2019年河北中考数学复习 第5讲 方程(组)与不等式(组)

第二章 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)
1. (2010，河北)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是(A)
A. x ＋5(12－x )＝48
B. x ＋5(x －12)＝48
C. x ＋12(x －5)＝48
D. 5x ＋(12－x )＝48
【解析】 设所用的1元纸币为x 张，则5元纸币为(12－x )张．根据用钱总数是48元即可列出方程．
2. (2011，河北)已知⎩
⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)
＋7的值．
【思路分析】 将方程的解代入方程，得到关于a 的方程，求解，再求含有a 的代数式的值．
解：∵⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝3
是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，
∴23＝3＋a .解得a ＝ 3.
∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝3－1＋7＝9.
3. (2015，河北，导学号5892921)利用加减消元法解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10①，
5x －3y ＝6②，下列做法正
确的是(D)
A. 要消去y ，可以将①×5＋②×2
B. 要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)
C. 要消去y ，可以将①×5＋②×3
D. 要消去x ，可以将①×(－5)＋②×2
【解析】 利用加减消元法解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10①，
5x －3y ＝6②，要消去x ，可以将①×(－5)＋②×2.
4. (2016，河北)已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；
(2)若n 边形变为(n ＋x )边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x .
【思路分析】 (1)根据多边形的内角和公式可得n 边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断说法的对错，再根据多边形的内角和公式求出边数n .(2)根据等量关系：n 边形变为(n ＋x )边形，内角和增加360°，列出方程，解方程即可确定x .
解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对．
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
∴甲同学说的多边形的边数n 是4.
(2)依题意，得(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°. 解得x ＝2.
方程或方程组的解
例1 (2018，淮安)若关于x ，y 的二元一次方程3x －ay ＝1有一个解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝2，则a ＝ 4 .
【解析】 把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝2代入原方程，得9－2a ＝1，即可求出a 的值.
针对训练1 已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为(D)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【解析】 把x ＝2代入原方程，得4＋a －9＝0.解得a ＝5.
一元一次方程的解法
例2 解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2
.
【思路分析】 根据等式的性质，按一般步骤解方程． 解：去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x )．
去括号，得12－4x －2＝3＋3x . 移项，得－4x －3x ＝3－12＋2. 合并同类项，得－7x ＝－7. 系数化为1，得x ＝1.
针对训练2(2017，武汉)解方程：4x －3＝2(x －1)．
【思路分析】 本题解一元一次方程的步骤是：去括号，移项，合并同类项，再将系数化为1.
解：去括号，得4x －3＝2x －2. 移项，得4x －2x ＝3－2. 合并同类项，得2x ＝1. 系数化为1，得x ＝1
2
.
二元一次方程组的解法
例3 (2018，福建)解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，
4x ＋y ＝10.
【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可．
解：⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝1①，4x ＋y ＝10②.
②－①，得3x ＝9. 解得x ＝3.
把x ＝3代入①，得3＋y ＝1. 解得y ＝－2.
所以这个方程组的解是⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝3，y ＝－2.
针对训练3(2018，宿迁)解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，
3x ＋4y ＝6.
【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可．
解：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0①，
3x ＋4y ＝6②.
①×2，得2x ＋4y ＝0③. ②－③，得x ＝6.
把x ＝6代入①，得y ＝－3.
所以这个方程组的解是⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝6，y ＝－3.
一次方程(组)的应用
例4 (2018，东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时
以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为(B)
例4题图 A. 19元
B. 18元
C. 16元
D. 15元
【解析】 设笑脸气球每个x 元，爱心气球每个y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝16，
x ＋3y ＝20.
解得
⎩⎨⎧x ＝7
2，
y ＝112.
∴2x ＋2y ＝18.(或将方程组中两个方程相加，得4x ＋4y ＝36.∴2x ＋2y ＝18.) 例5 (2018，唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：
某户居民3月份用水10 m ，缴纳水费23元． (1)求a 的值；
(2)若该户居民4月份所缴水费为71元，求该户居民4月份的用水量．
【思路分析】 (1)用水10 m 3，由10<22，可得水费共10a 元，即10a ＝23，求解即可． (2)先判断71元水费的用水量是否超过22 m 3，再设用水量为x 列方程求解． 解：(1)由题意，得10a ＝23.解得a ＝2.3. 答：a 的值为2.3.
(2)设该户居民4月份的用水量为x m 3.
∵当用水22 m 3时，水费为22×2.3＝50.6＜71， ∴用水量x ＞22.
∴22×2.3＋(x －22)×(2.3＋1.1)＝71.解得x ＝28. 答：该户居民4月份的用水量为28 m 3.
针对训练4(2018，广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两．根据题意，得(D)
A. ⎩⎪⎨⎪⎧11x ＝9y ，（10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13
B. ⎩
⎪⎨⎪⎧10y ＋x ＝8x ＋y ，
9x ＋13＝11y C. ⎩
⎪⎨⎪⎧9x ＝11y ，（8x ＋y ）－（10y ＋x ）＝13
D. ⎩
⎪⎨⎪⎧9x ＝11y ，（10y ＋x ）－（8x ＋y ）＝13 【解析】 两袋互换1枚后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，乙袋有黄金1枚，白银10枚．两个等量关系是：互换前，甲袋重量＝乙袋重量；互换后，乙袋重量－甲袋重量＝13.
针对训练5 (2017，岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将这批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的2
3，结果打了16个包还多40本；第
二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包．那么这批书共有多少本？
【思路分析】 题中等量关系是每包书数目相等． 解：设这批书共有x 本． 根据题意，得23x －4016＝1
3
x ＋409.
解得x ＝1 500.
答：这批书共有1 500本．
一、 选择题
1. 在解方程x －12－1＝3x ＋1
3时，两边同时乘6，去分母后，正确的是(D)
A. 3x －1－6＝2(3x ＋1)
B. (x －1)－1＝2(x ＋1)
C. 3(x －1)－1＝2(3x ＋1)
D. 3(x －1)－6＝2(3x ＋1)
【解析】 方程两边的每一项都要乘6.
2. 关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋py ＝0，x ＋y ＝3的解是⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝1，y ＝⊕，其中y 的值被盖住了，不过仍能求出p ，
则p 的值是(A)
A. －1
2
B. 12
C. －14
D. 14
【解析】 把x ＝1代入x ＋y ＝3中，得y ＝2；再把x ，y 的值代入x ＋py ＝0，就可以求出p 的值．
3. (2018，桂林)若|3x －2y －1|＋x ＋y －2＝0，则x ，y 的值为(D)
A. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4 B. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝0
C. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝2 D. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1
【解析】 根据绝对值的非负性和被开方数的非负性，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，x ＋y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1.
4. (2018，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y 的值．若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于
(C)
第4题图
A. 9
B. 7
C. －9
D. －7
【解析】 当x ＝4时，y ＝8＋b ；当x ＝7时，y ＝－1.∴8＋b ＝－1.解得b ＝－9. 5. (2018，烟台)如图，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n 个图形中有120朵玫瑰花，则n 的值为(C)
第5题图
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
【解析】 根据图中规律，第n 个图形中有4n 朵玫瑰花，∴4n ＝120.解得n ＝30. 6. (2018，南通)篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是(B)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【解析】 设该队获胜x 场，则负了(6－x )场．根据题意，得3x ＋(6－x )＝12.解得x ＝3. 7. 父子二人并排垂直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的1
3，儿子露
出水面的高度是他自身身高的1
7，父子二人的身高之和为3.2 m. 若设爸爸的身高为 x m ，儿子
的身高为y m ，则可列方程组为(D)
A. ⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝3.2，⎝⎛⎭⎫1＋17x ＝⎝⎛⎭⎫1＋13y
B. ⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝3.2，⎝⎛⎭⎫1－17x ＝⎝⎛⎭⎫1－13y C. ⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝3.2，13x ＝17
y
D. ⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝3.2，⎝⎛⎭⎫1－13x ＝⎝⎛⎭⎫1－17y
【解析】 题中的等量关系有两个，一是父子二人的身高之和为3.2 m ，二是水深是爸爸身高的⎝⎛⎭⎫1－13，儿子身高的⎝⎛⎭
⎫1－1
7，两者相等． 8. (2018，温州)学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据题意可列出方程
组(A)
A. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，49x ＋37y ＝466
B. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，
37x ＋49y ＝466
C. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝466，49x ＋37y ＝10
D. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝466，
37x ＋49y ＝10 【解析】 题中的等量关系有两个，一是车一共有10辆，二是座位数与人数相等． 9. (2018，福建)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和
一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是(A)
A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋5，12
x ＝y －5
B. ⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝y －5，12
x ＝y ＋5
C. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋5，2x ＝y －5
D. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝y －5，2x ＝y ＋5
【解析】 两个等量关系分别是：绳索比竿长5尺，绳索的一半比竿短5尺．
10. (2018，恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件赢利20%，另一件亏损20%.在这次买卖中，这家商店(C)
A. 不赢不亏
B. 赢利20元
C. 亏损10元
D. 亏损30元
【解析】 设其中一件衣服进价为x 元，另一件进价为y 元，则(1＋20%)x ＝120，(1－20%)y ＝120.解得x ＝100，y ＝150.∵120×2－100－150＝－10，∴这家商店亏损10元．
二、 填空题
11. (2018，菏泽)一组“数值转换机”按下面的程序计算，若输入的数是36，则输出的结果为106.要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 15 .
第11题图
【解析】 从结果倒推输入的x 值，由3x －2＝127，解得x ＝43.再由3x －2＝43，解得x ＝15.而3x －2＝15没有整数解，故输入的最小正整数为15.
12. (2018，凉山州)已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是（
49
4
）. 【解析】 正数的两个平方根互为相反数，即3x －2＋5x ＋6＝0.解得x ＝－1
2.则这个数是(3x
－2)2＝49
4
.
13. (2018，随州)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，
ax －by ＝1的解，则a ＋b
＝ 5 .
【解析】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝3.∴a ＋b ＝5.
14. (2018，德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，a ≥b ，
ab ，a <b .
例如4◆3，
因为4＞3，所以4◆3＝42
＋32
＝5.若x ，y 满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧4x －y ＝8，
x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 .
【解析】 解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，
y ＝12.∵5<12，∴x ◆y ＝5×12＝60.
三、 解答题
15. (2018，扬州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a ＋b .例如3⊗4＝2×3＋4＝10.
(1)求2⊗(－5)的值；
(2)若x ⊗(－y )＝2，且2y ⊗x ＝－1，求x ＋y 的值．
【思路分析】 (1)a ＝2，b ＝－5，按指定运算求值．(2)根据指定运算写出关于x ，y 的方程组，求解后，可得x ＋y 的值．
解：(1)2⊗(－5)＝2×2－5＝－1.
(2)由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，
4y ＋x ＝－1.
解得⎩⎨⎧
x ＝7
9
，y ＝－4
9.
∴x ＋y ＝1
3
.
16. (2018，舟山)用消元法解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5①，
4x －3y ＝2②时，两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x ＝3. 解法二：由②，得3x ＋（x －3y ）＝2③.
把①代入③，得3x ＋5＝2.
(1)判断上述两个解题过程中有无计算错误．若有误，请在错误处打“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【思路分析】 (1)解法一中①－②不能消去未知数；解法二利用整体代入的方法，计算正确．(2)若选解法一，则从第一步改正，一步步做下去；若选解法二，则继续做下去．
解：(1)解法一中的计算有误(标记略)． (2)由①－②，得－3x ＝3. 解得x ＝－1.
把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5. 解得y ＝－2.
所以原方程组的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝－2.
17. 小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的
日期数之和是84，你知道我们是几日出去的吗？”小王说：“我假期去舅舅家住了7天，日期数再加上月份数也是84，你能猜出我是几月几日回的家吗？”试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．(提示：7月1日—9月1日暑假)
【思路分析】 设出中间一天的日期，其他日期用代数式表示出来．小赵的问题用7天日期之和等于84列出方程；小王的问题是日期之和加7(或8)等于84；注意方程的解只能是1到31之间的整数．
解：设小赵外出旅行这一星期中间一天的日期为x 日．
根据题意，得(x －3)＋(x －2)＋(x －1)＋x ＋(x ＋1)＋(x ＋2)＋(x ＋3)＝84. 解得x ＝12. ∴12－3＝9.
设小王在舅舅家住的中间一天的日期为y 日． 根据题意，得7y ＋7＝84或7y ＋8＝84. 解得y ＝11或y ＝76
7
(不合题意，舍去)．
∴11＋3＝14.
答：小赵是9日出去的．小王是7月14日回的家．
18. (2018，张家界)《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少．
【思路分析】 两种出资方法，人数相等，羊价相等．设其中一个为未知数，另一个作为等量关系来列方程．
解：设有x 人．
根据题意，得5x ＋45＝7x ＋3. 解得x ＝21.
∴5×21＋45＝150(元)．
答：有21人，羊价为150元．
19. (2018，黄冈)在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子．A 型粽子28元/kg ，B 型粽子24元/kg.若B 型粽子的质量比A 型粽子的2倍少20 kg ，订购两种粽子共用了2 560元，求两种类型粽子各订购了多少千克．
【思路分析】 两个等量关系是，A 型粽子质量×2－20＝B 型粽子质量；A 型粽子总价＋B 型粽子总价＝2 560元．
解：设A 型粽子订购了x kg ，B 型粽子订购了y kg.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －20，
28x ＋24y ＝2 560.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝40，
y ＝60.
答：A 型粽子订购了40 kg ，B 型粽子订购了60 kg.
1. (2018，石家庄长安区质检，导学号5892921)小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与
玫瑰花，她们购买的数量如下表所示，小华花的总钱数比小红少8元．下列说法正确的是(A)
A. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元
B. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花少花8元
C. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花多花8元
D. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花少花8元
【解析】 设每枝百合花x 元，每枝玫瑰花y 元．根据题意，得6x ＋5y ＋8＝8x ＋3y ，可以变形为2y ＋8＝2x .所以买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元．
2. (2018，枣庄，导学号5892921)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝（ 7
4 ）.
【解析】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 代入原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a －5b ＝4.
两式相加，得4a －4b ＝7，∴a －b ＝7
4
.
3. (2018，滨州，导学号5892921)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝1，y ＝2，
则关于a ，b 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3（a ＋b ）－m （a －b ）＝5，
2（a ＋b ）＋n （a －b ）＝6的解是（
⎩
⎨⎧
a ＝32
，b ＝－
12
）.
11
【解析】 把a ＋b ，a －b 分别看作一个整体，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，
a －
b ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.
4. (2018，石家庄裕华区质检)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数(如图②)分别用a ，b ，c ，d ，x 表示．
第4题图
(1)若x ＝17，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 68 ；
(2)移动十字框，用x 表示a ＋b ＋c ＋d ＝ 4x ；
(3)设M ＝a ＋b ＋c ＋d ＋x ，判断M 能否等于2 020，请说明理由．
【思路分析】 (1)直接相加即可．(2)观察可得a ＝x －12，b ＝x －2，c ＝x ＋2，d ＝x ＋12，则a ＋b ＋c ＋d ＝4x .(3)判断5x ＝2 020的解是否满足题意即可．
解：(1)68
(2)4x
(3)M 不能等于2 020.
理由：由(2)知a ＋b ＋c ＋d ＝4x ，
∴M ＝4x ＋x ＝5x .
令5x ＝2 020，
∴x ＝2 0205
＝404. 因为404是偶数，题中数据都是奇数，
所以M 不能等于2 020.。