轴对称变换(有难度)(有答案)

轴对称变换
1、在ABC ∆中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在BC 上，如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.
2、如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥.
3、 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，BE 、CF 为ABC ∆的两条高，求证：AB CF AC BE +>+.
4、如图所示，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=，
求四边形ABCD 的面积.
4840
1430A
B C
D A
B C
D D C B A E
F C
B A
5、在凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠=,75CBD ∠=.如果15AB CD ==厘米，求四边形ABCD
的面积.
6、(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且
120AMD ∠=,证明：1
2
AB BC CD AD +
+≥.
7、 设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒
，求证：AB CD AD +≥.
8、 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC
∆的各个内角.
A
B C
D
M A B
C
D
M D
C
B A
45︒D C B A
9、如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD
之长.
10、如图所示，在ABC ∆中，2ACB ABC ∠=∠，P 为三角形内一点，AP AC =，PB PC =，求证：
3BAC BAP ∠=∠.
11、如图所示，在ABC ∆中，60B ∠=，100A ∠=，E 为AC 的中点，80DEC ∠=，D 是BC 边上的
点，1BC =，求ABC ∆的面积与CDE ∆的面积的两倍的和.
12、 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P
在ABD ∆内部，求证： APB APC ∠>∠.
C
B
A D
P
C B A
E
D C B A P D C B A
14、 在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，
求CBP ∠的度数.
15. 如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=，60APC ∠=，试求ACB
∠的度数.
P
C
B
A
C
P B A
参考答案 1题
【解法1】如图所示，以AD 为对称轴翻折ADC ∆到1ADC ∆的位置，
则1
C 在
BD 上，
1A C A C =，1C D CD =，
12AC D ACD B ∠=∠=∠.
在1ABC ∆中，根据外角定理可知11ABC BAC ∠=∠，
所以11AC BC =，
故1111AC CD AC C D BC C D BD +=+=+=.
【解法2】以AD 为对称轴翻折ABD ∆到AED ∆的位置，
则1
2
AED ABD ACB ∠=∠=∠，
从而CA CE =.
进而AC CD CE CD DE +=+=，
而DE BD =(由“翻折”的特点决定)， 故AC CD BD +=.
【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知2()c b a b =+，即
22c b ab -=.
注意到2222222()2c b BD CD a x x a ax -=-=--=-， 故22a ax ab -=， 即2a x b -=， 亦即a x b x -=+， 故BD AC CD =+.
2题
【解析】注意到60BCA ACD ∠-∠=︒，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出60︒角.
以AC 为对称轴将DAC ∆翻折到'D AC ∆的位置，连接'BD . 则'CD CD BC ==，
''60BCD BCA ACD BCA ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， 故'D BC ∆为等边三角形.
从而''AD CD AD D B AB +=+≥， 等号成立时AC 平分BAD ∠.
A
B
C
D
C 1A
B C D E
a-x x c
b
D C
B A
D'
D
C
B A
3题
【解法1】将AB CF AC BE +>+改写为AB AC BE CF ->-，可形成
下面的思路：
BAC ∠的平分线记为l ，作点C 关于l 的对称点'C ，作点F 关于l 的对称点'F ，过点'C 作BE 的垂线'C D ，因为'A B A C B C -=，''BE CF BE C F BD -=-=， 而'BC BD >，
故AB CF AC BE +>+.
【解法2】我们用“分析法”寻求思路：
AB CF AC BE +>+22
()()AB CF AC BE ⇔+>+
222222AB CF AB CF AC BE AC BE ⇔++⋅>++⋅.
注意到224ABC AB CF AC BE S ∆⋅=⋅=，222AB AE BE =+，222AC AF CF =+， 故22AB CF AC BE AE AF AE AF +>+⇔>⇔>. 而由ABE ACF ∆∆∽、AB AC AE AF >⇒>.
4题：
【解析】直接计算四边形ABCD 的面积有困难，注意到90ABD BDC ∠+∠=，我们以BD 的垂直平分线
l 为对称轴，作ABD ∆的关于l 的轴对称图形'A DB ∆，从而可以将角度集中.
1ABD A DB
S S ∆∆=，'30A D AB ==，'48A B AD ==，
'A DB ABD ∠=∠，
所以''A DC A DB BDC ∠=∠+∠90ABD BDC =∠+∠=， 因此，'A DC ∆是直角三角形.
由勾股定理求得'50A C .
在'A BC ∆中，'50A C =，'48A B =，14BC =.
而2222'1448BC A B +=+1962304=+2500=2250'A C ==. 由勾股定理的逆定理可知'90A BC ∠=. 'ABCD A BCD S S =
''A BC A DC S S ∆∆=+
11
''22
A B BC A D CD =
⋅+⋅ 11
4814304022=⨯⨯+⨯⨯ 336600936=+=.
l
D
C'F'
E
F
C
B
A
48
40
14
30
A'
A
B
C
D
l
【解析】如图所示，以BD 边上的中垂线为对称轴作DBC ∆的轴对称图形1BDC ∆，
则1DBC BDC S S ∆∆=，175C DB CBD ∠=∠=︒，110575180ADB C DB ∠+∠=︒+︒=︒， 故A 、D 、1C 共线.
又因为1057530ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 由ABD ∆可知1801053045A ∠=︒-︒-︒=︒， 而115C B CD AB ===， 故145C A ∠=∠=︒.
因此190ABC ∠=︒，1ABC ∆是等腰直角三角形.
故11
1515112.52
ABCD ABC S S ∆==⨯⨯=
6题：
【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB ，1
2
BC ，CD 三
条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD 比较.要实现这一构想，折线之首端应与A 点重合，尾端应与D 点重合，这可由轴对称来实现.
以AM 为对称轴，作点B 关于AM 的对称点1B ，连接1AB 、1MB ， 则1AB AB =，1MB MB =，即1AB M ∆≌ABM ∆，由此1B MA BMA ∠=∠. 再以DM 为对称轴，作点C 关于DM 的对称点1C ，连接1DC 、1MC ， 则1DC DC =，1MC MC =，即1DC M ∆≌DCM ∆，由此1C MD CMD ∠=∠. 而120AMD ∠=，所以180********BMA CMD AMD ∠+∠=-∠=-=. 注意到1160B MA C MD BMA CMD ∠+∠=∠+∠=，
因此1111120()B MC B MA C MD ∠=-∠+∠1206060=-=， 而1112MB MC BC ==
，所以11B MC ∆是等边三角形，111
2
B C BC =. 由于两点之间以直线段为最短，所以1111AB B C C D AD ++≥，
即1
2
AB BC CD AD ++≥.
A B
C
D
C 1
B 1
A
B C
D
M C 1
【解析】作点B关于AM的对称点'B，作点C关于DM的对称点'C，连接'
AB、''
B C、'
C D，
则''
MB MB MC MC
===，
且'
AB AB
=，'C D CD
=.
而''90
C MB
∠=︒，
则'''
B C==，
故''''
AB CD AB B C C D AD
++=++≥.
8题：
【解析】AD是角平分线提示我们可以进行“翻折”.
将点C翻折到'C的位置，且'C在AB的延长线上，
且'
AC AC
=，'
DC DC
⊥，'
DC DC
=.
延长CB至点E，使ED DC
=，
则2
BD ED AD
⋅=，
故E BAD DAC
∠=∠=∠，
从而22
2
AC ED DC DC
=⋅=，
则'
AC CC
==，
故'
AC C
∆为等边三角形.
故60
BAC
∠=︒，15
ACB
∠=︒.
9题：
由于AD平分BAC
∠，因此这就提供了以AD为轴进行对称变换的可能性.
取AB的中点C'，连接CC'，交AD于O，易知AOC
∆与AOC'
∆关于AD对称，且AO CC'
⊥.
由于30
ACO
∠=，3
AC=，所以
3
2
AO=.
延长AC至B'，使6
AB'=，连接BB'交AD的延长线于点E.
显然ABE
∆和AB E'
∆关于AE对称，且AE BB'
⊥.
由于OC是AEB'
∆的中位线，
所以
3
2
AO OE
==，
11
22
OC EB BE
'
==.
因为
OC OD
BE DE
=，
所以
1
2
OD
DE
=.
所以
3
3
2
OD=，
1
2
OD=.
于是
31
2
22
AD AO OD
=+=+=.
C'
B'
M
D
C
B
A
E
C'
45︒
D C
B
A
C'C
B
A
O
E
D
B'
【解析】由已知条件PB PC =，考虑作直线PM BC ⊥于M ，并以PM 为对称轴将APC ∆翻折至A PB
'∆的位置，连接AA '.
由轴对称的性质有//AA BC '，2A BC ACB ABC '∠=∠=∠. 因为A AB ABC A BA ''∠=∠=∠， 于是AA A B AC AP A P '''====，
即A AP '∆是正三角形，
从而可得60ABC A AB BAP '∠=∠=-∠，
21202ACB ABC BAP ∠=∠=-∠. 再由ABC ∆三内角之和为180，
即(60)(1202)180BAP BAP BAC -∠+-∠+∠=， 整理后得3BAC BAP ∠=∠.
11题：
【解析】将ABC ∆补成一个等边三角形，并作ABC ∆的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于
24ABC CDE S S ∆∆+.
作60BCF ∠=，其中点F 在BA 的延长线上，则BFC ∆为等边三角形.作CH BF ⊥于点H ，并取点A 关于点H 的对称点G ，
则有18080CGH CAH BAC ∠=∠=-∠=.
而80DEC ∠=，18080EDC DEC ACB ∠=-∠-∠=， 故CGA CED ∆∆∽，且相似比为2. 则4CAG CDE S S ∆∆=.
而ABC GFC S S ∆∆=(ABC GFC ∆∆≌)， 故2ABC CDE S S ∆∆+1
2
FBC S ∆
==12题：
【解析】作点P 关于AD 的对称点'P ，连接'AP 并延长交PC 于点Q ，连接'P C .
因为AB AC =，AD 是BC 边上的高， 易得'AP C APB ∠=∠.
因为''AP C P QC ∠>∠，'P QC APC ∠>∠，
故APB APC ∠>∠.
P
C
B
A
M
A'G H F E
D
C
B
A
D
Q P'P
C
B
A
【解析】容易求得1302PAC A ∠=∠+︒，1
302
BAP BCP A ∠=∠=∠-︒.
ABC ∆的对称轴为AD ，作点P 关于AD 的对称点'P ， 则'60PAP ∠=︒，
故'APP ∆为等边三角形，
则'P C 平分ACP ∠，1
'602
PCP A ∠=︒-∠.
故11
'(30)(60)3022
CBP BCP A A ∠=∠=∠-︒+︒-∠=︒.
15题：
【解析】作出点C 关于直线AP 的对称点1C ，连接1BC 、1PC 、1AC ，则12C P CP BP ==，如图所示.
11180C PB APC APC ∠=-∠-∠180606060=--=.
取1C P 的中点M ，连接BM ，则BM P ∆为等边三角形，1BM MP MC ==，
故111
302
C BM BC M BMP ∠=∠=∠=，190C BC ∠=.
又因为45ABC ∠=，故1ABC ABC ∠=∠，故AB 平分1C BC ∠， 故A 点到直线CP 、1PC 、1BC 等距， 从而1AC 是1BC P ∠的外角平分线，
所以11
(18030)75
2
ACB AC P ∠=∠=-=
D
P'
P
C
B
A
C
P B A
C 1
M。