数字信号处理习题集(13章)

第一章 数字信号处理概述
简答题：
1． 在A/D 变换之前与D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么
作用？
答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，就是为了限制信号得最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍得条件。

此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，就是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持得阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样得工序就可以了。

（ ）答：错。

需要增加采样与量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同得数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效得数字处理。

（ ）
答：受采样频率、有限字长效应得约束，与模拟信号处理系统完全等效得数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统得分析方法就是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成得影响。

故离散时间信号与系统理论就是数字信号处理得理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带得模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从
)()(t y t x 到得整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果
kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统得截止频率。

（b ）
对于kHz 201=，重复（a ）得计算。

解 （a ）因为当0)(=≥ωπω
j e H rad 时，在数 — 模变换中
)(1)(1)(T
j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c
对应于模拟信号得角频率c Ω为
8
π
=
ΩT c
因此 Hz T
f c c 625161
2==Ω=
π 由于最后一级得低通滤波器得截止频率为T
π
，因此对T 8π没有影响，故整个系统得截止频
率由)(ω
j e
H 决定，就是625Hz 。

（b ）采用同样得方法求得kHz T 201=，整个系统得截止频率为
Hz T
f c 1250161
== 二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
2．设序列)(n x 得傅氏变换为
)(ωj e X ，试求下列序列得傅里叶变换。

（1）)2(n x （2）)(*n x （共轭）
解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞
-∞
=-=
=n n
j j e
n x e
X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]
2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1
)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=
+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭）
解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑
∑
3．计算下列各信号得傅里叶变换。

（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
2
1(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ω
ωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n
j n n e e n u X ωωω）（
ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116
)41(20)2(2
（c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞
==-=
=
∑∑
（d ）]12
111
2111[21)(ˆ--+-==
--∞
-∞=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X ）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(1
21)211(121)
()(ωωωωω
ωωj j j j e e
e e d X d j
X ---+--=-=)
4．序列)(n x 得傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列得傅里叶变换。

（1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）
)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x
=-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞
=-
（2）
∑∑∞
-∞
=-*-*
∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn n jwn
e X e X e n x
n x e
n x )]()([2
1
)]()([21
)](Re[
（3）
dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞
-∞
=-∞
-∞
=- 5．序列)(n x 得傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列得傅里叶变换。

（1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3)
)(2
n x 解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x
-**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞-∞
=-*--∞
-∞=*-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21)()()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰∑⎰∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θπ
π
θθπ
π
θθ
π
θπθ
π
6．令)(n x 与)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列得傅立叶变换。

（1）)2()(n x n g = （2）()⎩⎨
⎧=为奇数为偶数
n n n x n g 0
2)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw
e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(
[]
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+=-+=-∞
-∞
=--∞-∞
=-∞-∞=-∞
-∞=-∑∑∑∑)()(2121
)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2
12
2)2(2)2
(22
2
2w
j w j w
j w j k w
jk w j k w
jk j k w jk k w k
j k
e X e X e X e X e
k x e X e e k x e k x e k x k x πππ
（2）)()()2()()(222w j r w
jr r rw
j n jnw
jw
e X e
r x e
r g e
n g e G ==
=
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-
7．求下列序列得时域离散傅里叶变换
)(n x -*
， [])(Re n x ， )(0n x
解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **
∞∞---∞
∞-*=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-∑∑
[]()()
)()()(2
1
)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞
∞
--*∞∞-∑
∑
()[]
)(Im )()(21)(0
ωωω
j n j j e X j e n x n x e
n x
=--=∑∑∞
∞
--*∞
∞
-- 三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设)(z H 就是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中得3个零点分别为1，0、8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。

解：由线性相位系统零点得特性可知，1=z 得零点可单独出现，8.0=z 得零点需成对出现，
j z +=1得零点需4个1组，所以系统至少为7阶。

简答题：
1．何谓最小相位系统？最小相位系统得系统函数)(min Z H 有何特点？
解：一个稳定得因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
∑∑=-=--==
N k k
k M
r r
r Z a Z
b Z Q Z P Z H 1
01)
()
()(，她得所有极点都应在单位圆内，即1πk α。

但零点
可以位于Z 平面得任何地方。

有些应用中，需要约束一个系统，使它得逆系统
)
(1
)(Z H Z G =也就是稳定因果得。

这就需要)(Z H 得零点也位于单位圆内，即1πr β。

一个稳定因果得滤波器，如果它得逆系统也就是稳定因果得，则称这个系统就是最小相位。

等价得，我们有如下定义。

【定义】一个有理系统函数，如果它得零点与极点都位于单位圆内，则有最小相位。

一个最小相位系统可由它得傅里叶变换得幅值)(jw e H 唯一确定。

从jw
e 求)(Z H 得过
程如下：给定jw e ，先求2
jw e
，它就是)cos(kw 得函数。

然后，用
)(2
1k k
Z Z -+替代)cos(kw ，
我们得到)()()(1
-=Z H Z H Z G 。

最后，最小相位系统由单位圆内得)(Z G 得极、零点形成。

一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统与一个全通系统得乘积，即
)()()(min Z H Z H Z H ap =
完成这个因式分解得过程如下：首先，把)(Z H 得所有单位圆外得零点映射到它在单位圆内得共轭倒数点，这样形成得系统函数)(min Z H 就是最小相位得。

然后，选择全通滤波器
)(Z H ap ，把与之对应得)(min Z H 中得零点映射回单位圆外。

2．何谓全通系统？全通系统得系统函数
)
(Z H ap 有何特点？
解：一个稳定得因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应得傅里叶变换幅值1)(=jw e H ，该单位幅值得约束条件要求一个有理系统函数方程式得零极点必须呈共轭倒数对出现，即∏∑∑=-*
-=-=---=-=
=N
k k k
N k k
k M
r r
r ap Z Z Z a Z
b Z Q Z P Z H 11
11
011)
()()(αα。

因而，如果在k Z α=处有一个极点，则在其共轭倒数点*=k
Z α1
处必须有一个零点。

3．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统得频率响应、系统（转移）函数、差分方程与卷积关系表达式。

解：频率响应：∑∞
∞
--=n
j j e n h e
H ωω
)()(
系统函数：∑∞
∞
--=
n
Z
n h Z H )()(
差分方程：⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡-)()(1Z X Z Y Z 卷积关系：∑∞
∞
-*=
)()()(n x n h n y
第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~n x 就是一个周期为N 得周期序列，那么它也就是周期为2N 得周期序列。

把)(~n x 瞧作周期为N 得周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 瞧作周期为2N 得周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。

解： ∑∑-=-=-==10
10
21)(~)(~)(~N n N n kn N j kn N e n x W n x k X π
n k
N j N N
n N n N n n k N j kn N e n x e n x W n x k X 2212120
10
2222)(~)(~)(~)(~ππ--=-=-=-∑∑∑+==
对后一项令N n n -='，则
∑∑-=-='+'--+'+=10
10
)(22222)(~)(~)(~N n N n N n k
N j n k
N j e N n x e n x k X ππ
)
2
(~)1()(~)1(1
2
2k
X e e
n x e
jk N n n k
N j
jk πππ
--=--+=+=∑
所以⎪⎩⎪⎨⎧=0
)2(~2)(12k X k X
为奇数为偶数k k 二、离散傅立叶变换定义
填空题
1．某DFT 得表达式就是∑-==
10
)()(N k kl
M
W
k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点
之间得间隔就是（ ）。

解：M π2
2．某序列DFT 得表达式就是∑-==
1
)()(N k kl M
W
k x l X ，由此可瞧出，该序列得时域长度就是
（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔就是（ ）。

解：N M π2
3．如果希望某信号序列得离散谱就是实偶得，那么该时域序列应满足条件（ ）。

解：纯实数、偶对称
4．采样频率为Hz F s 得数字系统中，系统函数表达式中1
-z
代表得物理意义就是
（ ），其中时域数字序列)(n x 得序号n 代表得样值实际位置就是（ ）；
)(n x 得N 点DFT )k X （中，序号k 代表得样值实际位置又就是（ ）。

解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N
k π
ω2=
5．用8kHz 得抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点得DFT 。

则频域抽样点之间得频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______与模拟角频率间隔
∆Ω ______。

解：15、625，0、0123rad ，98、4rad/s 判断说明题：
6．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。

（ ）解：错。

如果序列就是有限长得，就能做DFT 对它进行分析。

否则，频域采样将造成时域信号得混叠，产生失真。

计算题
7．令
)(k X 表示N 点得序列)(n x 得N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也就是一个N 点得
序列。

如果计算)(k X 得离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'==
101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+⎩
⎨⎧=1
)(0N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+
所以
∑-'
-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
8．序列}{
0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )
(k x 如下图所示。

现将
)(n x 按下列（1）
，（2），
（3）得方法扩展成8点，求它们8点得DFT ？（尽量利用DFT 得特性）
n x
k
（1）
⎩⎨
⎧-=)4()
()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）
⎩⎨
⎧=0)
()(2n x n y 7~43~0==n n （3）
⎪⎩⎪⎨
⎧=0)
2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）
()()()0
1230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y
（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==⎪⎭
⎫
⎝⎛=k k k k k X k X k Y （3）
()()()()4
mod ,30,70114113k k k k k X k X k Y =≤≤≤≤==
9．设)(n x 就是一个2N 点得序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+
另设)()()
(1n R n x n x N =，它得
N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 得2N 点DFT )(k X 与
)(1k X 得关系。

解： ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛=221k X k X 推导过程略
10．试求以下有限长序列得N 点DFT （闭合形式表达式） （1）)()(n R a n x N n
=
（2）)()(n nR n x N =
解：（1）因为)()
(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j n
ae
a e
a k X ππ
210
211)(--=---=
=∑
（2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k
n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X []
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++=ΛΛ)()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
11．计算下列序列得N 点DFT ：
()116P
（1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ⎪⎭
⎫
⎝⎛nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==
∑-=1111)(10
，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
π
π
π
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e π
πππ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()
()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e
e e ()()()
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
12．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它得10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 得10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k
=，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 得10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m
解；（1）[]∑∑-==-+==
1
9
10)5(2)()()(N n n nk
nk N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510
=1+2k j
e
510
2π
-
=1+2k
)1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210k X W k Y k
=可以知道，)(n y 就是)(n x 向右循环移位2得结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。

的与是10)()()(n y n x n m
一种方法就是先计算的线性卷积与)()(n y n x
∑∞
-∞
=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()(
={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0
然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ
另一种方法就是先计算)(n y 得10点离散傅立叶变换
()()[]k
k n nk N n nk
N
W W W n n W
n y k Y 7102109
101
2722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k
k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k k k k W W W W 1210710710210422+++= k
k W W 71021045+=
由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ 13．（1）已知序列：102sin )(-≤≤⎪⎭
⎫
⎝⎛=N n n N n x ，π，求)(n x 得N 点DFT 。

（2）已知序列：
{
2
,1,010)(==
n n x ，，其它
，则)(n x 得9点DFT 就是
8,...,2,1,09sin 3sin )(9
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛=-k k k e
k X k j
，πππ 正确否？用演算来证明您得结论。

()345P 解：（1）)(k X kn
N j N n e
n N π
π21
2sin --=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛= ∑-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j = 1,2
-=k N
j
0， 其它
（2）⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=
=
------=-∑k j k j k j k j k j k j k j
k j
n kn
j e e e e e e e
e e
k X 999333
9
2962
9
211)(π
πππ
π
π
πππ
8,...,1,09sin 3sin 9
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-K k k e
k j
，πππ 可见，题给答案就是正确得。

14．一个8点序列)(n x 得8点离散傅里叶变换)(k X 如图5、29所示。

在)(n x 得每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即 ⎪⎭
⎫
⎝⎛2n x ，n 为偶数 =)(n y
0 ，n 为奇数
（1）求)(n y 得16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 得图形。

（2）设)(k X 得长度N 为偶数，且有12,...,
1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求⎪⎭
⎫
⎝⎛2N x 。

解：（1）因n 为奇数时0)(=n y ，故
∑∑=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=14
,...2,01615
16
2)()(n nk n nk
W n x W
n y k Y ∑==
7
8
)(m mk
W
m x ， 150≤≤k
另一方面 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∑=其它,07
0,)()(7
08k W m x k X m mk
因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-∑=-其它,015
8,)()8(7
0)8(8k W m x k X m k m
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
所以 )(k Y ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤=其它,015
8),8(70),(k k X k k X
按照上式可画出)(k Y 得图形，如图5、34所示。

15
解：（1）()
∑∑-=-===
10
1
)(N n n
k
N
N n nk
N
n
aW W
a k X
()
k N
N k
N
N
k
N
aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==
3
4
)()(n nk W
n x k X
k k k k k k W
W W W W W W 34
2
4
342440432132--+=--+=
4Λ
k
k
k k j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k
16．长度为8得有限长序列)(n x 得8点DFT 为)(k X ，长度为16得一个新序列定义为 )2
(n
x 14,...2,0=n =)(n y
0 15,...,3,1=n 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。

解：∑==
15
016
)()(n nk W
n y k Y
∑∑=+=++=7
)12(167
0216
)12()2(r k
r r rk W r y W
r y ∑==7
8)(r rk W r x )15,...,1,0(=k
而 ∑==
7
8
)()(n nk W
n x k X )7,...,1,0(=k
因此，当7,...,1,0=k 时，)()(k X k Y =；当15,...,9,8=k 时，令)7,...,1,0(8=+=l l k ，得
到：)()()()8(7
87
)8(8
l X W r x W
r x l Y r rl r l r ===
+∑∑==+
即 )8()(-=k X k Y
于就是有 )(k X 7,...,1,0=k =)(k Y
)8(-k X 15,...,9,8=k
17．⎪⎩
⎪
⎨⎧=====304
,211,02
)(n N n n n x 若试计算)(n x 得离散傅里叶变换)(k X 得值
)3,2,1,0(=k 。

【解】 ∑-==
1
40)()(k kn N
W
k x n X
所以 50122)()0(0
003
=+++==∑=N N N k kn N W W W W
k x X
ππ
ππj j
j
j
N
N N k kn
N
e e
e
e
W W W W
k x X ----=++=++=+++==∑2
24
24
22103
022220122)()1(
ππ24
203
220122)()2(j j N N N k kn N e e W W W W k x X --=++=+++==∑
ππ32
36303
220122)()3(j j
N
N N k kn
N
e e
W W W W
k x X --=++=+++==∑
证明题：
18．设)(k X 表示长度为N 得有限长序列)(n x 得DFT 。

（1）
证明如果)(n x 满足关系式
)1()(n N x n x ---=
则
0)0(=X
（2）
证明当N 为偶数时，如果
)1()(n N x n x --=
则0)2
(
=N
X 解 （1）
∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=---=
===1
2
120
1
10
1
)
1()()()()0()()(N N
n N n N n N n N N n nk
N
n N x n x n x W n x X W n x k X
令m n N =--1
∑∑-=-=-
=0
12
12
)()()0(N n N n m x n x X
显然可得 0)0(=X
（2）∑∑-=-=-==1
10)1)(()()2(N n n N n jk n x e
n x N X π
（将n 分为奇数与偶数两部分表示）
∑∑-=+-=-++-=120
12120
2)1)(12()1)(2(N r r N
r r r x r x
∑∑-=-=+-=120
120
)12()2(N r N r r x r x
()1221)12()21(120
120
+=--+---=∑∑-=-=k r N r x r N x N r N r 令
∑∑-==+-+=
120
2
)12()12(N r N k r x r x
显然可得 0)2
(
=N
X 简答题：
19．在离散傅里叶变换中引起混迭效应得原因就是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理
减小这种效应得方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2s f 得频率成分。

20．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间得关系。

解：离散傅立叶变换就是Z 变换在单位圆上得等间隔采样。

三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列
]
[])2[(4k R k x N -得值（ ）。

解：{}{}3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4=--===-k k x x x x k R k x N
2．已知}{
}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1)(=-===k n h k n ，则)(n x 与)(n h 得5点循环卷积为（ ）。

解：{
})3()2()()()()(---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[()(55==---+=k k x k x k x
3．已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和得
4点循环卷积为（ ）。

解：⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]
3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]
0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h
证明题：
4．试证N 点序列()n x 得离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式
2
1
21
0][1][∑∑-=-==N m N k k X N n x
证：
∑∑
-=-==
1
2
1
][*][1
][1N m N m m X m X N
m X N
2
10
10
*10
1
*
1
0*10
]
[][][][1
]
[)
][]([1∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=-=====N k N k N m mk
N N k N m N k mk N
k x k x k x W
m X N k x W
k x m X N
5．)(n x 长为N 得有限长序列，)
(),(n x n x o e 分别为
)(n x 得圆周共轭偶部及奇部，也
即
)]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x e e -+=-= )]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x o o --=--=
证明：
)](Im[)]([)](Re[)]([K X j n x DFT K X n x DFT o e ==
证 ]))((*)([2
1
)](*)([21)(*)(N e e n x n x n N x n x n N x n x -+=-+=-=
)](Re[)](*)([2
1k X k X k X =+↔
]))((*)([2
1
)](*)([21)(*)(N o o n x n x n N x n x n N x n x --=--=--=
)](Im[)](*)([2
1
k X j k X k X =-↔ 6．令)(k X 表示N 点序列)(n x 得N 点DFT ，试证明：
（a ） 如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

（b ） 当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2
(
=N
X 。

证：∑-==1
0)()(N n nk
N W n x k X )1,...,1,0(-=N k
（a ）∑-==1
)()0(N n n x X
N 为偶数： ∑∑-=-=--+=
12
120
)1()()0(N n N n n N x n x X
[]
[]0
)()()1()(12
12
=-=
--+=
∑∑-=-=N n N n n x n x n N x n x
N 为奇数：)2
1
(
)1()()0(121
121
-+--+
=
∑∑--=--=N x n N x n x X N n N n []
[])
21(0)21()()()21
(
)1()()2
1
(
12
1
0121
-=+-=-+-=--++-=∑∑--=--=N x N x n x n x N x n N x n x N x N n N n
而)(n x 中间得一项应当满足：
)2
1
()211()21(
--=----=-n x N N x N x 因此必然有 0)2
1
(=-n X 这就就是说，当N 为奇数时，也有0)0(=X 。

（b ）当N 为偶数：∑∑-=-=-==10
102)1)(()()2(N n n N n N
n N n x W n x N X
∑∑∑∑-=---=-=---=--+-=
---+-=
12
112
0120
1120
)1)(()1()
1)(()1)(1()1)((N n n
N N n n
N n n N N
n n
n x n x n N x n x
当N 为偶数时，1-N 为奇数，故1)
1(1
-=--N ；又由于,)1()1(n n -=--故有
0)1)(()1)(()2(
12
12
0=---=∑∑-=-=N n n N n n n x n x N
X 计算题：
7．已知)30()1()(),30(1)(≤≤-=≤≤+=n n y n n n x n
，用圆周卷积法求)(n x 与)(n y 得线性卷积)(n z 。

解：{
}4,3,2,1)(=n x 30≤≤n ，{}1,1,1,1)(--=n y 30≤≤n 因为)(n x 得长度为41=N ,)(n y 得长度为42=N
所以)()()(n y n x n z *=得长度为7121=-+=N N N ,故应求周期7=N 得圆周卷积)()(n y n x ⊗得值，即
)()(~)(~)()()(10n R m n y m x n y n x n z N N m •⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⊗=∑-=
所以{
}60,4,1,3,2,2,1,1)()()(≤≤--=*=n n y n x n z 8．序列{}
3,2,1)(为n a ，序列{}
1,2,3)(为n b 。

（1）求线性卷积()()n b n a *
（2）若用基2 FFT 得循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列得线性卷积运算结果，FFT
至少应取多少点？ 解：（1）∑∞
-∞
=-=
*=n m n b m a n b n a n w )()()()()(
所以{}3,8,14,8,3)()()(=*=n b n a n w ，40≤≤n
（2）若用基2FFT 得循环卷积法（快速卷积）来完成两序列得线性卷积运算，因为)(n a 得
长度为31=N ；所以()()n b n a *得长度为5121=-+=N N N 。

故FFT 至少应取823
=点。

9．有限长为N=100得两序列
⎩
⎨⎧=01)(n x 9911100≤≤≤≤n n
⎪⎩
⎪
⎨⎧=101
)(n y 99908910≤≤≤≤=n n n
做出)(),(n y n x 示意图，并求圆周卷积)()()(n y n x n f ⊗=及做图。

解
)(),(n y n x 示意图略，圆周卷积)()()(n y n x n f ⊗=
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<============90
10090,10191,9292,8393,7494,65
95,5696,4797,3898,2999,1100
11n n n n n n n n n n n n n f
10．已知)(n x 就是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。

现将长度变成rN 点得有限长
序列
)(n y
⎩⎨⎧=0
)()(n x n y 110-≤≤-≤≤rN n N N n
试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 得关系。

解：由10,)()]([)(10
2-≤≤==∑-=-N k e
n x n x DFT k X N n nk N
j π
可得
∑∑-=-===
=1
1
)()()]([)(N n nk
rN rN n nk rN
W n x W
n y n y DFT k Y 1,,1,0,,)(10
2-==⎪⎭
⎫
⎝⎛==∑-=-N l lr k r k X e
n x N n r
k n N j Λπ
所以在一个周期内，)(k Y 得抽样点数就是r k X 的)(倍，相当于在)(k X 得每两个值之间
插入1-r 个其她得数值（不一定为零），而当r k 为得整数l 倍时，
⎪⎭
⎫
⎝⎛r k X k Y 与)(相等。

11．已知)(n x 就是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。

现将)(n x 得每两点之间补进
1-r 个零值点，得到一个rN 点得有限长序列
)(n y
⎩
⎨⎧=0)
()(r n x n y n
N i ir n 其他1,,1,0,-==Λ
试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 得关系。

解：由10,)()]([)(10
-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n nk
N
可得
∑-==
=1
0)()]([)(rN n nk rN
W
n y n y DFT k Y
10,)()(10
1
0-≤≤==∑∑-=-=rN k W i x W
r ir x N n ik
N N i irk
rN
而
)())(()(k R k X k Y rN N =
所以)(k Y 就是将)(k X （周期为N ）延拓
r 次形成得，即)(k Y 周期为rN 。

12．已知序列)3()2(2)1(3)(4)(-+-+-+=n n n n n x δδδδ与它得6点离散傅立叶变换
)(k X 。

（1）若有限长序列)(n y 得6点离散傅立叶变换为)()(46k X W k Y k
=，求)(n y 。

（2）若有限长序列)(n u 得6点离散傅立叶变换为)(k X 得实部，即[])(Re )(k X k U =，求)(n u 。

（3）若有限长序列)(n v 得3点离散傅立叶变换)2()(k X k V = )2,1,0(=k ，求)(n v 。

解：（1）由)()(46k X W k Y k =知，)(n y 就是)(n x 向右循环移位4得结果，即
6))4(()(-=n x n y
)1()(2)5(3)4(4-++-+-=n n n n δδδδ （2）[]∑=-+-+-+=
5
6
)3()2(2)1(3)(4)(n nk
W
n n n n k X δδδδ
k
k k W W W 36266234+++= k
k k W W W k X 36266234)(---*+++=
[][]
)()(21)(Re k X k X k X *
+=
[]
k k k k k k W W W W W W 362663626623423421
---+++++++=
[]
k k k K k k W W W W W W 36465636266
2323821
++++++=
[]
k k k k k W W W W W
564636266
3222382
1
+++++=
由上式得到 )5(2
3
)4()3()2()1(23)(4)(-+-+-+-+-+=n n n n n n n u δδδδδδ （3）∑∑∑∑====+===
5
3
32
3
5
5
03
26
)()()()()2(n nk n nk n n nk
nk W n x W
n x W
n x W
n x k X
[]2
,1,0,)3()()3()()3()(20
32
3
33
2
03
2
)
3(32
03
=++=++=
++=∑∑∑∑∑====+=k W n x n x W
n x W
W
n x W n x W
n x n nk n nk k n nk n n k n nk
由于 )2()()(2
03
k X W
n v k V n nk ==
∑=
[]2,1,0,)3()(2
3=++=∑=k W n x n x n nk
所以 2,1,0),3()()(=++=n n x n x n v
即
2
)5()2()2(3)4()1()1(5
)3()0()0(=+==+==+=x x v x x v x x v 或 )2(2)1(3)(5)(-+-+=n n n n v δδδ
13．令)(k X 表示N 点得序列)(n x 得N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也就是一个N 点得
序列。

如果计算)(k X 得离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

解
∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'==101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N
nk N N k N n n k N N k nk
N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+⎩⎨⎧=1
)
(0
N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+
所以
∑-'
-=+-=11)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
14．为了说明循环卷积计算（用DFT 算法），分别计算两矩形序列)()(n R n x N =得卷积，
如果)()(6n R n x =，求
（1）两个长度为6点得6点循环卷积。

（2）两个长度为6点得12点循环卷积。

【解】这就是循环卷积得另一个例子。

令 ⎩
⎨
⎧-≤≤==其他01
01][][21L n n x n x
图3-6中6=L ，N 定义为DFT 长度。

若L N =，则N 点DFT 为 ⎩⎨⎧===
=∑-=其他
0)()(1
021k N W k X k X N n kn
N
n
]
[1n x N
1
(a)
如果我们将][1k X 与][2k X 直接相乘，得
⎩⎨
⎧===其他
)(][)(2
213k N k X k X k X 由此可得 N n x =][3 10-≤≤N n
这个结果绘在图3-6中。

显然，由于序列[]N m n x ))((2-就是对于][1m x 旋转，则乘积
[]N m n x m x ))((][21-得与始终等于N 。

当然也可以把][1n x 与][2n x 瞧作就是2L 点循环卷积，只要给她们增补L 个零即可。

若我们计算增长序列得2L 点循环卷积，就得到图3-7所示序列。

可以瞧出它等于有限长序列][1n x 与][2n x 得线性卷积。

注意如图3-7所，L N 2=时 k
N
Lk
N
W W k X k X --==11][][21 所以图3-7（e ）中矩形序列][3n x 得DFT 为（L N 2=）
2
311][⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=k
N Lk
N W W k X 循环卷积得性质可以表示为
][][][][2121k X k X n x n x DFT
−−
→←⊗ 考虑到DFT 关系得对偶性，自然两个N 点序列乘积得DFT 等于她们对英得离散傅里叶变换得循环卷积。

具体地说，若][][][213n x n x n x =，则 []∑-=-=
1
2
1
3))((][1
][N l N
l k X l X N
k X
或 ][][1
][][2121k X k X N
n x n x DFT
⊗−−→
← 16．设)(n x 就是一个2N 点序列，具有如下性质
)()(n x N n x =+ 10-≤≤N n 另设)()()(1n R n x n x N =，它得N 点DFT 为)(1k X 。

求)(n x 得2N 点DFT )(k X 与)(1k X 得关系。

【答案】⎪⎭
⎫
⎝⎛=22)(1k X k DFTX 17．已知某信号序列{}2,1,2,3)(=k f ，{}2,4,3,2)(=k h ，试计算 （1）)(k f 与)(k h 得循环卷积与)()(k h k f ⊗； （2）)(k f 与)(k h 得线性卷积与)()(k h k f *； （3）写出利用循环卷积计算线性卷积得步骤。

【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+=k h k h k h k h k y
（2）)
6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+-+-+-+=k h k h k h k h k h k h k h k y
（3）略
18．如图表示一个5点序列)(n x 。

（1）试画出
)()(n x n x *
（2）试画出
)()(5
n x n x ⊗
解：
n
n x n x *
)
()(5
n x n x ⊗
简答题：
19．试述用DFT 计算离散线性卷积得方法。

解：计算长度为M,N 两序列得线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列得DFT ，并求其乘积，最后求乘积后序列得IDFT ，可得原两序列得线性卷积。

20．已知
)(),(k Y k X 就是两个N 点实序列)(),(n y n x 得DFT 值，今需要从
)(),(k Y k X 求)(),(n y n x 得值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。

解：依据题意 )()(),()(k Y n y k X n x ⇔⇔
取序列
)()()(k jY k X k Z +=
对)(k Z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。

又根据DFT 性质
)()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题可知，
)
(),(n y n x 都就是实序列。

再根据
)
()()(n jy n x n z +=，可得
)](Im[)()]
(Re[)(n z n y n z n x ==
四、频域取样
填空题：
1．从满足采样定理得样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。

采用得方法，从时域角度瞧就是（ ）；从频域角度瞧就是（ ）。

解：采样值对相应得内插函数得加权求与加低通，频域截断
2．由频域采样)(k X 恢复)(ω
j e X 时可利用内插公式，它就是用（ ）值对（ ）
函数加权后求与。

解：)(k X 内插
3．频域N 点采样造成时域得周期延拓，其周期就是（ ）。

解：NT （频域采样点数⨯N 时域采样周期T ） 简答题：
已知有限长N 序列][n x 得z 变换为)(z X ，若对)(z X 在单位圆上等间隔抽样M 点，且N M <，试分析此M 个样点序列对应得IDFT ][1n x 与序列][n x 得关系。

解：
如果
1,,1,0,)(][21-===M m z X m X m M j e z Λπ
即][1m X 就是)(z X 在单位圆上M 点等间隔抽样，根据频域抽样定理，则存在
}{∑+∞
-∞
=+=
=l M
k R
lM k x m X IDFT k x ][][][][11
上式表明，将序列)(k x 以M 为周期进行周期延拓，取其主值区间]10[-M ，上得值，即得序列][1k x 。

由于N M 〈，故在对][k x 以M 为周期进行周期延拓时，必然存在重叠。

5．FFT 算法得基本思想就是什么？ 解：答案略。

6．简述时域取样定理与频域取样定理得基本内容。

解：答案略。

计算题：
7．设)(n x 就是长度为M 得有限长序列，其Z 变换为
∑-=-=
1
)()(M n n
Z
n x Z X
今欲求)(Z X 在单位圆上N 个等距离点上得采样值)
(k Z X ，其中
,1,,1,0,2-==N k e
Z k N
j
k Λπ
解答下列问题（用一个N 点得FFT 来算出全部得值）
（1）当M N M N ≥<和时，写出用一个N 点FFT 分别算出)(k Z X 得过程；
(2) 若求)
(k Z X 得IDFT ，说明哪一个结果与)(n x 等效，为什么?
解：（1）M N
≥，对序列)(n x 末尾补零至N 个点得序列)('n x ，计算)('n x 得N 点FFT
即可得到)(k Z X 。

M N <时，对序列)(n x 以N 为周期进行周期延拓得到一个新得序列)('n x ，求序列)
('n x 得前M 点得FFT 即可得)(k Z X 。

（2）M N ≥时得到得结果与)(n x 等效，因为其满足频域取样定理。

8．已知
10),()(<<=a n u a n x n
，今对其z 变换)(z X 在单位圆上等分采样，采样值为k
N
W z z X k X -==)()(，求有限长序列IDFT )]([k X
解 方法一 1
11)(--=
az z X
k N
N
N k N W z W z aW a a aW az z X k X k N
k
N
--•-=-=-=
=-=-=11111111)()(1
kn
N N n n
N n
N n k N
N
W
a a aW a ∑∑-=-=-=-=
1
1
11
)(11
IDFT )(11
)]([n R a a
k X N n N
-= 方法二
1
11)(-∞
=--=
=∑az z a z X n n n ∑∑∞
-∞
==∞
=-==
==--l kl N
l
W z l l
l W z W
l u a z
a z X k X k N
k N
)()()(0∑∑∑-=∞
-∞
=--=-==
101
1])([1)(1
)(N K l nk N kl N l
N K nk N
W W
l u a N
W
k X N
n x 交换求与次序
∑∑∞
-∞
=-=-=
l N k n l k N l
W l u a N
1
)
()(1
（因为
⎩⎨⎧=∑-=-0
10
)(N
W
N k n l k N
mN n l mN n l +≠+= ，Λ2,1,0=m ） 所以∑∞
-∞
=+=
m mN n x n x )()(1 10-≤≤N n
∑∑∞
=∞
=+=+=0
)(m mN
n
m mN
n a
a
mN n u a
10-≤≤N n
)(11n R a a
N n
N
-=
9．研究一个长度为M 点得有限长序列)(n x 。

⎩
⎨⎧-≤≤=n M n n x n x 其他,010),()(
我们希望计算求z 变换∑-=-=
1
)()
(M n n
z
n x z X 在单位圆上N 个等间隔点上得抽样，即在
1,1,0,2-==N k e
z k N
j
Λπ
上得抽样。

当M
N >时，试找出只用一个N 点DFT
就能计算)(z X 得N 个抽样得方法，并证明之。

解：若M N
>，可将)(n x 补零到N 点，即
⎩⎨
⎧-≤≤-≤≤=1
,01
0),()(0N n M M n n x n x
则 10,)()(1
202-≤≤=∑-=-N k e
n x e
X N n nk N
j
k N
j
ππ
10．对有限长序列{
}1,0,1,1,0,1)(=n x 得Z 变换)(z X 在单位圆上进行5等份取样，得到取样值)(k X ，即4,3,2,1,0,)
()
(5==-=k z X k X k
W z
求)(k X 得逆傅里叶变换)(1n x 。

解：
k
W z n n z X k X z z z z n x z X -=---=-=+++==∑5
)()(1)()(5
325
∑==++=+++=4
513
525553525)(21n kn
W n x W W W W W
{}0,1,1,0,2)(1=n x
11．设如图所示得序列)(n x 得Z 变换为)(z X ，对)(z X 在单位圆上等间隔得4点上取样得
到)(k X ，即
3,2,1,0,)
()(4
2===k z X k X k j
e
z π
试求)(k X 得4点离散傅里叶逆变换)(1n x ，并画出)(1n x 得图形。

()379P
n x
解：因为对)(z X 在单位圆上等间隔得4点上取样，将使)(n x 以4为周期进行周期延拓，所
以∑∞
-∞
=+=
r r n x n x ))4(()(1，根据上式可画出)(1
n x 得图形，如下图所示。

n
()n x 1
四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题
简答题：
1．理解DFT 分析信号频谱中出现得现象以及改善这些现象得方法? 解：答案略
2．补零与增加信号长度对谱分析有何影响？就是否都可以提高频谱分辨率? 解：时域补零与增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。

3．试说明连续傅里叶变换)(f X 采样点得幅值与离散傅里叶变换)(k X 幅值存在什么关系？
解：两个幅值一样。

4．解释DFT 中频谱混迭与频谱泄漏产生得原因，如何克服或减弱？
解：如果采样频率过低，再DFT 计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。

泄漏就是由于加有限窗引起，克服方法就是尽量用旁瓣小主瓣窄得窗函数。

计算题：
5．用某台FFT 仪做谱分析。

使用该仪器时，选用得抽样点数N 必须就是2得整数次幂。

已知待分析得信号中，上限频率1025≤kHz 。

要求谱分辨率5≤Hz 。

试确定下列参数：1、一个记录中得最少抽样点数；2、相邻样点间得最大时间间隔；3、信号得最小记录时间。

解：因为待分析得信号中上限频率kHz f m 25.1≤
所以抽样频率应满足：kHz f f m s 5.22=≥
因为要求谱分辨率
kHz N f s 5≤，所以5005
10005.2=⨯≥N 因为选用得抽样点数N 必须就是2得整数次幂，所以一个记录中得最少抽样点数512=N 相邻样点间得最大时间间隔ms ms f f T s s 4.05
.21
211min
===
=
信号得最小记录时间ms ms T N T p 8.2044.0512min =⨯=⨯=
6．（1）模拟数据以10、24千赫速率取样，且计算了1024个取样得离散傅里叶变换。

求
频谱取样之间得频率间隔。

（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后
抽样点得间隔为多少？整个1024点得时宽为多少？解：（1）频率间隔101024
10240
==
∆F
（赫）
（2）抽样点得间隔s T μ66.9724
.101
==
∆
整个1024点得时宽T=97、66
⨯1024=100ms
7．频谱分析得模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512个抽样得DFT ，试确定频谱抽样之间得频率间隔，并证明您得回答。

证明：由 ππ2,200Ω
=Ω=F f s s
得 0
0ΩΩ
=s s F f
其中s Ω就是以角频率为变量得频谱得周期，0Ω就是频谱抽样之间得频谱间隔。

又
N F f s
s =ΩΩ=0
0 则 N
f F s =
对于本题有
512,8==N kHz f s
所以 Hz F 625.15512
8000
0==
8．设有一谱分析用得信号处理器，抽样点数必须为2得整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力Hz 10≤，如果采用得抽样时间间隔为0、1ms ，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理得信号得最高频率；（3）在一个记录中得最少点。