三角形证明教案

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5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．
6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC
的平分线于点D，求证：MD=MA.
【知识点五：直角三角形】
1、直角三角形的有关知识．
●勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
●勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形；
●在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【典型例题】
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
AD是∠BAC的平分线，
．
8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的
顶点上）．
（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形
的周长．
9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
【知识点六：线段的垂直平分线】
●线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

●线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上。

⏹三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线
DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）
A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE
D．∠CAE=∠B
2．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于
2
1
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB =7，则△ABC 的 周长为（ ） A ．7 B ．14
C ．17
D ．20
3．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）
A ．三条中线的交点
B ．三边垂直平分线的交点
C ．三条高的交点
D ．三条角平分线的交点
4．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A ．在AC ，BC 两边高线的交点处 B ．在AC ，BC 两边中线的交点处 C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处 D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处
5．如图，AD 为∠BAC 的角平分，线段AD 的垂直平分线交AB 于M ，交AC 于N ，试说明MD ∥AC ．
6．如图所示，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF =2CF ．
7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为BC 边上的中点，CE ⊥AD
于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
D．70°
D．9
上，DE交BC于点F，
（2）在图2中，画△DEF ，使△DEF 为钝角三角形且面积为2．
【提高练习】
1．如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．16
D ．55
n
2
3
4
5
…
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b
4
6
8
10
…
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
3．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： （1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示： a = ，b = ，c = ；
（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为
直角三角形并证明你的猜想．
4．如图，AC =BC =10cm ，∠B =15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC 于D，BD=8，则AC= ．
6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；
（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．
7．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠BPQ的度数：（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的
长．
【垂直平分线变式练习】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC
于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
2．如图，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E．△BCE的周长等于50，则BC的长为（）
A．2l B．22
C．23 D．24
3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
BC=13cm，则△AEG的周长为（）
A．6.5cm B．13cm
C．26cm D．15
4．已知：如图，△ABC的∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE
分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）
A．大于B．小于
C．等于D．不能确定
5．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗?
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的长．
【提高练习】
1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．
（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；
（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
70°
b
=4，
ABC的
120°
TA-65。