第1章线性规划(3)(1).ppt

排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需要人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
解:这是一个纯成本收益平衡问题
（1）决策变量 ❖ 本问题的决策是不同排班的人数。 ❖ 设：xi为排班i的人数 (i＝1,2,,5 ) （2）目标函数 ❖ 本问题的目标是人员总费用(工资)最少
（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3) （2）目标函数
本问题的目标是使得公司总运输成本最低
Min z 700xF1-C1 900xF1-C2 800xF1-C3 800xF2-C1 900xF2-C2 700xF2-C3
（3）约束条件
① 从工厂运送出去的产品数量等于其产量 ② 顾客收到的产品数量等于其订货量 ③ 非负
▪ 使用的资源数量 可用的资源数量
▪ 问题的目标：最有效地利用各种资源，使 获利最大
对资源分配问题，必须收集三种数据：
（1）每种资源的可供量； （2）每一种活动所需要的各种资源的数量,
对于每一种资源与活动的组合,单位活动所 消耗的资源量必须首先估计出来； （3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润） 的单位贡献（如单位利润）。
▪ 每一时点的资金限制就表现为累计的资金。
年份 0（现在）
1 2 3 净现值
办公楼项目 40 100 190 200 45
宾馆项目 80 160 240 310 70
购物中心项目 90 140 160 220 50
可用资金 25 45 65 80
数学模型（线性规划模型）
Max z 45x1 70x2 50x3
教学目标
❖ 熟悉线性规划问题的类型； ❖ 理解线性规划问题的基本建模程序； ❖ 能洞察这些问题产生的背景中； ❖ 学习如何用线性规划描述与分析管理问题；
3.1 资源分配问题
▪ 资源分配问题是将有限的资源分配到各种 活动（决策）中去的线性规划问题。这一 类问题的共性是在线性规划模型中每一个 函数约束均为资源约束, 并且每一种资源都 可以表现为如下的形式：
数学模型（线性规划模型
Min z 700xF1C1 900xF1C2 800xF1C3 800xF2 C1 900xF2 C2 700xF2 C3
xF1
C1
xF1C2
xF1C3
12
xF2 C1 xF2 C2 xF2 C3 15
s.t.
xF1
C1
xF1 C2
xF2 C1 xF2 C2
问题的目标：通过选择各种活动水平的组合，以 最小的成本来实现最低可接受的各种收益水平
成本收益平衡问题的共性是所有的函数约 束均为收益约束，并具有如下的形式：
完成的水平最低可接受的水平
成本收益平衡问题需要的三种数据：
(1)每种收益的最低可接受水平（管理决策） (2)每一种活动对每一种收益的贡献(单位活动的
10 8
xF1
C3
xF2 C3
9
xi j 0 (i F1, F2; j C1,C2,C3)
电子表格模型
求解结果为：
❖ 工厂1运送到顾客1的产品为10个 ❖ 工厂1运送到顾客2的产品为2个 ❖ 工厂2运送到顾客2的产品为6个 ❖ 工厂2运送到顾客3的产品为9个 ❖ 工厂所花费的总运输成本最低,为20500元
例3.1 某公司是商务房地产开发项目的主要投资商
▪ 该公司有机会在三个建设项目中投资：
▪
项目1：建造高层办公楼；
▪
项目2：建造宾馆；
▪
项目3：建造购物中心。
▪ 每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在
当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加
投资。表3－1显示了四个时期每个项目所需资金
（百万元）。投资者可以按一定的比例进行投资和
第三节 线性规划——建模与应用
❖ 应用线性规划问题解决实际问题，最重要的 一个步骤就是首先要建立实际问题的线性规 划问题的数学模型。
❖ 建模是一项技巧性很强的创造性的工作，既 要求对实际问题有深入的了解，又要求对线 性规划模型的结构特点有很好的把握 。
本节内容
❖ 3.1 资源分配问题 ❖ 3.2 成本收益平衡问题 ❖ 3.3 网络配送问题
x2
79
x1
x2
65
x1 x2 x3 87
s.t.
x2 x3
x3 x4
64 73
x3
x4
82
x4 x4
43 x5
52
x5
15
xi 0 (i 1, 2, 3, 4, 5)
电子表格模型
求解结果为：
❖ 早6点班需要48人 ❖ 早8点班需要31人 ❖ 中午班需要39人 ❖ 下午4点班需要43人 ❖ 晚上10点班需要15人 ❖ 总费用（工资）最低，为每天30610元。全不 同，这种差异主要是由问题的管理目标不同而造 成的。
对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的 姿态，他们指明哪些收益必须实现（不管如何使 用资源），并且要以最低的成本实现所指明的收 益。管理层期望获得成本和收益之间的适度平衡。
40x1 80x2 90x3 25
s.t.
119000
x1 x1
160 x2 240 x2
140x3 160x3
45 65
200x1 310x2 220x3 80
xi 0 (i 1, 2, 3)
电子表格模型
规划求解结果为：
❖ 不投资办公楼项目 ❖ 宾馆项目的投资比例为16.5％ ❖ 购物中心项目的投资比例为13.11％ ❖ 此时获得的总利润最大，为1811万元。
3.3 网络配送问题
管理的目标：通过配送网络能以最小 的成本完成货物的配送
确定需求约束的形式如下： 提供的数量＝需求的数量
例3.3 某公司网络配送问题
某公司在两个工厂生产某种产品。现在收到三个顾客的下 个月定单要购买这种产品，这些产品会被单独运送。
表 3—4显示了运送成本、顾客的订货量、工厂的生产量 现在公司的物流经理要决定从每个工厂运送多少个产品到
解：这是一个资源分配问题
(1)决策变量
设：x1，x2，x3分别为在办公楼项目、宾馆
项目、购物中心项目中的投资比例
(2) 目标函数
本问题的目标是总净现值最大。
Max z 45x1 70x2 50x3
(3)约束条件：
公司在各期可获得的资金限制（资源约束）
▪ 注意：前一期尚未使用的资金，可以在下一期 使用（为了简化，不考虑资金可获得的利息）
作业1：
某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
贡献) (3)每种活动的单位成本
排班问题是成本收益平衡问题研究的最 重要的应用领域之一
在该领域中，管理层意识到在向顾客提供令 人满意的服务水平的同时必须进行成本控制， 因此必须寻找成本和收益之间的平衡。
研究如何规划每个轮班人员才能以最小的成 本提供令人满意的服务。
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的 往来航班，因此需要雇佣更多的服务人员。
获得相应比例的收益。
年份 办公楼项目 宾馆项目 购物中心项目
0（现在）
40
80
90
1
60
80
50
2
90
80
20
3
10
70
60
净现值
45
70
50
公司目前有 2500万元资金 可供投资，预计 一年后，又可获 得2000万元， 两年后获得另外 的2000万元， 三年后还有 1500万元以供 投资。那么，该 公司要在每个项 目中投资多少比 例，才能使其投 资组合获得最大 的总净现值？
Min z 170x1 160x2 175x3 180x4 195x5
（3）约束条件
❖ 每个时段的在岗人数必须不少于最低可接受 水平（最少需要人数）
❖ 非负
数学模型（线性规划模型）
Min z 170 x1 160 x2 175x3 180 x4 195x5
x1 48
x1
排班1:6AM～2PM 排班2:8AM～4PM 排班3:中午～8PM 排班4:4PM～午夜 排班5:10PM～6M
时段 6AM～8AM 8AM～10AM 10AM～中午 中午～2PM 2PM～4PM 4PM～6PM 6PM～8PM 8PM～10PM 10PM～午夜 午夜～6PM 每人每天工资(元)
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
作业2：
项目
A B C D
风险指数（次/万元） 1 3 4 5.5
某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。 已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能 收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资， 次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万 元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%， 但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投 资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100 万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资 金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
每个顾客那里才能使总成本最小？
工厂1 工厂2 订货量(个)
单位运输成本（元/个）
顾客1 顾客2 顾客3
700
900
800
800
900
700
10
8
9
产量（个）
12 15 27(产销平衡)
解:本问题是一个平衡运输问题
总产量=总订货量=27 （1）决策变量 设：xi-j为从工厂i运输到顾客j的产品数量