台湾地区高考多项式函数试题考点评析及思考

6如魏学款学2019年第6期台湾地区高考多项式函数试题考点评析及思考
钟劲松
(湖南教育出版社，湖南长沙410007)
I i i1刖旨
多项式(Polynomials)函数作为高中课程标准中的一项重要的知识内容,大陆地区学生在初中阶段学习一次、二次函数的基础上，高中阶段主要对三次函数进行学习，学习内容包括能利用导数求三次函数的极值以及给定闭区间的最大值、最小值,利用导数研究三次函数的图像和性质，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系等等•台湾地区课程纲要则对多项式及多项式函数的要求颇高，具体内容为多项式的运算与应用——乘法、除法(包括除式为一次式的综合除法)，除法原理(含余数定理、因式定理)及其应用；实系数多项式的代数基本定理、虚根成对定理，插值多项式(次数不超过三次)函数及其应用，多项式函数的微积分等等.
本文从台湾地区近5年高考中有关多项式的试题中选取若干题,按照考查的主要知识点进行分类，每个知识点选取1-2道经典题进行分析并解答，从中体会台湾地区高考命题者是如何对多项式内容进行命题,感受其试题的风格与特点,让读者从中受到启发•本文末尾还对台湾地区高考试题特色进行了总结，并对我国教材编写提出了一点意见，不当之处，敬请同行指正.
2基本定理
余数定理:对任意多项式P(%),P(%)除以(x-a)的余数为P(a).
因式定理：(x-a)是多项式P(%)的因式当且仅当P(a)=0.
上面两个关于多项式函数的重要定理，证明非常简单，利用多项式的带余除法即可证明•这两个定理对于解题非常关键，有着重要的应用.3考点评析
3.1多项式函数定理的综合应用
台湾高考试题中运用多项式函数定理主要包括:实系数多项式的代数基本定理、余数定理、因式定理、虚根成对定理等等.另外，还包括多项式的运算法则：多项式的带余除法、一次式的综合除法、插值多项式(次数不超过三次)等等，综合度较高，需要考生具备一定的分析和解决问题的能力，还需要一定的运算求解能力.
试题1设实系数多项式/&)满足/(1+ i)=5与/<i)=10(其中i=/二lj,且/(勿除以(x2-2x+2)(x2+1)的余式为g(x).请选出正确的选项.
(1)g(1+i)=5；
(2)/(-i)=10；
(3)g(%)除以/-2x+2的余式是一次多项式；
(4)g&)除以x2-2x+2的商式是2x+l；
(5)g(x)=2x3-lx2+2%+3.
解析:根据题意,不妨设
/(x)=h(x)(x2-2x+2)(/+1)+g(x), .................................................................(*)其中g(%)的次数W3.因为/(1+i)=5,当％= 1+i时-2%+2=0,将乞=1+i代入(* )式可得g(l+i)=5,故选项(1)正确.
对于选项(2),因为/(i)=10,所以％=i是F(%)=f(x)-10=0的一个解.令F(x)= /(x)-10,根据多项式函数的虚根成对定理,同样％=_i也是F(x)=0的一个解，所以有F(-i)=0.因为x2+1=(-i)2+1=0,即F(_i)=A_i)_10=O+g(-i)_10=0,只能推导岀g(-i)=10,故选项(2)错误;对于选
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项(3),显然余式g仏)的最高次数不高于3次，且％=1土i分别是方程g(x)=5的两根，同样，%=±i也是方程g(x)=10的两个根，可设g(x)=ax3+bx2+ex+d,利用g(1土i)=5, g(±i)=10可以求得a=2,6=_3,c=2,d= 7,所以,
g(%)=2x3-3x2+2x+7
=(x2-2x+2)(2x+1)+5.
因此,g(E除以%2-2x+2的余式是一常数，故选项(3)错误.
故选项(4)正确，选项(3)、(5)均错误.
点评:本题考查了多项式的带余除法、虚根成对定理，关键是求出g(x)的表达式之后，选项(3)、(4)、(5)就可以选择或者排除了.本题考查了考生一定的运算能力.
试题2假设多项式/(%)=2-2x+ 4x(%-1)+x(x-1)(x-2)g(x)，其中gO)为一实系数多项式•请选出一定正确的选项.
(1)/(%)有&-1)的因式；
(2)/(x)没有仏+1)的因式；
(3)/(%)被&-2)除的余数等于6；
(4)0不是/(x)=0的根；
(5)通过(0,/(0)),(1,/(1)),(2, /(2))的最低次插值多项式为2-2x+ 4%(%-1).
解析:对于选项(1),通过观察，也可以利用因式定理,/仏)有(X-1)的因式，故选项(1)正确.
对于选项(2),假设/&)有(%+1)的因式，则x=-1是y=/(%)的一个零点.因为/(x)=4x2-6x+2+x(x-1)(x-2)g(x).若/(-1)=0,则]2-6g(-1)=0,从而g(-1)= 2.因为不能判断g(-1)是否为2,所以也就不能判定/仏)没有(％+1)的因式，故选项(2)错误.
对于选项(3),因为/(%)被(x-2)除的余数，即2-2x+4x(X-l)被(％-2)除的余数，又因为2-2x+4x(x-1)=4x2-6x+ 2 -(4x+2)(x-2)+6,所以J(%)被(%-2)除的余数为6,也可以根据余数定理，余数R= /(2)=6,故选项(3)正确.
对于选项(4),若0是/(%)=0的根，则有/(0)=0,而/(0)=2,所以%=0不是念)=0的根，故选项(4)正确.
对于选项(5),显然，当x=0,1,2时屁)的最后一项％(%-1)(%-2)g(x)的函数值均为0,所以/(0)=2,/(1)=0,/(2)=6,通过(0, /(0)),(1,/(1)),(2,/(2))三点的最低次插值多项式为2-2%+4x(x-1),即二次多项式4/-6x+2,故选项(5)正确.
点评:本题通过给出一多项式函数，判断其因式、余数、根和通过不在同一直线上三点的最低次插值多项式•部分选项可以根据余数定理和因式定理算出，也可以通过观察，比较各个部分是否含有共同的因式等等，本题运算量不大，考查了考生的观察能力.
3.2多项式函数与其他知识结合
多项式函数是简单的连续函数，它是平滑的，它的导函数也必定是多项式函数，利用微积分基本定理可以求得多项式函数在某闭区间的定积分•台湾地区高考试题通常将多项式函数与数列、极限、导数和微积分等综合起来，重点考查考生对数学概念本质的理解、掌握和运用的能力，能够根据多项式读取某些关键信息，如在关于原点对称的积分区间上，奇函数的定积分值为0等等,可以大大简化计算.
试题3设卩仏)为一实系数多项式，其各项系数均大于或等于0.在坐标平面上，已知对所有的t三1,函数y=]9(x),y=~1~x2的图像与直线x=l,x^t所围成的有界区域的面积为r+r+r+1+c(其中c为常数).
(1)试说明p&)>-i-x2对所有的％M i均成立；
(2)设t>1，试求J(-1-%2)血；
(3)试求C；
(4)试求p(x).
简析:(1)因为P&)的各项系数均大于或等于0,所以p仏)M0(%M0),而y=-1-x2在无论％取何值时』<0,所以p(x)>-1-x2对所有的尤M1均成立.
(2)[(一1_/)山=(-x-|[=
?4
-----t----・
33
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(3)设p(%)=ax2,+bx2+ex+d.因为
J[p(x)-(-1-%2)]dx=『+『+/+£+c,而
J[p(%)+1+x2]d%=
J[ax3+(b+1)%2+ex+(d+1)]dx,
所以，有
—x+"+打3+_L x2+(/+])%]「
4327J I i =t4 +t3+t2+t+C,
即
a4b+13c2./]八
—t H---------1H-----1+(d+1)i—
432
=r+户+12+1+c.
根据多项式恒等可得，Q二4,b二2,C二2,d二0,因此C=-中--y-(J+1)=-4.
(4)p(x)=4x3+2x2+2x.
点评:本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，特别是原函数是四次多项式时，其导函数为三次多项式，故可设P&)= a/+bx2+ex+d.通过多项式恒等，利用其对应项系数相等可以求得C值，本题的解决需要考生具有一定的分析问题和运算求解的能力.
3.3多项式函数图像的运用
台湾地区高考试题中非常注重利用多项式函数的图像来解决问题，考查考生能否根据题干信息大致勾勒出函数图像的大致形状，再根据图像的形状和性质解决问题，考查考生灵活运用知识的能力，特别是根据函数图像判断零点、极值点(驻点)、拐点(反曲点)和函数图像的凹凸性.
试题4已知一个n次实系数多项式/(”)满足下列性质：
当
*< 0时，广(％)<0且/"(%)>0；
当0<X<1时<0且厂(％)<0；
当1<%<4时<0且f'\x)>0；
当％>4时>0且>0.
请选出正确的选项.
(1)f(2)>f⑶;
(2)_/(%)在％=4时有最小值；
(3)/(%)的图像只有一个反曲点；
(4)"可能为3；
(5)/(x)的最高次项系数必为正.
解析:本题是一道与多项式有关的题，根据多项式的有关性质刻画函数y-/(x)的大致图像，由函数的一阶导数和二阶导数的正、负表示函数图像的性质可知：当/'(%)<0时，表示函数的图像在所给的区间内单调递减;当广(％)>0时，表示函数y=/(%)的图像在所给的区间内单调递增•当r(x)>0时，表示y=/(%)的图像是下凸的；当/"(X)<0时,表示y=/(%)的图像是上凸的.
根据多项式/5)满足的性质，绘制如图1
对于选项(1)，当1<%<4时,y=/"(x)> 0可得为增函数，所以f(2)<f(3),故选项(1)错误.
对于选项(2),根据图像可知，/(%)在x= 4处取最小值，故选项(2)正确.
对于选项(3),/(%)的图像有两个反曲点，分别为”=0,1,故选项(3)错误.
对于选项(4),因为任意一个三次函数的反曲点只有1个，所以，"不可能为3,故(4)错误.
对于选项(5),/(%)的最高次项系数必为正•若为负，则当X—>+8时,/(%)T■-8,与%>4时/"(E单调递增矛盾，故最高次项系数不可能为负，所以选项(5)错误.
点评:本题的关键是正确理解函数的一阶导数和二阶导数的几何意义,能够根据在某个区间的导数(一阶、二阶)的正负大致勾勒出多
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项式函数的图像,再根据图像判断选项正误.选项（5）考查了考生的分析问题的能力.
4几点思考
本文主要讨论了台湾地区多项式函数在高考中的考点，没有收集关于三次多项式的试题进行分析和点评，有关三次函数问题将另文说明•纵观上述4道题的解析可知，台湾高考试题有如下几个方面的特点：
偏重对基本概念和知识的考查.比如对多项式函数的积分,考查微积分基本定理的概念和本质，同时考查多项式函数的一阶、二阶导数的正负对图像的单调性和凹凸性的影响等等•重点考查多项式函数中的相关概念、定理的本质意义•值得注意的是，台湾地区高考中的有些名词与我国大陆地区不同，例如我们将二阶导数为0的点称为函数图像的拐点，而台湾地区则称为“反曲点”.
重点考查多项式函数中重要的定理的掌握和运用，比如对多项式除法、代数基本定理、因式定理、余数定理、虚根成对定理和最低插值多项式的考查•试题均可以借助上述几个定理，并加以简单的运算和推理，即可以得出正确的选项.
/r**//"w,（上接第6-4页）
的基础上,通过演绎推理，形成了学科体系.向量及其运算体系诞生了一门新的分支学科—
—向量几何,它为立体几何的研究带来代数方法.
（2）品读项武义先生对向量几何的评价
向量代数乃是空间结构的全面而且美妙的代数，而空间的基本性质和基本定理的运用则转化为其运算律的系统运用•这就是学习向量几何,并用以探索大自然所要达到的境界！
关注综合知识的考查，重点考查能力.有些试题将不同的知识与多项式函数进行整合,比如数列、极限、微积分、不等式等•综合考查考生将不同知识之间互相嫁接、互相转化的能力，考查考生运用数学思想和数学方法分析、解决问题的能力以及用数学语言表达的能力.
突出通性通法.台湾地区教材，视多项式函数图像的了解和勾勒为一重要知识内容.台湾地区的试题则是根据导数以及一些相关给定信息勾勒岀大致图像,然后根据图像讨论问题,且这种解题的方法可以推广到更高次的函数，绘制其函数图像.实际上，在解题过程中，如果不需要计算具体的零点、拐点、驻点的值,而只需要通过勾勒简单图像时,对多项式进行因式分解和分析就显得特别重要.
函数是中学阶段的一个重要内容,多项式函数是一类重要的函数,可以在我们的教科书中增加多项式的带余除法、综合除法、余数定理、因式定理、多项式的插值公式等等•原因有二，一是余式、因式定理的证明本来就非常简单,根据综合除法即可证明;二是可以更加全面、深刻地理解和掌握多项式函数知识，为进一步的学习做好铺垫，做好高中到大学的衔接.
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设计说明：
关注学科视角——提升学科认识层次：
关注学科发展的视角，给立体几何引进向量及其运算体系•本段设计从向量法到向量几何，引导学生对向量几何学产生初步认识，从学科角度提升认识层次.
关注文化品悟一一提高数学鉴赏能力：
通过品读项武义先生对向量几何的评价,提升对向量代数的认识,提高数学鉴赏能力.
3.8作业（略）.。