南宁市七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库

南宁市七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库
一、选择题
1．16的平方根是（）
A ．4
B ．4±
C ．2
D ．2±
2．下列生活现象中，属于平移的是（ ）．
A ．钟摆的摆动
B ．拉开抽屉
C ．足球在草地上滚动
D ．投影片的文字经投影转换到屏幕上 3．在平面直角坐标系中，点（﹣1，a +1）一定在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．经过一个已知点能画一条且只能画一条直线与已知直线平行
B ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离
C ．在同一平面内，一条直线的垂线可以画无数条
D ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
5．如图，//,AB CD ABK ∠的平分线BE 的反向延长线和DCK ∠的平分线CF 的反向延长
线相交于点 24H K H ∠-∠=︒，
，则K ∠=（ ）
A ．76︒
B ．78︒
C ．80︒
D ．82︒ 6．下列各式中,正确的是( )
A ．16=±4
B ．±16=4
C ．3273-=-
D ．2(4)4-=-
7．如图，//a b ，160∠=︒，则2∠的大小是（ ）
A ．60︒
B ．80︒
C ．100︒
D ．120︒
8．如图，已知A 1(1，0)，A 2(1，1)，A 3(﹣1，1)，A 4(﹣1，﹣1)，A 5(2，﹣1)……则点A 2021的
坐标为（ ）
A ．(505，﹣504)
B ．(506，﹣505)
C ．(505，﹣505)
D ．(﹣506，506)
二、填空题
9．比较大小，请在横线上填“＞”或“＜”或“＝”9________327.
10．若过点()()3,7,5M a N --、的直线与x 轴平行，则点M 关于y 轴的对称点的坐标是_________．
11．已知100AOB ∠=︒，射线OC 在同一平面内绕点O 旋转，射线,OE OF 分别是AOC ∠和COB ∠的角平分线．则EOF ∠的度数为______________．
12．如图，直线//AB CD ，若30ABE ∠=︒，150BEC ∠=︒，ECD ∠=______．
13．如图，将长方形纸片沿CD 折叠，CF 交AD 于点E ，得到图1，再将纸片沿CD 折叠．得到图2，若36AEC ∠=︒，则图2中的CDG ∠为_______
14．对于正数x 规定1()1f x x
=+，例如：11115
(3),()11345615f f ====
++，则f (2020)＋f
(2019)＋……＋f (2)＋f (1)＋1111
()()(
)()2320192020
f f f f ++⋯++＝___________ 15．已知点A 在x 轴上方，y 轴左侧，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________．
16．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边
“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是______．
三、解答题
17．计算： （1）23272-； （2）432+-． 18．求下列各式中的x 值： (1)169x 2＝144； (2)(x －2)2－36＝0.
19．如图，已知3A ∠=∠，DE BC ⊥，AB BC ⊥，求证：DE 平分CDB ∠．
证明：DE BC ⊥，AB BC ⊥ （已知）
90DEC ABC ∴∠=∠=︒（垂直的定义）
//DE AB ∴（ ） 23∴∠=∠（ ）
1∠= （两直线平行，同位角相等） 又3A ∠=∠（已知）
∴ （ ）
DE ∴平分CDB ∠（角平分线的定义）
20．如图，三角形ABC 在平面直角坐标系中． （1）请写出三角形ABC 各点的坐标； （2）求出三角形ABC 的面积；
（3）若把三角形ABC 向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到三角形A B C '''，在图中画出平移后三角形A B C '''．
21．阅读理解． ∵4＜5＜9，即2＜5＜3． ∴1＜5﹣1＜2
∴5﹣1的整数部分为1， ∴
5﹣1的小数部分为5﹣2．
解决问题：已知a 是17﹣3的整数部分，b 是17﹣3的小数部分． （1）求a ，b 的值；
（2）求（﹣a ）3+（b +4）2的平方根，提示：（17）2＝17．
二十二、解答题
22．小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片,沿着边的方向裁处一块面积为300cm 2的长方形纸片.
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能,请帮小丽设计一种裁剪方案,若不能，请简要说明理由.
二十三、解答题
23．综合与探究 （问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF ∠、PBN ∠和APB ∠之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、
D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，
①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，β∠之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，β∠之间的数量关系．
24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转． （1）①如图1，∠DPC ＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°
/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°
/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以下两个结论：①CPD
BPN
∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
25．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中∠ONM ＝30°，∠OCD ＝45°．
（1）将图①中的三角板OMN 沿BA 的方向平移至图②的位置，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（2）将图①中的三角板OMN 绕点O 按逆时针方向旋转，使∠BON ＝30°，如图③，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（3）将图①中的三角板OMN 绕点O 按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．（直接写出结果） 26．在ABC 中，射线AG 平分BAC ∠交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交AB 于点E .
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ∠.
①若100BAC ︒∠=，30C ︒∠=，则AFD ∠=_____；若40B ︒∠=，则AFD ∠=_____； ②试探究AFD ∠与B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，BDE ∠的角平分线所在直线与射线AG 交于点F .试探究AFD ∠与B 之间的数量关系，并说明理由.
【参考答案】
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
16“一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根”即可进行解答． 【详解】 164=， ∵()2
24±=，
∴4的平方根是2±， 故选D ． 【点睛】
方根和算术平方根．
2．B
【分析】
根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】
A选项：为旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】
解析：B
【分析】
根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案．
【详解】
A选项：为旋转，故A错误；
C选项：滚动，故C错误；
D选项：缩放，投影，故D错误．
只有B选项为平移．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键．
3．B
【分析】
根据非负数的性质判断出点的纵坐标是正数，再根据各象限点的特点解答．
【详解】
，
∴＞0，
∴点（-1）一定在第二象限，
故选B．
【点睛】
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号并判断出点的纵坐标是负数是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．A
【分析】
分别利用平行线以及点到直线的距离以及垂线以及垂线段最短的定义分别分析得出即可． 【详解】
解：A 、在同一平面内，经过一点（点不在已知直线上）能画一条且只能画一条直线与已知直线平行，故选项错误，符合题意；
B 、从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，正确，不符合题意；
C 、一条直线的垂线可以画无数条，正确，不符合题意；
D 、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
故选：A ． 【点评】
此题主要考查了平行线、垂线以及垂线段和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键． 5．A 【分析】
分别过K 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABK ∠和DCK ∠分别表示出H ∠和K ∠，从而可找到H ∠和K ∠的关系，结合条件可求得K ∠． 【详解】
解：如图，分别过K 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，
//AB CD ，
//////AB CD RS MN ∴，
1
2RHB ABE ABK ∴∠=∠=∠，12SHC DCF DCK ∠=∠=∠，
180NKB ABK MKC DCK ∠+∠=∠+∠=︒，
1
180180()2BHC RHB SHC ABK DCK ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠，
180BKC NKB MKC ∠=︒-∠-∠
180ABK DCK =∠+∠-︒，
36021801802BKC BHC BHC ∴∠=︒-∠-︒=︒-∠，
又24BKC BHC ∠-∠=︒，
24BHC BKC ∴∠=∠-︒，
1802(24)BKC BKC ∴∠=︒-∠-︒， 76BKC ∴∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行
⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，
④//a b ，////⇒b c a c ． 6．C 【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得． 【详解】
A 、164=，此项错误；
B 、164±=±，此项错误；
C 、3273-=-，此项正确；
D 、2(4)164-==，此项错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键． 7．D 【分析】
根据同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】 解：如图：
因为//a b ，∠1=60°， 所以∠3=∠1=60°． 因为∠2+∠3=180°， 所以∠2=180°-60°=120°． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
8．B 【分析】
求在平面直角坐标系中的位置，经观察分析所有点，除外，其他所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4＝循环次数＋余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点在第
解析：B 【分析】
求2021A 在平面直角坐标系中的位置，经观察分析所有点，除1A 外，其他所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4＝循环次数＋余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点2021A 在第四象限，根据推导可得出结论； 【详解】 由题可知，
第一象限的点：2A ，6A …角标除以4余数为2； 第二象限的点：3A ，7A ，…角标除以4余数为3； 第三象限的点：4A ，8A ，…角标除以4余数为0； 第四象限的点：5A ，9A ，…角标除以4余数为1； 由上规律可知：20214=5051÷， ∴点2021A 在第四象限， 又∵5(2,1)A -，9(3,2)A -，
即横坐标为正数，数字为角标除以4的商加1；纵坐标为负数，数字为角标除以4的商， ∴2021(506,505)A -． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律，准确理解是解题的关键．
二、填空题 9．＝ 【分析】
先根据算数平方根和立方根的定义进行化简，再根据实数大小的比较方法进行比较即可 【详解】 解：∵， ∴=
故答案为：＝ 【点睛】
本题考查的是实数的大小比较以及算数平方根、立方根，熟练掌
解析：＝ 【分析】
先根据算数平方根和立方根的定义进行化简，再根据实数大小的比较方法进行比较即可 【详解】
解：∵ ∴
故答案为：＝ 【点睛】
本题考查的是实数的大小比较以及算数平方根、立方根，熟练掌握相关的知识是解答此题的关键．
10．【分析】
根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．
【详解】
解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5） ∴点M 关于y 轴的对
解析：()3,5-
【分析】
根据MN 与x 轴平行可以求得M 点坐标，进一步可以求得点M 关于y 轴的对称点的坐标．
【详解】
解：∵MN 与x 轴平行，∴两点纵坐标相同，∴a=-5，即M 为（-3，-5）
∴点M 关于y 轴的对称点的坐标为：（3，-5）
故答案为（3，-5）．
【点睛】
本题考查图形及图形变化的坐标表示，熟练掌握各种图形及图形变化的坐标特征是解题关键．
11．50°
【分析】
分射线OC 在∠AOB 的内部和射线OC 在∠AOB 的外部，分别画出图形，结合根据角平分线定义求解．
【详解】
解：若射线OC 在∠AOB 的内部，
∵OE ，OF 分别是∠AOC 和∠COB 的
解析：50°
【分析】
分射线OC 在∠AOB 的内部和射线OC 在∠AOB 的外部，分别画出图形，结合根据角平分线定义求解．
【详解】
解：若射线OC 在∠AOB 的内部，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=1
2∠AOC，∠FOC=1
2
∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=1
2∠AOC+1
2
∠BOC=50°；
若射线OC在∠AOB的外部，
①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图，
∠EOF=∠FOC-∠COE=1
2∠BOC-1
2
∠AOC=1
2
（∠BOC-∠AOC）=1
2
∠AOB=50°；
②射线OE，OF都在∠AOB外面，如图，
∠EOF=∠EOC+∠COF=1
2∠AOC+1
2
∠BOC=1
2
（∠AOC+∠BOC）=1
2
（360°-∠AOB）=130°；
综上：∠EOF的度数为50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【点睛】
本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．12．60°．
【分析】
过点E作EF∥AB，由平行线的性质，先求出∠CEF=120°，即可求出的度数．【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图：
∴，
∴，，
∵，
∴∠CEF=120°，
∴；
故答
解析：60°．
【分析】
过点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质，先求出∠CEF =120°，即可求出ECD ∠的度数．
【详解】
解：过点E 作EF ∥AB ，如图：
∴////EF AB CD ，
∴30BEF ABE ∠=∠=︒，180ECD CEF ∠+∠=︒，
∵150BEC ∠=︒，
∴∠CEF =120°，
∴18012060ECD ∠=︒-︒=︒；
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的作出辅助线，从而进行解题．
13．126°
【分析】
在图1中，求出∠BCE ，根据折叠的性质和外角的性质得到∠EDG ，在图2中结合折叠的性质，利用∠CDG=∠EDG-∠CDE 可得结果．
【详解】
解：在图1中，∠AEC=36°，
∵
解析：126°
【分析】
在图1中，求出∠BCE ，根据折叠的性质和外角的性质得到∠EDG ，在图2中结合折叠的性质，利用∠CDG =∠EDG -∠CDE 可得结果．
【详解】
解：在图1中，∠AEC =36°，
∵AD ∥BC ，
∴∠BCE =180°-∠AEC =144°，
由折叠可知：∠ECD =（180°-144°）÷2=18°，
∴∠CDE =∠AEC -∠ECD =18°，
∵∠DEF =∠AEC =36°，
∴∠EDG =180°-36°=144°，
在图2中，∠CDG =∠EDG -∠CDE =126°，
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠问题以及三角形的外角性质，利用三角形的外角性质，找出∠EDG 的度数是解题的关键．
14．5
【分析】
由已知可求，则可求．
【详解】
解：，
，
，
，
故答案为：2019.5
【点睛】
本题考查代数值求值，根据所给条件，探索出是解题的关键．
解析：5
【分析】 由已知可求1()()1f x f x
+=，则可求111(2020)(2019)(2)()()()120192019232020
f f f f f f ++⋯++++⋯+=⨯=． 【详解】 解：1()1f x x
=+， 111()1111x f x x x x x
∴===+++，
11()()111x f x f x x x
∴+=+=++， ∴1
11(2020)(2019)(2)()()()120192019232020
f f f f f f ++⋯++++⋯+=⨯=， 1111(2020)(2019)(2)(1)()()()(1)201920192019.523202011
++⋯+++++⋯+=+=+=+f f f f f f f f 故答案为：2019.5
【点睛】 本题考查代数值求值，根据所给条件，探索出1()()1f x f x
+=是解题的关键． 15．(－4，3) ．
【分析】
到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．
所以点A 的坐
解析：(－4，3) ．
【分析】
到x 轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y 轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数． 所以点A 的坐标为(－4，3)
故答案为：(－4，3) ．
【点睛】
本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
16．【分析】
先分别求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：点的坐标是，
点的坐标是，
点的坐标是，
点的坐标是，
归纳类推得：点的坐标是，其中为正整数，
因为
解析：(1010,0)
【分析】
先分别求出点2468,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：点2P 的坐标是2(1,0)P ，
点4P 的坐标是4(2,0)P ，
点6P 的坐标是6(3,0)P ，
点8P 的坐标是8(4,0)P ，
归纳类推得：点2n P 的坐标是2(,0)n P n ，其中n 为正整数，
因为202021010=⨯，
所以点2020P 的坐标是2020(1010,0)P ，
故答案为：(1010,0)．
【点睛】
本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
三、解答题
17．（1）-1；（2）．
【分析】
（1）按照立方根的定义与平方的含义分别计算，再求差即可；
（2）按照算术平方根的含义与绝对值的应用先化简，再合并即可．
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式．
【点
解析：（1）-1；（2）4．
【分析】
（1）按照立方根的定义与平方的含义分别计算，再求差即可；
（2）按照算术平方根的含义与绝对值的应用先化简，再合并即可．
【详解】
解：（1）原式341
=-=-．
（2）原式224
=+
【点睛】
本题考查的是立方根，乘方，算术平方根，绝对值的运算，实数的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
18．（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
解析：（1）x＝±12
13
；（2）x＝8或x＝－4.
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝144 169
，
解得：x＝±12 13
.
(2)(x－2)2－36＝0，
移项得：(x－2)2＝36，开方得：x-2=6或x-2=-6解得：x＝8或x＝－4.
故答案为（1）x＝±12
13
；（2）x＝8或x＝－4.
【点睛】
本题考查利用平方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根的概念.
19．见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC=∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线
解析：见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC=∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∠1=∠A（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换）．
∴DE平分∠CDB（角平分线的定义）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
20．（1），，；（2）7；（3）见解析
【分析】
（1）根据平面直角坐标系中点的位置，即可求解；
（2）三角形的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；
（3）根据点的平移规则，求得三点坐标
解析：（1）()2,2A --，()3,1B ，()0,2C ；（2）7；（3）见解析
【分析】
（1）根据平面直角坐标系中点的位置，即可求解；
（2）三角形ABC 的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据点的平移规则，求得A B C '''、、三点坐标，连接对应线段即可．
【详解】
解：（1）根据平面直角坐标系中点的位置，可得：
()2,2A --，()3,1B ，()0,2C ；
（2）三角形ABC 的面积11154245313222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 2047.5 1.520137=---=-=；
（3）三角形ABC 向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到三角形A B C '''
可得()3,0A '-，()2,3B '，()1,4C '-，连接''''''A B A C B C 、、，三角形A B C '''如图所示：
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中点的坐标以及平移，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标以及平移规则是解题的关键．
21．（1）a ＝1，b ＝﹣4；（2）±4．
【分析】
（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a ，b 的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【详解】
解：（1）∴，
∴4＜5，
∴1＜﹣3＜2，
∴
解析：（1）a ＝1，b 174；（2）±4．
【分析】
（1）根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【详解】
解：（1）∴<
∴4<5，
∴1﹣3＜2，
∴a＝1，b4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）
3+（b+4）2的平方根是：±4．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出45是解题关键．
二十二、解答题
22．（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴
解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴a2=400
又∵a＞0
∴a=20
又∵要裁出的长方形面积为300cm2
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：300÷20=15（cm）
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形
（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2
∴设长方形纸片的长为3x cm，则宽为2x cm
∴6x 2=300
∴x 2=50
又∵x＞0
∴x
=
∴长方形纸片的长为
又∵()2152=450＞202
即：152＞20
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片
二十三、解答题
23．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】
（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P 进行分类讨论
解析：（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；②图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠
【分析】
（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；
②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）作PQ ∥EF ，如图：
∵//EF MN ，
∴////EF MN PQ ，
∴180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°，
∵APB APQ BPQ ∠=∠+∠
∴360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；
（2）①CPD αβ∠=∠+∠；
理由如下：如图，
过P 作//PE AD 交CD 于E ，
∵//AD BC ，
∴////AD PE BC ，
∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，
∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；
②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：
∵PE ∥AD ∥BC ，
∴∠EPC=β，∠EPD =α，
∴CPD βα∠=∠-∠；
当P 在BO 之间时，如备用图2：
∵PE ∥AD ∥BC ，
∴∠EPD =α，∠CPE =β，
∴CPD αβ∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
24．（1）①90；②t 为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和
解析：（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，
∵PC ∥BD ，∠DBP ＝90°，
∴∠CPN ＝∠DBP ＝90°，
∵∠CPA ＝60°，
∴∠APN ＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC ∥BD 时，
∵//,PC BD ∠PBD ＝90°，
∴∠CPB ＝∠DBP ＝90°，
∵∠CPA ＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
AC DP，
//
90
∴∠=∠=︒，
DPA PAC
∠+∠=︒-︒+︒=︒，
1803090240
DPN DPA
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
AC BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．
当//
综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD在MN上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝30°﹣2t ，∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝180°﹣∠DPM ﹣∠CPA ﹣∠APN ＝90°﹣t ，
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD 在MN 下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝230,t -︒ ∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝360CPA APN DPB BPN ︒-∠-∠-∠-∠
()360603301802t t =︒-︒--︒-︒-
=90t ︒-
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒-
∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
25．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.
【分析】
（1）在△CEN 中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON ＝30°，∠N=30°可得MN ∥CB ，再根据两直线平行，同旁内角 解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.
【分析】
（1）在△CEN 中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON ＝30°，∠N =30°可得MN ∥CB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠CEN 的度数.
（3）画出图形，求出在MN ⊥CD 时的旋转角，再除以30°即得结果.
【详解】
解：（1）在△CEN 中，∠CEN =180°－∠ECN －∠CNE =180°－45°－30°=105°；
（2）∵∠BON ＝30°，∠N =30°，
∴∠BON ＝∠N ，
∴MN ∥CB .
∴∠OCD +∠CEN =180°，
∵∠OCD =45°
∴∠CEN =180°－45°=135°；
（3）如图，MN ⊥CD 时，旋转角为360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．
【点睛】
本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第（3）小题，解题的关键是画出适合题意的几何图形，弄清求旋转角的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角∠DOM 放在四边形DOMF 中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去∠DOM 的度数.
26．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
解析：（1）①115°，110°；②1902
AFD B ︒∠=+∠，证明见解析；（2）1902
AFD B ︒∠=-∠，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=12
∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD 的度数即可；已知
AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=1
2
∠BAC，
∠FDM=1
2
∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得
∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×140°=70°；再由三
角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
②∠AFD=90°+1
2
∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，
∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形的内角和定理可得
∠AFD=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB；由DE//AC，根据平行
线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，所以∠FDM
+∠FMD =1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形外角
的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴∠CAG=1
2
∠BAC=50°；
∵//
DE AC，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDM=1
2
∠EDG=15°；
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×140°=70°；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；故答案为115°，110°；
②∠AFD=90°+1
2
∠B，理由如下：
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）
=90°-1
2
∠B；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-1
2∠B）=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，理由如下：
如图，射线ED交AG于点M，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，
∴∠FDM +∠FMD =1
2∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.。