江苏省无锡市普通高中2020学年高二数学上学期期终教学质量抽测试题(含解析)

无锡市普通高中2020年秋学期期终教学质量抽测建议卷
高二数学
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上
．．．．．．．．．．）
1.直线的倾斜角大小为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：直线转化为形式为，因此直线的斜率为，而，因此直线的倾斜角为
考点：直线的倾斜角；
2.已知向量＝(2，4，5)，＝(3，x，y)，若∥，则xy＝_______．
【答案】45
【解析】
【分析】
由∥，可得存在实数k使得k．解出即可得出．
【详解】解：∵∥，∴存在实数k使得k．
∴，则xy45．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2（其中F2为椭圆的右焦点）的周长为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a即可得到三角形的周长．
【详解】解：由椭圆可得a＝2；
椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4．
∴△ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键．
4.设m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥，n⊥，则m//n；②若//，//，m⊥，则m⊥；③若m//，n//，则m//n；④⊥，⊥，则//．其中正确命题的序号是_______．
【答案】①②
【解析】
【分析】
在①中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在②中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ；在③中，m与n相交、平行或异面；在④中，α与β相交或平行．
【详解】解：由m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：
在①中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；
在②中，若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；
在③中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；
在④中，α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
5.以点(﹣2，3)为圆心且过坐标原点的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】解：以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的半径为r，故圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13，
故答案为：（x+2）2+（y﹣3）2＝13．
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，求出圆的半径是解题的关键，属于基础题．
6.函数在[a，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，可知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，要使函数在[a，a+1]上单调递减，则，求解不等式组得答案．
【详解】解：由，得f′（x）（x＞0），
函数f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
要使函数在[a，a+1]上单调递减，
则，解得0＜a≤1．
∴实数a的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的单调性与导函数之间的关系，考查化归与转化思想方法，是中档题．
7.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．【详解】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴a2＞a+12＞0，解得a＞4或﹣12＜a＜﹣3，
∴实数a的取值范围是（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查解不等式，利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式是解题的关键．
8.圆C1：与圆C2：的位置关系为_______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论．
【详解】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0，化为标准方程为（x+3）2+y2＝16，圆心为（﹣3，0），半径为4，
圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0，化为标准方程为x2+（y+3）2＝36，圆心为（0，﹣3），半径为6，
圆心距为3
∵6﹣4＜36+4，
∴两圆相交，
故答案为：相交．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查学生的计算能力，比较基础．
9.函数，[0，]的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的导函数研究函数的单调性可得：f′（x）＝1﹣2cos x，当0时，f′（x）≤0，当时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，]为减函数，在[，π]为增函数，故得解．【详解】解：因为f（x）＝x﹣2sin x，所以f′（x）＝1﹣2cos x，
当0时，f′（x）≤0，
当时，f′（x）≥0，
即函数f（x）在[0，]为减函数，在[，π]为增函数，
故f（x）min＝f（），
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.
10.与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程是______.
【答案】
【解析】
【详解】设,将代入求得. 双曲线方程是
11.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A—B1C1D的体积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，证明AD为三棱锥A﹣B1C1D的高，再由棱锥体积公式求解．
【详解】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
∴AD⊥平面BCC1B1，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，
是中档题．
12.抛物线的准线交圆于点A，B，若AB＝8，则抛物线的焦点为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用直线与圆的位置关系转化求解即可．
【详解】解：抛物线的准线方程为：y，
圆x2+y2+6y﹣16＝0，可得圆心（0，﹣3），半径为：5，
抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，
可得：，
解得：p＝12．
抛物线x2＝24y，
抛物线的焦点坐标：（0，6）．
故答案为：（0，6）．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
13.已知函数，若(＜＜)，则的取值范围为
_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，结合函数的值域即可求出．
【详解】解：当x≤0时，f（x）＝xe x，
∴f′（x）＝（1+x）e x，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（﹣1），
当x→﹣∞时，f（x）→0，当x＝0时，f（0）＝0，
∴当x≤0时，f（x）∈[，0），
分别画出y＝x与y＝xe x的图象，如图所示，
∵﹣1＜x2＜0，
∴f（x2）＜0，
当x30时，
∴x3，
∴∈（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点睛】本题考查了分段函数的问
题，利用函数的单调性求出函数的值域，属于中档题．
14.有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
可设P为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．
【详解】解：可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'
可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，
由∠F1AF2＝90°，可得
m2+n2＝（2c）2，
即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，
化为a2+a'2＝2c2，
则2，
即有2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域
．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF//平面PDC．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）由DP⊥平面PBC，得BC⊥DP，由底面ABCD为矩形，得BC⊥DC，由此能证明BC⊥平面PDC．
（2）取PD中点G，推导出四边形ABCD为矩形，从而四边形EGCF为平行四边形，进而EF∥CG，由此能证明EF∥平面PDC．
【详解】证明：（1）∵平面，平面，
∴.
又底面为矩形，∴.
∵，平面，
∴平面.
（2）取中点，∵为的中点，
∴，且.
又为中点，四边形为矩形，
∴，且.
故与平行且相等，
即四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线
线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．
16.已知△ABC的内角平分线CD的方程为，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用点到直线的距离公式，求得点A到直线CD的距离．
（2）先求得A关于直线CD的对称点A′，再根据A′在直线BC上，求出BC的方程，将直线CD和直线BC联立方程组，求得C的坐标．
【详解】（1）点到直线的距离；
（2）依题意，点关于直线的对称点在边上，设.则
，解得，
即.
∴直线的方程为.
联立直线与的方程，解得点的坐标为.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，点关于直线的对称点的求法，用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于中档题．
17.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N分別为A1B和B1C1的中点．
（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求出平面MNC的一个法向量，利用向量法能求出A1B与平面NMC所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，于是，，，.
∴，，
设异面直线与所成角为，则
.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
（2），，，，
设是平面的一个法向量，则
，取，
设向量和向量的夹角为，
则，
∴与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18.设直线l的方程为，圆O的方程为．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）当时，直线与圆O交于M，N两点，若，求实数t的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由直线l的方程可得（y﹣1）m+x﹣1＝0，可知直线l过定点P（1，1），要直线l与圆O都有公共点，只要P点在圆内或圆上，即12+12≤r2，求解即可得答案；
（2）设弦MN的中点为E，则，由垂径定理可得MN2＝4ME2＝4（OM2﹣OE2），结合已知条件可得OE2≥9（OM2﹣OE2），求解可得，又OE2＜5，求解即可得答案．
【详解】（1）直线的方程整理可得，所以过定点，
要直线与圆都有公共点，只要点在圆内或者圆上，即，
又，所以.
（2）设弦的中点为，则.
由垂径定理可得，
所以，即为，
则，，
又，
所以，即.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，是中档题．
19.已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程；
（2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立．
【详解】（1）设椭圆的方程为，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）将代入并整理得，
则，.
∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴，解得，
∴直线，的斜率存在且不为零.
设直线，的斜率分别为和，只要证明.
设，，
.
故原命题成立.
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
20.已知函数，．
（1）当a＝1时，求：①函数在点P(1，)处的切线方程；②函数的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立，求a的值．
【答案】（1）①切线方程；②单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；（2）1
【解析】
【分析】
（1）①a＝1时，f（x），f′（x），可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．
②令f′（x）0，解得x＝e．通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值．（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】（1）①，所以，又，
所以切线方程为，即.
②，得.
+ 0 -
递增极大值递减
可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.
（2）由题意知，∴不等式恒成立，
即恒成立.
设，则有.
，
（Ⅰ）若，则在上单调递增，
又，所以在上，不符合；
（Ⅱ）若，则在上，即单调递增，
又，所以在上，不符合；
（Ⅲ）若，则在上，即单调递增，在上，即单调递减，又，所以恒成立，符合；
（Ⅳ）若，则在上，即单调递减，
又，所以在上，不符合.
综上可得的值为1.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。