2019届二轮选修4专题卷

选修作业专练
一、填空题（本大题共2小题，共20分）
1.已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．
2.在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方
程为)(4R ∈=
ρπ
θ，它与曲线2cos :2sin x m C y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 ；
二、解答题（本大题共8小题，共80分） 3.【题目】
选修4-5：不等式选讲 已知函数a a x x f +-=2)(．
（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
4.选修4—5：不等式选讲
已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14
|21||1|x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围．
5.选修4-5：不等式选讲
设函数.|4||12|)(--+=x x x f
（1） 解不等式2)(>x f ； （2）求函数)(x f y =的最小值。

6.选修4－5：不等式选讲
设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a .
(1)当a ＝1时，解这个不等式；
(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R.
7.【几何证明选讲】
（10分）如图，EA 与圆O 相切于点A ，D 是EA 的中点，过点D 引圆O 的割线，与圆O 相交于点B ，C ，连结EC ． 求证：∠DEB=∠DCE．
8.选修4-1几何证明选讲
已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；
（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．
9.选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.
（1）将曲线1C
、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.
10.【坐标系与参数方程选讲】
己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为
（α为参数）．以原点O 为极点，
以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρ（sin θ﹣cos θ）=1，直线
l 与圆M 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．
数答案解析
一、填空题 1.【解析】
试题分析： 22,2224631034,22x y y x
z x y x y x y y x +-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩
由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，
故,,10
15
z d -=
=，所以15z =，故该目标函数的最大值为15. 考点：1.简单的线性规划； 2.22m >或22m <-
二、解答题
3.【答案】
解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，626a x a a ∴-≤-≤-，即33a x -≤≤
32,1a a ∴-=-∴=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+
令()()()n f n f n ϕ=+-，则124,211()212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
()n ϕ∴的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞
4.解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴
1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a
b
≥9 ，故
1a +4
b
的最小值为9，……5分 因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4
b
≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9，
∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜
1
2
时，-3x ≤9， ∴ -1＜x ＜12，当 x ≥12时，x-2≤9， ∴ 1
2
≤x ≤11，∴ -7≤x ≤11 …… 10分
5.解析：（1）令15,2121433,425,4x x y x x x x x x ⎧
--≤-⎪⎪
⎪
=+--=--<<⎨⎪
+≥⎪⎪⎩
，作出此函数图像，它与直线y=2的交点为
（-7,2）和5,23⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以不等式2)(>x f 的解集为()5,7,3⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
.
(2)由函数15,2121433,425,4x x y x x x x x x ⎧
--≤-⎪⎪
⎪
=+--=--<<⎨⎪
+≥⎪⎪⎩
的图像可知
当12x =-时，函数.|4||12|)(--+=x x x f 取得最小值9
4
-.
6.【答案】(1) {x |x ＜－3或x ＞7} ；(2) a ＜1
解析：(1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|＞10，其解集为{x |x ＜－3或x ＞7}． (2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a ，当且仅当a ＜1时，对任何x ∈R 都成立．. 【思路点拨】解绝对值不等式可利用零点分段讨论去绝对值解不等式，遇到不等式恒成立问题，可转化为函数的最值问题进行解答. 7.【考点】： 与圆有关的比例线段．
【专题】： 立体几何．
【分析】： 由切割线定理：DA 2=DB•DC，从则DE 2
=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．
【解析】： 证明：∵EA 与⊙O 相切于点A ．
∴由切割线定理：DA 2
=DB•DC． ∵D 是EA 的中点，
∴DA=DE．∴DE 2
=DB•DC．…（5分）
∴
．∵∠EDB=∠CDE，
∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分） 【点评】： 本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
8.解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆
∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,
ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠… ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,
所以BAD ∆与FAB ∆相似,
AB AD
AF AB
∴
=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅
根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分
9.解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=，………………2分
∵曲线2C
的直角坐标方程为：22()12y
+=，
∴曲线2C
的参数方程为：()2sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数.………………5分
(Ⅱ) 设点P
的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
d ==7分
∴当5in()1,36s ππθθ-==时，点3
(,1)2P -
，此时max d ==分
10.【考点】： 简单曲线的极坐标方程．
【专题】： 坐标系和参数方程．
【分析】： 利用sin 2α+cos 2
α=1可得圆O 的普通方程，把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可得圆心O （0，0）到直线l 的距离d ，再利用弦长公式可得
|AB|=
．
【解析】： 解：由圆O 的参数方程
（α为参数），利用sin 2
α+cos 2
α=1可得圆O ：
x 2
+y 2
=4，
又直线l 的极坐标方程为ρ（sin θ﹣cos θ）=1可得直线l ：x ﹣y+1=0， 圆心O （0，0）到直线l 的距离
，
弦长．
【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．。