河南省开封市立洋外国语学校2017届高三数学上学期第一次月考试题 理

立洋高中高三月考数学试题（理）
一、选择题：共12题每题5分共60分
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2．已知i是虚数单位，若复数a i
i
＋
的实部与虚部互为相反数，则a＝
A.－1
B.－2
C.1
D.2
3．等差数列{}
n
a
的n前项和为n
S
,其中10
0,
S=
15
25,
S=
则n
S
取得最小值时n=
A.4
B.5
C.6
D.7
4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A.8
B.9
C.10
D.11
5．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
6．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若；
②若；
③如果相交； ④若
.
其中正确的命题是
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
7．设x ，y 满足约束条件
0,0,
23(0),x x y a a ≥⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩
y ＋＞若目标函数z ＝11y x ＋＋的最小值为1
2，则a 的
值为 A.1 B.2 C.3 D.4
8．正三棱锥ABCD 的所有棱长均相等，从此三棱锥6条棱的中点中任意选3个点连成 三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A.0
B.13
C.12
D.1
9．对于下列命题：①在ΔABC 中，若cos2A=cos2B, 则ΔABC 为等腰三角形；
②ΔABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若
2,5,6a b A π
===
，则ΔABC 有两组解；③
设
201420142014sin
,cos ,tan ,333a b c πππ
=== 则;a b c <<
④将函数
2sin(3)
6y x π
=+的图象向左平移个单位，得到函数y =2cos(3x+)的图象.其中正确命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
10．如图，E ，F 是椭圆G ：2
21
5x ＋y ＝的左右焦点，P 为椭圆上一动点，连接PE ，PF ，在
△EPF 中，∠EPF 的平分线PN 交x 轴于N 点，FM ⊥PN 于M 点，则OM 的取值范围是
A.（0
） B.[0
] C.[0，2） D.[0，2]
11．已知
为
Δ
的三个内角,向量满足,且,若最大时,动点使得
成
等差数列,则的最大值是
A. B. C. D.
12．已知函数f(x)满足满足1()2(),f x f x =当[]1,3x ∈时,()=ln f x x ；若在区间1,33⎡⎤⎢
⎥⎣⎦内，
函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是
A.1(0,
)2e B.1(0,)e C.ln 31[,)32e D.ln 31
[,)3e
二、填空题：共4题每题5分共20分
13．若（2x ﹣3）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5
，则a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5等于 . 14．已知函数f （x ）=e sinx+cosx
﹣sin2x （x ∈R ），则f （x ）的最大值与最小值的差是 .
15．已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c.若a 2
-b 2
=bc,sin C=2sin B,则
A= .
16．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形,该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球,则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为 .
三、解答题：共8题每题12分共96分
17．19．设函数
.cos 2)342cos()(2x x x f +-
=π
（1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；
（2）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),2
2f B C b c +=+=，求a 的最
小值。

18某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务
所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务 所需的时间(t )，结果如下： 类别 A 类 B 类 C 类 D 类 顾客数(人) 20 30 40 10 时间t (分钟／人) 2 3 4 6
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． (１)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
(２)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数
学期望．
19．如图所示，在多面体ABCDE 中，面ABED 为梯形且∠BAD ＝∠EDA ＝2π
，F 为CE 的中点，AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝AF ＝2，AB ＝1. （Ⅰ）求证：DF ⊥BC ；
（Ⅱ）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.
20．已知曲线的方程是
,且曲线过点
两
点,为坐标原点. (1)求曲线的方程;
(2)设是曲线上两点,且
,求证:直线恒与一个定圆相切.
21．已知函数)ln ()(2
x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数.
(Ⅰ)求函数)(x f y =的图象在点()()
1 , 1f 处的切线方程；
(Ⅱ)若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围；
(Ⅲ)证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使
'()(1)
()1f e f f e ξ-=
-.
22．已知AB 为半圆O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点C 作半圆的切线CD,过点A 作AD ⊥
CD 于D,交圆于点E,DE=1.
(1)求证:AC 平分∠BAD; (2)求BC 的长.
23．已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
(t 为参数),在极坐标系(与直
角坐标系xOy取相同的长度单位,且以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.
24．（选修4-5：不等式选讲）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m.
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
参考答案 1.B
【解析】本题考查集合的运算．
=
，
，
则
．故本题正确答案是B.
【备注】无
2.C
【解析】本题考查复数的运算与性质.1a i
ai i =-＋，因为实部1与虚部-a 互为相反数，所
以1a =.选C.
【备注】无
3.B
【解析】本题考查等差数列的通项与求和。

由题意得
1101010()0,2a a S +=
=1151515()25,2a a S +==即1
3,a =-2,3d =所以211
3n n a -=；即560,0,a a <>所以n S 取得最小值时n=5。

选B 。

【备注】无
4.D
【解析】本题考查流程图.最初1i =，n=5；循环1次：n=16，3i =；循环2次：n=12，5i =；循环3次：n=8，7i =；循环4次：n=4，9i =；循环5次：n=0，11i =，满足条件，输出11.选D. 【备注】无 5.D
【解析】本题考查三视图．
由图可得该几何体为正三棱柱加一个球，
故其体积为
，
故本题正确答案是D. 【备注】无 6.D
【解析】本题考查立体几何中线面关系．
①中由面面判定定理可得①正确，②若则不成立．③中可能有．④中由线面平行
的判断定理得，直线平行于平面的一条直线，则该直线平行于这个平面，故④正确．故本题正确答案是D. 【备注】无 7.B
【解析】本题考查线性规划问题.目标函数z ＝1
1y x ＋＋的几何意义为：动点N (,)x y 与点
M(1,1)--的直线的斜率,可得
12MN K =
.作出可行域，如图所示.当N 在B (,0)
2a
点时，
min 11
212z a
=
=0＋＋，解得2a =.选B.
【备注】无
8.D
【解析】本题考查等可能事件的概率.从三棱锥6条棱的中点中任意选3个点能组成两类三角形；一类是等边三角形，另一类是等腰三角形.若任意选3个点连成等边三角形，则剩下的3个点也是等边三角形，且它们全等；若任意选3个点连成等腰三角形，则剩下的3个点也是等腰三角形，且它们全等；这是必然事件，其概率为1.选D. 【备注】无 9.D
【解析】本题考查的知识点是三角函数的诱导公式、三角函数的图像和性质、正余弦定理。

在ΔABC 中，若cos2A=cos2B,则A=B, 所以ΔABC 为等腰三角形。

所以①正确；
在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6a b A π
===
，sinB
1
4526sin
5>=⨯π
；
所以无解。

所以②错误。

设
201420142014sin
,cos ,tan ,
333a b c πππ
=== 则3,21,23=-=-=c b a ，所以
;
a b c
<<正确；
函数
2sin(3)
6
y x
π
=+
的图象向左平移个单位，
)
6
3
cos(
6
6
3
sin
2
π
π
π
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=x
x
y
从而得到函数
y=2cos(3x+)的图象.所以选D
【备注】无
10.C
【解析】本题考查椭圆的性质.如图，延长FM交PE于A点，连接AN .
由题意知：M为AF的中点，所以AE=2OM，PA=PF；在△EPF中，AE PE PF EF
=-<
即
AE<EF=4，所以2OM<4，
即OM<2.所以OM的取值范围是[0,2）.选C.
【备注】无
11.A
【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与模、两角和与差的公式与三角函数、等差数列、椭圆的定义与方程.因为,且,所以
=,所以
1=,当A最大时,B=C,,则
,因为成等差数列,,所以点P的
轨迹是以B、C为焦点、为长轴的椭圆,因为比值与单位长度的选择无关,所以设
,AB=AC=,O为BC的中点,则OA=1,建立直角坐标系,点B、C在x轴上,则椭圆方程为,易求得PA的最大值为,所以的最大值是,故选A.
【备注】无
12.D
【解析】本题考查函数与方程，函数的图像与性质。

在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内，函数()()g x f x ax =-，
有三个不同的零点：①a ＞0若x ∈[1，3]时，()=ln f x x ，可得()g x =lnx-ax(x ＞0)，
1`()=
g x a x -；若g′(x)＜0，可得
1x a >，()g x 为减函数；若g′(x)＞0，可得1
x a <，()g x 为增函数；此时()f x 必须在[1,3]上有两个交点，所以(1)0(3)01
()0g g g a ⎧
⎪≤⎪
≤⎨⎪⎪>⎩，解得ln 313a e ≤<。

设133x <<，可得1＜1x ＜3，∴f(x)=2f(1x )=2ln 1
x ；此时()g x =-2lnx-ax ，
2`()=-
ax g x x +，若g′(x)＞0，可得x ＜-1
a ＜0，()g x 为增函数；若g′(x)＜0，可得x
＞-1a ，()g x 为减函数，在[13，1]上有一个交点，解得0＜a≤6ln3；综上可得ln 31
3
a e ≤<
；②若a ≤0，对于x ∈[1，3]时，g(x)=lnx-ax ＞0，没有零点，不满足题意。

综上ln 313
a e ≤<。

选D 。

【备注】无 13.10
【解析】本题考查二项式定理.对等式两边同时求导可得：10（2x ﹣3）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2
+4a 4x 3+5a 5x 4
，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=10. 【备注】无
14.e -
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.令
sin cos t x x =+
)4x π
+⎡∈⎣，可得2sin 21x t =-；则原函数可化为：21
f(t)e (1)2t t =--，`f (t)e t t =->0
在t ⎡∈⎣上恒成立；所以f(t)
在
t ⎡∈⎣
上单增，
max
f (t)=
12=，min f (t)=1f(e 2=；所以
max f (t)-min f (t)=e 所以f （x ）的最大值与最小值的差是e .
【备注】无 15.
【解析】由sin C=2sin B 及正弦定理得c=2
b,代入a 2
-b 2
=
bc 得a 2=7b 2
,∴cos
A=
,又0<A<π,∴A=.
【备注】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,考查考生基本的运算能力.首先利用正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系,再结合余弦定理即可求得A. 16.
∶1
【解析】由题意知,三棱柱的内切球的半径r 等于底面内切圆的半径,即r=×2=1,此时
三棱柱的高为2r=2,底面外接圆的半径为2=2,所以三棱柱的外接球的半径
R=
.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为
∶1.
【备注】本题主要考查三棱柱的结构特征及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和基本运算能力.首先明确三棱柱的几何特征,再根据几何体内切球的特征求内切球的半径,然后根据球的截面的性质确定三棱柱外接球的半径,从而可得结果. 17.(Ⅰ)(i)由已知及频率分布直方图中的信息知,甲型号节排器中的一级品的概率为,二级品的概率为,则用分层抽样的方法抽取的10件甲型号节排器中有6件一级品,4件二级品,所以从这10件节排器中随机抽取3件,至少有2件一级品的概率P=1-.
(ii)由已知及频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的概率为,二级品的概率为,三级品的概率为,若从乙型号节排器中随机抽取3件,则二级品数ξ所有可能的取值为0,1,2,3, 且ξ~B(3,),
所以P(ξ=0)=()3×()0
=,P(ξ=1)=
()2
×()1
=,
P(ξ=2)=
()1
×()2
=,P(ξ=3)=()0
×()3=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
所以数学期望E ξ=0×+1×+2×+3×(或E ξ=3×
). (Ⅱ)由题意知,甲型号节排器的利润率的平均值E 甲=a+×5a 2
=2a 2
+a,
乙型号节排器的利润率的平均值E 乙=a+×5a 2
+a 2
=a 2
+a,
E 甲-E 乙=a 2
-a=a(a-),又<a<,因而当<a<时,投资乙型号节排器的平均利润率较大;当<a<时,投资甲型号节排器的平均利润率较大;当a=时,投资两种型号节排器的平均利润率相等.
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望,频率分布直方图,分层抽样,古典概型、对立事件概率的求解等知识,考查考生基本的运算能力和逻辑推理能力.(Ⅰ)(i)先根据频率分布直方图分析相应的数据,从而确定抽取的样本中各等级节排器的数量,然后利用古典概型的概率计算公式及对立事件的概率计算公式求解所求事件的概率;(ii)首先确定二级品数ξ所有可能的取值及其相应的概率,列出分布列,并求数学期望E ξ.(Ⅱ)分别求出甲、乙两型号节排器的利润率的平均值,然后进行比较即可.
【备注】高考对离散型随机变量的分布列及数学期望的考查多与现实生活相结合,以频率分布直方图(表)、抽样等为背景成为高考命题的热点,解决此类问题的关键在于准确根据统计图(表)理清相关的数据,进而求解所求事件的概率.如该题中应先根据频率分布直方图确定各类数据的比例,然后根据分层抽样的特征求出样本中各类数据的数量,才能准确求解相关的概率.离散型随机变量分布列的求解,重在其取值的确定,这是明确事件的性质及其求解公式的主要依据,概率求解过程中应注意灵活利用互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等将事件转化为简单事件求解. 18.（Ⅰ）如图，取CD 的中点G ，连接,,AG GF BF ，易得3=
AG ，
又,G F 分别为线段,CD CE 的中点，
121
==
∴DE FG ，又2AF =，
222AG FG AF +=∴，AG ∴⊥GF ，又AG ⊥CD ，而G CD GF = ，
AG ∴⊥平面CDE
AB ED ∥且
12AB DE =
，即AB FG ∥且AB FG =，
∴四边形ABFG 为平行四边形，AG ∴∥BF ，BF ∴⊥平面CDE ，
BF ∴⊥DF ，又DE CD = ，F 为CE 的中点，
DF ∴⊥CE ，而F CE BF = ，DF ∴⊥平面BCE ，
又BC ⊂平面,BCE ∴DF BC ⊥
（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，
AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BF
FM F =，∴平面ACD ∥平面
BFM ，
∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角， 由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥， ∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，
易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，
∴CDE △
为等腰直角三角形，∴
cos cos EFM ECD ∠=∠=
，
∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22
【解析】本题考查线面垂直，空间角问题. 【备注】无
19.（1）)2cos 1()3
4sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-
=πππ
1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=
π
x x x
所以)(x f 的最大值为2。

要使)(x f 取最大值，则
)
(23
2,1)3
2cos(Z k k x x ∈=+
=+
ππ
π
故x 的集合为
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ
（2）由题意，
23
1]3
)(2cos[)(=
++
+=+π
C B C B f ，即
.
21)322cos(=+-ππA 化简得
21
)3
2cos(=
-
π
A ，
()
0A π∈Q ，，
)35,
3(3
2π
ππ
-
∈-
∴A ，只有
33
2π
π
=
-
A ，
.3π
=
A
在ABC ∆中，由余弦定理，
bc
c b bc c b a 3)(3
cos
22222-+=-+=π
由2=+c b 知
1)2(
2
=+≤c b bc ，即12≥a ，
当1==c b 时，a 取最小值.1
【解析】本题考查三角函数的性质与求值，解三角形。

【备注】无 20.(1)由题可得:
解得
所以曲线方程为.
(2)由题得:
原点到直线
的距离
=
=,
由得:
=,
所以
,
=
所以直线恒与定圆相切.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系、两点间的距离公式,考查了计算能力.(1)将
代入曲线方程,求出m 、n 即可;(2)由题
得:原点到直线的距离
,
由知
,化简距离,求出结果,即可得到结论.
【备注】
21.(1)函数的定义域为{}0|>x x ,)
1
1(2)(/x a x x f ++=，
a f +=1)1(，a f 22)1(/+=
所以函数)(x f y =的图象在点()()
1 , 1f 处的切线方程(1)(22)(1)y a a x -+=+-；
即(1)(21)y a x =+-。

(2)①当0a =时，2()f x x =，因为0x >，所以
2
(,)x x 在第一象限； 所以
)ln ()(2
x x a x x f ++=>0。

②当0a >时，由对数函数的性质可得：
2
()(ln )0f x x a x x =++>不是恒成立的； ③当0a <时，由)ln ()(2
x x a x x f ++=>0可得2111
(ln )
x a x x <-+；
令)ln 11()(2x x x x g +-=，则x
x x x x g ln 2
1)(33/+-=
x )1 , 0(
1
) , 1(∞+
)(/x g
－ 0
+
)(x g
↘
极小值
↗
1)1()(-=≥g x g ，从而1
)ln 1
1(12-<+-<x x x a ，01<<-a
综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a ；
(3)计算知
111)1()(-+
++=--e a
a e e f e f
设函数
1)1(21)1()()()(/--
++-=---
=e a
x a e x e f e f x f x g
1)1()2(11)1(2
----=
--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2
)1(->e e a 或2)1(2
--<e e a 时，
222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，
因为)(x g y =的图像是一条连续不断的曲线，所以存在(1,)e ξ∈，使()0g ξ=成立；
即存在) , 1(e ∈ξ，使
'()(1)
()1f e f f e ξ-=
-成立。

当≤≤--a e e 2)1(2
2
)1(-e e 时，(1)0g ≥，(e)0g ≥，而且(1)g 、(e)g 中至少一个为正；
由基本不等式可得11
22)(2--+-
≥e e a a x g (当且仅当(1,)x e =时等号成立)。

所以)(x g 有最小值1)
1(2)1(2112222----+-=
--+-=e e a e a e e a a m ，
且0
1)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，
此时存在) , 1(e ∈ξ(
)2
, 1(a ∈ξ或) , 2(e a
∈ξ)，使0)(=ξg 。

综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使
1)
1()()(/--=
e f e f f ξ
【解析】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数中的应用。

【备注】无 22.(1)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA, 因为CD 为半圆的切线,所以OC ⊥CD,
又因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD,
所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC 平分∠BAD. (2)连接CE,由∠OAC=∠CAD 知BC=CE. 因为A 、B 、C 、E 四点共圆,所以∠B=∠CED, 所以cos ∠B=cos ∠CED, 所以
=
,所以BC=2.
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质、圆的性质与应用、四点共圆的性质等知识,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力. 【备注】无 23.(1)直线l 的普通方程为
x-y+3
=0.
曲线C 的直角坐标方程为(x-2)2
+y 2
=1(或x 2
+y 2
-4x+3=0).
(2)曲线C 的标准方程为(x-2)2+y 2
=1,圆心C(2,0),半径为1,
所以圆心C(2,0)到直线l 的距离为d==
,
所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[
-1,
+1].
【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,点到直线
的距离公式等知识,考查考生的运算求解能力.
【备注】名师点拨:在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致. 24.（Ⅰ）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}.x x <<
（Ⅱ）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ， 因x y lg =在),0(∞+上为增函数，则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ，
故只需1>m 即可，即1m >时，m x f <)(恒成立. 【解析】本题考查绝对值不等式. 【备注】无。