,1M
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交
椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积
20、（本题满分12分）苏州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为
平方米，且高度不低于
米．记
防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）为y （米）． （1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域； （2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面
的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．
21（本题满分12分）如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ，两点，记AOB △ 的面积为S ．
（1）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （2）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
22、（本题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项，数列{b n }的通项公式为b n =x n ﹣1．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设c n =a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）设d n =
()
44+n a n ，H n =d 1+d 2+…+d n （n ∈N *
），是否存在最大的整数m ，使得对任意
n ∈N *
，均有H n ＞
9
m
成立？若存在，求出m ，若不存在，请说明理由． A
y
x
O
B
答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A B B A 题号7 8 9 10 11 12 答案 B A C B D D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(,1)
-∞-14．28
15．
340
x y
+-=
16．[，1）∪（1，2]
三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）
解：（1）根据题意，得
().31
0，
的两根为
=
x
f…………2分
则：1+3=a+1, 1×3=b
解得a=3, b=3 …………4分
(2)若a=b,则
()()0
1
,02≤
+
+
-
≤a
x
a
x
x
f即
()()0
1≤
-
-x
a
x
即：
…………6分
{}1
1≤
≤
<x
a
x
a时，不等式解集为：
当
{}1
1=
=x
x
a时，不等式解集为：
当
{}a
x
x
a≤
≤
>1
1时，不等式解集为：
当
…………10分
18．（本小题满分12分） 解：（1）∵
， ∴a 4=8， …… …… 2分
∴a 3a 5=64，a 3+a 5=20；
∴
， …… …… 4分
又∵q ＞1，
∴； …… …… 6分
（2）∵， …… …… 8分
∴
．
…… …… 12分
19．（本小题满分12分）
解 (1) x l ⊥ 轴， 2F ∴的坐标为
(
)
0,2
由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,112
2222b a b a …… …… …… 2分
得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为1
2422
=+y x …… …… 5分
(2) 直线2BF 的方程为2-=x y …… …… 7分
由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N 的纵坐标为32
…… …… 10分
又
2
221=F F ，
3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=
∴∆BN F S …… 12分
20．（本小题满分12分） 解：（1），其中
，
，
∴
，得
， …… …… 2分
由，得2≤x ＜6 …… …… 4分
∴； …… …… 6分
（2）， …… …… 9分
当并且仅当
，即
时等号成立．…… …… 11分
答：外周长的最小值为米，此时腰长为
米． …… …… 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）设点A 的坐标为
1()
x b ，，点B 的坐标为
2()
x b ，，
由2
214x b +=，解得2
1221x b =±-，， …… …… 2分 所以
121
2S b x x =-2
21b b =-2211b b +-=≤．…… …… 4分 当且仅当
2
2b =
时，S 取到最大值1． …… …… 5分
（Ⅱ）解：由22
14y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， …… 6分
2241
k b ∆=-+211||1||
AB k x x =+-222
241
12
14
k b k
k -+=+=+
21||S
d AB ==，又因为2||1b d k =+，所以221b k =+，
代入（*）式并整理，得
421
04k k -+
=， …… …… 9分
解得
212k =
，23
2b =，代入①式检验，0∆>，
故直线AB 的方程是
2622y x =
+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．
…… …… 12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以2
1111(2)(6)2a a a a +=+∴=，
∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =. …… …… 3分 （2）c n =a n b n =2nx n ﹣
1，
T n =2+4x+6x 2+8x 3+…+2nx n ﹣
1，① 则xT n =2x+4x 2+6x 3+8x 4+…+2nx n ，②
①﹣②，得（1﹣x ）T n =2+2x+2x 2+…+2nx n ﹣
1﹣2nx n ，
当x≠1时，（1﹣x ）T n =2×
﹣2nx n ， 则T n =
，
当x=1时，T n =2+4+6+8+…+2n=n 2+n ． …… …… 7分
（3）由（1）可得
，
则
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1+﹣
﹣
； …… …… 9分
显然H n 为关于n 的增函数，故，
于是欲使
恒成立， 则
，
∴存在最大的整数m=5满足题意． …… …… 12分。