【2020】最新高中数学第一章不等关系与基本不等式章末质量评估北师大版选修4-5
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答案C
3.不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )
A.[－2，1)∪[4，7)B.(－2，1]∪(4，7]
C.(－2，－1]∪[4，7)D.(－2，1]∪[4，7)
解析 ⇒
⇒ 得(－2，1]∪[4，7).
答案D
4.已知a>2，b>2，则有( )
A.ab≥a＋bB.ab≤a＋b
C.ab>a＋bD.ab<a＋b
答案B
6.若x∈(－∞，1)，则函数y＝ 有( )
A.最小值1B.最大值1
C.最大值－1D.最小值－1
解析y＝ ＋ ＝ ＋ ＝－
≤－2 ＝－1.
答案C
7.设不等的两个正数a，b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是( )
A.(1，＋∞)B.
C. D.(0，1)
解析a2＋ab＋b2＝a＋b，(a＋b)2－(a＋b)＝ab，而0＜ab＜ ，所以0＜(a＋b)2－(a＋b)＜ ，得1＜a＋b＜ .
解析 作商比较法. ＝ ＋ ，又a>2，b>2，
∴ < ， < ，∴ < ＋ ＝1.
答案C
5.已知b＞a＞0，且a＋b＝1，那么( )
A.2ab＜ ＜ ＜b
B.2ab＜ ＜ ＜b
C. ＜2ab＜ ＜b
D.2ab＜ ＜b＜
解析 此题可用特殊赋值法判断出来，设a＝ ，b＝ ，2ab＝2× × ＝ ， ＝a2＋b2＝ ， ＝ ，b＝ ，∴b＞ ＞ ＞2ab成立，选B.
A.2 B.3
C.2D.
解析a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a(a＋2b)＋2c(a＋2b)
＝12⇒(a＋2c)(a＋2b)＝12≤
＝(a＋b＋c)2，所以a＋b＋c≥2 .
答案A
10.设b>a>0，且P＝ ，Q＝ ，M＝ ，N＝ ，R＝ ，则它们的大小关系是( )
A.P<Q<M<N<RB.Q<P<M<N<R
【2020】最新高中数学第一章不等关系与基本不等式章末质量评估北师大版选修4-5
编 辑：__________________
时 间：__________________
第一章 不等关系与基本不等式
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.设P＝ ，Q＝ － ，R＝ － ，则P，Q，R的大小顺序是( )
答案B
8.设关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k的取值范围是( )
A.k>0B.k>1
C.k<－4D.k>0或k<－4
解析 设方程2kx2－2x－3k－2＝0的两个实根分别为x1，x2且x1<1，x2>1，依题意
解得k>0或k<－4，故选D.
答案D
9.若a，b，c>0且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是( )
答案
12.a，b，c∈(0，＋∞)，设S＝ ＋ ＋ ＋ ，则S的取值范围是________.
解析 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝1
即S＞1， < ， < ， < ， < 得 ＋ < ＋ ＝1， ＋ < ＋ ＝1.
即 ＋ ＋ ＋ <2，得S<2，所以1<S<2.
答案 1<S<2
13.定义运算“⊗”：x⊗y＝ (x，y∈R，xy≠0).当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.
因此，满足条件的实数m应取－2<m≤2.
答案 (－2，2]
16.请补全用分析法证明不等式“ac＋bd≤ ”时的推论过程：要证明ac＋bd≤ ，
①__________________________________________________________________.
只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
答案 三角形中至少有两个内角是钝角
15.不等式|x＋1|－|x－1|<m的解集是R的非空真子集，则实数m的取值范围是________.
解析 由||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
知－|a－b|≤|a|－|b|≤|a－b|，
可得－2≤|x＋1|－|x－1|≤|(x＋1)－(x－1)|＝2.
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数.
18.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
△ABC的面积为 (a＋1)2.
由题设得 (a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
19.设x，y，z为正数，证明：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y).
证明因为x2＋y2≥2xy≥0，
所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，
即要证：a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，
即要证：a2d2＋b2c2≥2abcd.
②__________________________________________________________________.
解析 对于①只有当ac＋bd≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可.
解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.
因为x⊗y＝ ，所以(2y)⊗x＝ .又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝ ＋ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当x＝ y时，等号成立.
答案
14.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________.
解析 三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”.
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得 <x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
C.P<M<N<Q<RD.P<Q<M<R<N
解析R为平方平均数，它最大.
答案A
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11.若x，y，a∈(0，＋∞)，且 ＋ ≤a 恒成立，则a的最小值是________.
解析 ∵ ≥ ，即 ≥ (x＋y)，
∴ ≥ ( ＋ )，而 ＋ ≤a ，
即 ≥ ( ＋ )恒成立，得 ≤ ，即a≥ .
同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，
三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，
又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)
＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)，
所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y).
答案 ①因为当ac＋bd≤0时，命题显然成立，所以当ac＋bd≥0时
②∵(ad－bc)2≥0，∴a2d2＋b2c2≥2abcd，∴命题成立
三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
17.实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.
证明 假设a、b、c、d都是非负数，
20.已知a＞b＞0，求证： ＜ － ＜ .
证明 要证明： ＜ － ＜ ，
只需证明： ＜a＋b－2 ＜ ，
只需证明： ＜( － )2＜ ，
只需证明： ＜| － |＜ ，
∵a＞b＞0，
∴只需证明： ＜1＜ ，
只需证明：1＋ ＜2＜1＋ ，
只需证明： ＜1＜ .
∵a＞b＞0，故原不等式成立.
A.P>Q>RB.P>R>Q
C.Q>P>RD.Q>R>P
解析∵ ＋ ＝2 > ，∴ > － ，即P>R；
又∵ ＋ > ＋ ，∴ － > － ，即R>Q，所以P>R>Q.
答案B
2.设a＞b＞c，n∈N，且 ＋ ≥ ，则n的最大值为( )
A.2B.3
C.4D.5
解析 (a－c) ＝[(a－b)＋(b－c)]· ＝2＋ ＋ ≥4，故n的最大值为4，应选C.
3.不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )
A.[－2，1)∪[4，7)B.(－2，1]∪(4，7]
C.(－2，－1]∪[4，7)D.(－2，1]∪[4，7)
解析 ⇒
⇒ 得(－2，1]∪[4，7).
答案D
4.已知a>2，b>2，则有( )
A.ab≥a＋bB.ab≤a＋b
C.ab>a＋bD.ab<a＋b
答案B
6.若x∈(－∞，1)，则函数y＝ 有( )
A.最小值1B.最大值1
C.最大值－1D.最小值－1
解析y＝ ＋ ＝ ＋ ＝－
≤－2 ＝－1.
答案C
7.设不等的两个正数a，b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是( )
A.(1，＋∞)B.
C. D.(0，1)
解析a2＋ab＋b2＝a＋b，(a＋b)2－(a＋b)＝ab，而0＜ab＜ ，所以0＜(a＋b)2－(a＋b)＜ ，得1＜a＋b＜ .
解析 作商比较法. ＝ ＋ ，又a>2，b>2，
∴ < ， < ，∴ < ＋ ＝1.
答案C
5.已知b＞a＞0，且a＋b＝1，那么( )
A.2ab＜ ＜ ＜b
B.2ab＜ ＜ ＜b
C. ＜2ab＜ ＜b
D.2ab＜ ＜b＜
解析 此题可用特殊赋值法判断出来，设a＝ ，b＝ ，2ab＝2× × ＝ ， ＝a2＋b2＝ ， ＝ ，b＝ ，∴b＞ ＞ ＞2ab成立，选B.
A.2 B.3
C.2D.
解析a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a(a＋2b)＋2c(a＋2b)
＝12⇒(a＋2c)(a＋2b)＝12≤
＝(a＋b＋c)2，所以a＋b＋c≥2 .
答案A
10.设b>a>0，且P＝ ，Q＝ ，M＝ ，N＝ ，R＝ ，则它们的大小关系是( )
A.P<Q<M<N<RB.Q<P<M<N<R
【2020】最新高中数学第一章不等关系与基本不等式章末质量评估北师大版选修4-5
编 辑：__________________
时 间：__________________
第一章 不等关系与基本不等式
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.设P＝ ，Q＝ － ，R＝ － ，则P，Q，R的大小顺序是( )
答案B
8.设关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两个实根一个大于1，另一个小于1，则实数k的取值范围是( )
A.k>0B.k>1
C.k<－4D.k>0或k<－4
解析 设方程2kx2－2x－3k－2＝0的两个实根分别为x1，x2且x1<1，x2>1，依题意
解得k>0或k<－4，故选D.
答案D
9.若a，b，c>0且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是( )
答案
12.a，b，c∈(0，＋∞)，设S＝ ＋ ＋ ＋ ，则S的取值范围是________.
解析 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝1
即S＞1， < ， < ， < ， < 得 ＋ < ＋ ＝1， ＋ < ＋ ＝1.
即 ＋ ＋ ＋ <2，得S<2，所以1<S<2.
答案 1<S<2
13.定义运算“⊗”：x⊗y＝ (x，y∈R，xy≠0).当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.
因此，满足条件的实数m应取－2<m≤2.
答案 (－2，2]
16.请补全用分析法证明不等式“ac＋bd≤ ”时的推论过程：要证明ac＋bd≤ ，
①__________________________________________________________________.
只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
答案 三角形中至少有两个内角是钝角
15.不等式|x＋1|－|x－1|<m的解集是R的非空真子集，则实数m的取值范围是________.
解析 由||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
知－|a－b|≤|a|－|b|≤|a－b|，
可得－2≤|x＋1|－|x－1|≤|(x＋1)－(x－1)|＝2.
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数.
18.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
△ABC的面积为 (a＋1)2.
由题设得 (a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
19.设x，y，z为正数，证明：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y).
证明因为x2＋y2≥2xy≥0，
所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，
即要证：a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，
即要证：a2d2＋b2c2≥2abcd.
②__________________________________________________________________.
解析 对于①只有当ac＋bd≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可.
解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.
因为x⊗y＝ ，所以(2y)⊗x＝ .又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝ ＋ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当x＝ y时，等号成立.
答案
14.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________.
解析 三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”.
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得 <x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
C.P<M<N<Q<RD.P<Q<M<R<N
解析R为平方平均数，它最大.
答案A
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11.若x，y，a∈(0，＋∞)，且 ＋ ≤a 恒成立，则a的最小值是________.
解析 ∵ ≥ ，即 ≥ (x＋y)，
∴ ≥ ( ＋ )，而 ＋ ≤a ，
即 ≥ ( ＋ )恒成立，得 ≤ ，即a≥ .
同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，
三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，
又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)
＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)，
所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y).
答案 ①因为当ac＋bd≤0时，命题显然成立，所以当ac＋bd≥0时
②∵(ad－bc)2≥0，∴a2d2＋b2c2≥2abcd，∴命题成立
三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
17.实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.
证明 假设a、b、c、d都是非负数，
20.已知a＞b＞0，求证： ＜ － ＜ .
证明 要证明： ＜ － ＜ ，
只需证明： ＜a＋b－2 ＜ ，
只需证明： ＜( － )2＜ ，
只需证明： ＜| － |＜ ，
∵a＞b＞0，
∴只需证明： ＜1＜ ，
只需证明：1＋ ＜2＜1＋ ，
只需证明： ＜1＜ .
∵a＞b＞0，故原不等式成立.
A.P>Q>RB.P>R>Q
C.Q>P>RD.Q>R>P
解析∵ ＋ ＝2 > ，∴ > － ，即P>R；
又∵ ＋ > ＋ ，∴ － > － ，即R>Q，所以P>R>Q.
答案B
2.设a＞b＞c，n∈N，且 ＋ ≥ ，则n的最大值为( )
A.2B.3
C.4D.5
解析 (a－c) ＝[(a－b)＋(b－c)]· ＝2＋ ＋ ≥4，故n的最大值为4，应选C.