2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下列标志中，只是中心对称图形，不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x2+2x−3=0，下列配方结果正确的是()
A. (x−1)2=2
B. (x−1)2=4
C. (x+1)2=2
D. (x+1)2=4
,y1)，B(1,y2)，则下列说法正确的是() 3.一次函数y=−x+4的图象上有两点A(−1
2
A. y1≤y2
B. y1>y2
C. y1≥y2
D. y1<y2
4.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，
得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是()
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
5.某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为
6.5亿立方米，2020年用水总量为
5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是()
A. 6.5(1−x)2=5.265
B. 6.5(1+x)2=5.265
C. 5.265(1−x)2=6.5
D. 5.265(1+x)2=6.5
6.在爱心一日捐活动中，我校八年级50名学生参与献爱心，捐款情况如下表，则50名
学生捐款金额的中位数，众数分别是()
金额/元50100150200300
人数4181486
A. 100，100
B. 100，150
C. 150，100
D. 150，150
7.如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α(0°<
∠α<90°).若∠1=112°，则∠α的大小是()
A. 68°
B. 20°
C. 28°
D. 22°
8.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD>AB，点E从
点B出发(不含点B)沿BC向点C运动，移动到点C停止，延
长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为()
A. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
B. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D. 平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式______.(写出一个即可)．
10.菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，则菱形的面积为
______ ．
11.已知a是x2+x−2=0的根，则代数式2a2+2a+3的值为______．
12.关于x的一元二次方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0的一个根是0，则m的
值是______．
13.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB
的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为______度．
14.为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次
预赛成绩绘制成统计图．
下面有三个推断：
①与小刚相比，小明5次成绩的极差大；
②与小刚相比，小明5次成绩的方差小；
③与小刚相比，小明的成绩比较稳定．
其中，所有合理推断的序号是______．
15.已知A(2,1)，B(2,4).若直线l：y=x+b与线段AB有一个交点，则b的取值范围为
______．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为
BC中点，且以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，
连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过
程中，AE的最大值为______．
三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）
17.解方程：
(1)x−2=x(x−2)；
(2)2x2−7x+6=0．
18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB
③连接AD，CD
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：∵OA=______，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)．∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)
19.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,4)，B(0,3)，C(2,1)．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．
20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
21.疫情结束后，某景区推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市
场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=(销售单价−成本价)×销售数量)
(1)若该商品的销售单价为43元，则当天的销售量是______件，当天销售利润是
______元；
(2)求销售单价增加多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．
22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD
的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象
向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=
kx+b的值，直接写出m的取值范围．
24.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20
日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩(单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，
50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)．
c.测试成绩在70≤x<80这一组的是：7073747475757778．
d.小明的冬奥知识测试成绩为78分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______；
(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______；
(3)序号(见图1横轴)为1−10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号
为11−20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21−30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32.直接写出s12，s22，s32中最小的是______；
(4)成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级1500名同学都参加测试，估计
成绩优秀的同学约为______人．
25.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x−m)(x−n)=
p(m≤n)的形式．现列表探究x2−6x−7=0的变形：
回答下列问题：
(1)表格中t的值为______；
(2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；
(3)记x2+bx+c=0的两个变形为(x−m1)(x−n1)=p1和(x−m2)(x−n2)=
p2(p1≠p2)，求n1−n2
的值．
m1−m2
26.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<
x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为x2−2x=0，求出该方程的衍生点M的坐标；
(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，过点
M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生
点M始终在直线y=kx+1的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
27.已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线
段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．
(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；
(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证
明．
28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直
线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ=1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ=0．
例如，点P(1,2)是直线y=x的最佳关联点．
根据阅读材料，解决下列问题．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=−x+3，l2：y=2x+b．
,1)，C(2,3)，上述各点是直线l1的关联点是______ ；(1)已知点A(0,4)，B(3
2
(2)若点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，则m的值是______ ；
(3)点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF.若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：∵x2+2x−3=0
∴x2+2x=3
∴x2+2x+1=1+3
∴(x+1)2=4
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，
又∵点A(−1
2,y1)，B(1,y2)均在一次函数y=−x+4的图象上，且−1
2
<1，
∴y1>y2．
故选：B．
由k=−1<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−1
2
<1，即可得出y1>y2．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5(1−x)，
2020年的用水量为6.5(1−x)2，
故选：A．
首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
6.【答案】C
【解析】解：由表知，这组数据的第25、26个数据分别为150、150，
=150，众数为100，
所以其中位数为150+150
2
故选：C．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数与中位数的定义．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据长方形的定义得∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，然后根据两个三角形的内角和得到∠3=68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α，
∴∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，
∵∠2=∠1=112°，连接BD′，
而∠ABC=∠AD′C′=90°，
∴∠3=180°+180°−∠2−∠ABD′−∠CBD′−∠AD′B−∠C′D′B=360°−90°−90°−112°=68°，
∴∠BAB′=90°−68°=22°，
即∠α=22°．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD=OB，
∵AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
{∠FDO=∠EBO OD=OB
∠DOF=∠BOE
，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴DF=BE，
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
9.【答案】y=x
【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，
∴所填函数x的系数大于0，常数项为0．
如：y=x(答案不唯一)．
一次函数的图象经过第一、三象限，则x的系数大于0，常数项为0，据此写出一次函数．本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三象限，说明函数为增函数．
10.【答案】6
【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，
∴ab=12，
ab=6．
∴菱形的面积=1
2
故答案为6．
设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=12，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：∵a是方程x2+x−2=0的根，
∴a2+a−2=0，
∴a2+a=2，
∴2a2+2a+3=2(a2+a)+3=2×2+3=7．
故答案为：7．
把x=a代入已知方程，得到a2+a=2，然后代入所求的代数式进行求值即可．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．
12.【答案】−3
【解析】解：把x=0代入方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0，
得m2−9=0，
解得：m=±3，
∵m−3≠0，
∴m=−3，
故答案为−3．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】15
【解析】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°−∠DBE=180°−30°=150°，∠BDC=1
(180°−∠CBD)=15°．
2
故答案为15°．
根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．
根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．
=94(分)，
【解析】解：小明5次预赛成绩的平均数为：92+94+100+91+93
5
极差为：100−91=9(分)，
[(92−94)2+(94−94)2+(100−94)2+(91−94)2+(93−94)2]=10，方差为：1
5
=94(分)，
小刚5次预赛成绩的平均数为：88+100+93+98+91
5
极差为：100−88=12(分)，
[(88−94)2+(100−94)2+(93−94)2+(98−94)2+(91−94)2]=19.6，方差为：1
5
因此①不正确；②正确；③小明的方差较小，其成绩比较稳定，因此③正确；
所以正确的有：②③，
故答案为：②③．
分别求出小刚和小明的平均数、方差、极差后进行判断即可．
本题考查平均数，极差、方差，理解平均数、极差、方差的意义，掌握平均数、极差、方差的计算方法是正确判断的前提．
15.【答案】−1≤b≤2．
【解析】解：把A(2,1)，B(2,4)分别代入y=x+b，
得
1=2+b，此时b=−1；
4=2+b，此时b=2．
所以，b的取值范围为：−1≤b≤2．
故答案是：−1≤b≤2．
将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得相应的b值，由此得到b的取值范围．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题．
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=√AB2+AC2=2√2，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD=AD=√2，
∵DE=BC=2√2，
∴DE−AD≤AE≤DE+AD，
如图，当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值．
∴AE=AD+DE=√2+2√2=3√2，
∴在整个旋转过程中，AE的最大值为3√2．
故答案为：3√2．
当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值，画出图形，由勾股定理求出BC的长度，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，进而可得AE的长．
本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点A、D、E在同一条直线上时，AE有最大值．
17.【答案】解：(1)方程整理得：(x−2)−x(x−2)=0，
分解因式得：(1−x)(x−2)=0，
解得：x1=2，x2=1；
(2)分解因式得：(2x−3)(x−2)=0，
可得x−2=0或2x−3=0，
解得：x1=2，x2=3
．
2
【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
(2)方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】OC对角线互相平分的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】解：(1)如图，矩形ABCD即为所求．
(2)：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形
是平行四边形)，
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是
矩形)
故答案为：OA=OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(−2,−1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．
【解析】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
(2)分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的
实数根，
∴(2m+1)2−4m2>0，
．
解得：m>−1
4
(2)利用求根公式表示出方程的解为x=−2m−1±√4m+1
，
2
∵方程的解为整数，
∴4m+1为完全平方数，
则当m的值为0时，方程为：x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1(不唯一)．
【解析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，则△>0，列出不等式，即可求出m的取值范围．
(2)根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根(答案不唯一)．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
21.【答案】2503250
【解析】解：(1)当该商品的销售单价为43元时，当天的销售量是280−10×(43−40)= 250(件)，当天销售利润是(43−30)×250=3250(元)．
故答案为：250；3250．
(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，
依题意得：(40+x−30)(280−10x)=3450，
整理得：x2−18x+65=0，
解得：x1=5，x2=13．
答：销售单价增加5元或13元时，该商品的当天销售利润是3450元．
(1)利用当天的销售量=280−10×上涨的价格，即可求出当该商品的销售单价为43元
时当天的销售量；利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，
即可求出当该商品的销售单价为43元时当天销售利润；
(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，
∵E是AD的中点，
AD，
∴AE=OE=1
2
∴∠EAO=∠AOE，
∴∠AOE=∠BAO，
∴OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴四边形OEFG是矩形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=AE=1
AD=5；
2
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=√AE2−EF2=3，
∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．
【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
AD，推出OE//FG，(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=1
2
求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=1
2
四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．
23.【答案】解：(1)函数y=x的图象
向下平移1个单位长度得到y=x−1，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象
由函数y=x的图象向下平移1个单
位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=x−1．
(2)把x=−2代入y=x−1，求得y=
−3，
∴函数y=mx(m≠0)与一次函数
y=x−1的交点为(−2,−3)，
，
把点(−2,−3)代入y=mx，求得m=3
2
∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x−1的值，
∴1≤m≤3
．
2
【解析】(1)根据平移的规律即可求得．
(2)根据点(−2,−3)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24.【答案】1174s32500
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，成绩在80≤x<90的有7人，成绩在90≤x< 100的有3人，结合70≤x<80这组的数据可得，
成绩为78分处在第11名，
故答案为：11；
(2)将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，
故答案为：74；
(3)从图1中，1～10号，11～20号，21～30号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，21～30号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，
因此九年级的方差s32中最小，
故答案为：s32；
=500(名)，
(4)1500×7+3
30
故答案为：500．
(1)根据成绩的频数分布直方图以及成绩在70≤x<80这组的数据进行判断即可；
(2)根据中位数的定义进行判断即可；
(3)从图1的数据分布的离散程度进行判断即可；
(4)从样本中得出“优秀”所占的百分比进行估算即可..
本题考查频数分布直方图，中位数、方差以及样本估计总体，理解中位数、方差的定义，掌握样本估计总体的方法是解决问题的前提．
25.【答案】5m+n=6
【解析】解：(1)x2−6x−7+12=12，
x2−6x+5=12，
(x−1)(x−5)=12，
所以t=5；
故答案为5；
(2)−1+7=6，
0+6=6，
1+5=6，
3+3=6，
所以m+n为一次项系数的相反数，
即m+n=6；
故答案为m+n=6；
(3)由(2)的结论得到m1+n1=−b，m2+n2=−b，
所以m1+n1=m2+n2，
即n1−n2=−(m1−m2)，
=−1．
∴n1−n2
m1−m2
(1)先把方程两边加上12，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值；
(2)利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数；
(3)由(2)的结论得到m1+n2=−b，m2+n2=−b，则m1+n1=m2+n2，从而得到
n1−n2
的值．
m1−m2
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．
26.【答案】解：(1)∵x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
解得：x1=0，x2=2
故方程x2−2x=0的衍生点为M(0,2)；
(2)关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，
∵m<0，
∴2m<0
解x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)得：x1=2m，x2=1，
∴方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M(2m,1)．
∴点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，
所以2m=−1，解得m=−1
；
2
(3)存在．
直线y=kx+1，过定点M(0,1)，
∴x2+bx+c=0两个根为x1=0，x2=1，
∴0+1=−b，0×1=c，
∴b=−1，c=0．
【解析】(1)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
(2)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；
(3)求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
本题考查一次函数综合题、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：(1)有题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM//BD．
(2)猜想，CM⊥MB，CM=√3MB，理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG//BD，
∴∠BAG=180°−∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB(SAS)，
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴CM⊥BM，CM=√3MB．
【解析】(1)由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM//BD．
(2)延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM=√3MB．
本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．28.【答案】A，B3或52≤b≤4或−8≤b≤−4
【解析】解：(1)如图1，将点A(0,4)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=−1，
∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是−1，0−(−1)=1，
∴点A是直线l1的关联点；
将点B(3
2
,1)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=2，
∴2−3
2=1
2
<1，
∴点B是直线l1的关联点；
将点C(2,3)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=0，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2−0=2>1，∴点C不是直线l1的关联点；
故答案为：A，B；
(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=3−m，
∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3−m，
∵点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，
∴丨3−m−(−1)丨=丨4−m丨=1，解得：m=3或5，
故答案为：3或5；
(3)如图2，
由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求，
直线与l3正方形AOEF相交于A(0,4)时，b=4，
直线l4与正方形AOEF相交于A(0,2)时，b=2，
直线l5与正方形AOEF相交于F(4,4)时，b=−4，
直线l6与正方形AOEF相交于E(4,0)时，b=−8，
∴b的取值范围为2≤b≤4或−8≤b≤−4．
故答案为：2≤b≤4或−8≤b≤−4．
(1)将点A，B，C的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，分别求出过点A，B，C垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据关联点的定义即可求解；
(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1，求出过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据最佳关联点的定义列出关于m的方程，解方程即可；
(3)如图，若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间，根据点A，E的坐标即可得b的取值范围．
本题考查一次函数综合题、P为直线l的关联点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。