函数列与函数项级数

Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）
§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）
一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：
收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.
例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n
x , 用“N -ε”定义
验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且
∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n
x =⎩
⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n
nx
sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.
例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n .
⑴ )(x f n =x
x x
x n
n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1
21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x .
⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令
)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.
,,, ] 1 , 0 [ , 0,
,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.
⑷ )(x f n =2
22
2x n xe
n -. )(x f n →0, R ∈x .
156
⑸ )(x f n =⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41
11x x x x x n n n n n n n
有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意
⎰
≡1
1)(dx x f n .）
二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
∞
→n lim
()
⎰
⎰∞
→≠1
1
0)(lim )(dx x f dx x f n n n .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞
→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限
函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极
限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓
“整体收敛”的结果.
定义 ( 一致收敛 )
一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,⇔
N , 0∃>∀ε, , , N n m >∀⇒ ε<-n m f f .
( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .)
证 )⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)
157
)⇐ 易见逐点收敛. 设∞
→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2
|)()(|ε
<
-x f x f n m .
令∞→m , ⇒ εε
<≤
-2
|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)
(x f n −→−−→
−)(x f ,
) (∞→n ，∈x D .
系1 在D 上n
f −→
−−→
−f , ) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =-∞
→x f x f n D
n .
系2 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使
0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .
应用系2 判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常选 n x 为函数
=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点.
验证函数一致收敛性: 例4 )(x f n n
nx
sin =
. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 例5 )(x f n 2
22
2x n xe n -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.
证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =
n
21处取得极大值
022121
→/=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 2
21)(x
n x
x S n +=
. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→
−0, ) (∞→n .
证 易见 ∞
→n lim .0)()(==x S x S n 而
n
nx x n n x n x x S x S n 21
)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.
由系1 , ⇒ ……
例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列
158
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22
x n n n x n x n n n x x n x f n
证明: ∞
→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛. [1]P 38—39 E3, 参图.
证 10≤<x 时, 只要1
->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有
)(x f =∞
→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞
→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有
)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭
⎫
⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,
因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 例8 )(x f n =1
2sin
2
+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:
⑴ )0( , ] , [>-l l l ; ⑵ ) , 0 [∞+.
Ex [1]P 44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P 53—54 1⑴，2，3⑴.
三. 函数项级数及其一致收敛性:
1． 函数项级数及其和函数：，∑)(x u
n
, 前n 项部分和函数列)}({x S n ，收敛
点，收敛域, 和函数, 余项.
例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数( 称为几何级数 )
+++++=∑∞
=n n n
x x x x
20
1
159
的部分和函数列为 ) 1 ( 11)(≠--=
x x
x x S n
n , 收敛域为) 1 , 1 (-.
2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.
Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数
∑)(x u
n
在区间D 上一致收敛, ⇔ N ,0∃>∀ε,
, , N ∈∀>∀p N n ⇒ ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n 对∈∀x D 成立.
系 级数
∑)(x u n
在区间D 上一致收敛, ⇒ n u )(x −→−−→
−0, ) (∞→n .
Th3 级数
∑)(x u
n
在区间D 上一致收敛, ⇔
∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D
∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D
.
例10 证明级数
∑∞
=-+-12
1
) 1(n n n
x
在R 内一致收敛 .
证 令n u )(x =
n
x n +--2
1) 1(, 则 ∞→n 时
≤++-+
-++=+++++++ |) 1(1
1|
|)()()(|2
12
21p
n x n x x u x u x u p p n n n
01
1
1
12
→+≤++≤
n n x 对∈∀x R 成立. ……
例11 几何级数∑∞
=0
n n
x
在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内
非一致收敛.
证 在区间] , [a a -上 , 有
011sup |)()(|sup ],[],[→-=--=---a a a
x x S x S n
n a a n a a , ) (∞→n . ⇒ ∑一致收敛 ;
而在区间) 1 , 1(-内 , 取∈+=
1
n n
x n ) 1 , 1(-, 有
160
∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-
⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=----1
)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n n
n n n n n n
n n n x x x S x S , ) (∞→n . ⇒
∑
非一致收敛.
( 亦可由通项n
n x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零,⇒
∑
非一致收
敛.)
几何级数
∑∞
=0
n n
x
虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛 , 但在包含于) 1 , 1(-内的任何
闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数
∑∞
=0
n n
x
在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛 .
Ex [1]P 44—45 1 ⑹⑺， 4，6.
四. 函数项级数一致收敛判别法:
1.
M - 判别法:
Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
∑)(x u
n
定义在区间D 上, ∑n M 是收敛
的正项级数.若当n 充分大时, 对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤, 则
∑
在D 上一致收敛 .
证 , |)(| )(
1
1
1
1
∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i p
i i n p i i n i n p
i i
n M M x u x u
然后用Cauchy 准则.
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数
∑n
M
是级数
∑)(x u
n
的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级
数 , 则级数
∑)(x u
n
在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取|})({|sup x u M n D
x n ∈=.
但应注意, 级数
∑)(x u
n
在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑)(x u n 在区间D 上非
一致收敛. 参阅[1]P 45 8.
161
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.
例12 判断函数项级数 ∑∞
=i n n nx 2sin 和 ∑∞
=i
n n nx
2
cos 在R 内的一致收敛性 . 例13 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明 : 若级数
∑)(a u
n
与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .
简证 , 留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……
2. Abel 判别法:
Th 5 设 ⅰ> 级数
∑)(x u
n
在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个∈x I , 数列)}({x v n
单调 ; ⅲ> 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M , 使对I ∈∀x 和n ∀, 有
M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 . ( [1]P 43 )
2. Dirichlet 判别法: Th 6 设ⅰ> 级数
∑)(x u
n
的部分和函数列∑==n
k k n x u x U 1
)()(在区间I 上一致有界;
ⅱ> 对于每一个∈x I , 数列)}({x v n 单调; ⅲ> 在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零. 则级数
∑)()(x v x u
n n
在区间I 上一致收敛 .
例14 判断函数项级数∑++-1
)() 1(n n
n n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.
解 记n
n n n n x x v n x u ⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;
ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v n
n ≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [
和n ∀成立. 由Abel 判别法,
∑
在区间] 1 , 0 [上一致收敛.
162
例15 设数列}{n a 单调收敛于零 . 试证明 : 级数
∑nx a
n
cos 在区间
] 2 , [απα- )0(πα<<上一致收敛.
证 由本教案Ch12§3例4 ，在] 2 , [απα-上有
212
sin
21 21|2sin |21 212sin 2) 21
sin(
|cos |1
+≤+≤-+=∑=αx x x
n kx n
k . 可见级数
∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界 . 取
nx x u n cos )(= , n n a x v =)( . 就有级数
∑)(x u
n
的部分和函数列在区间
] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收
敛于零.由Dirichlet 判别法,级数
∑nx a
n
cos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.
其实 , 在数列}{n a 单调收敛于零的条件下, 级数
∑nx a
n
cos 在不包含
) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.
Ex [1]P 45—46 3，5，7，8，9*⑹⑺.
习 题 课 ( 2 时 )
例1 设)(x f n →)(x f ,) (∞→n , ∈x D . 0>n a 且0→n a ,) (∞→n . 若对每个自然数 n 有|)(x f n ―)(x f |≤n a 对∈∀x D 成立, 则函数列{)(x f n }在
D 上一致收敛于函数)(x f .
例2 证明函数列}{n
x 在区间] 1 , 0 [上非一致收敛. 例3 )(x f n =
2
21x
n nx
+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞
→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得
163
1
0max ≤≤x )(x f n =,0 2
1) 1 (→/=
n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.
例4 设函数)(1x f 在区间] , [b a 上连续 . 定义 ⎰=+x
a
n
n dt t f
x f )()(1. 试证明
函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛于零.
证法一 由)( , ],[)(11x f b a C x f ∈有界 . 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤ . |)(2x f |⎰⎰-≤-≤≤=x
a
x
a
a b M a x M f f )()(||||11;
|)(3x f |⎰⎰
-≤-≤
≤=x
a
x
a
a b M a x M f f 2222)(21
)(2||||
; ……………………… |)(1x f n +|⎰⎰
-≤-≤
≤=x
a
n n n x
a
n a b M n a x n M f f )(!
1
)(!||||
. 注意到对∑→-⇒+∞<∀0!)( , !|| , n a b M n c c n
n , ) (∞→n . ⇒ n
f −→
−−→
−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .
证法二 , 0 )()( , )()(11=='='++a f a f x f x f n n n n
, 0)()( , )()(1111==''=''-+-+a f a f x f x f n n n n
)()( ,1)
(1x f x f n n =+ .
],,[)(1b a C x f ∈ )(1x f 有界. 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤. 把函数)(1x f n +在点
a 展开成具Lagrange 型余项的1-n 阶Taylor 公式 , 注意到
0)()()()
1(111===''='-+++a f a f a f n n n n ,
就有 n n n n a x n f x f )(!
)(
|)(|)
(11-=++ξ b a ≤≤ξ,
164
0!
)( )(!|)(|1→-≤-=
n a b M a x n f n n
ξ, ) (∞→n , ∈x ] , [b a . 所以 , n
f −→
−−→
−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .
例5 设),(],[ :b a b a f →. 0>n ε且0→n ε, ) (∞→n . 令
)()(1x f x f = , ()() , )()()(12x f f x f f x f == ,
()()
层复合
n n n x f f f x f f x f )(()()(1==-. …….
试证明: 若对n ∀ 和 ∈∀y x ,] , [b a , 有 || )()(y x y f x f n n n -≤-ε , 则函数列 {)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .
证 对 , 0>∀ε取 N , 使N n >时, 有a
b n -<
ε
ε. 于是对任何自然数p 和
∈∀x ] , [b a , 有
()
|)(| |)()(| |)()(|≤-≤-=-+x f x x f f x f x f x f p n p n n p n n εεε<-)(a b n . 由Cauchy 收敛准则 , 函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .
例6 设在数集D 上函数列{)(x f n }一致收敛于函数)(x f . 若每个)(x f n 在 数集D 上有界 , 则函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .
证 ( 先证函数)(x f 在数集D 上有界 ) 设在D 上有|)(x f n |≤n M .
对1=ε,由函数列{)(x f n }在数集D 上一致收敛,N ∃,当N N >0时 , 对∈∀x D ,有 |)(x f ||)(|0x f N -≤ |)(x f 1 |)(0<-x f N ,
⇒ |)(x f |< +1G M x f Def
N N ===+≤001 |)(|. 即函数)(x f 在数集D 上有界.
( 次证函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 ) N n >时, 对∈∀x D ,有
165
|)(x f n |―|)(x f |≤ |)(x f n ―)(x f |< 1, ⇒ |)(x f n |≤ 1+G .
取 }, 1 , , , , m ax {21+=G M M M M n 易见对∈∀x D 和n ∀有|)(x f n |≤M . 即 函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .
例7 设{)(x f n }为定义在区间] , [b a 上的函数列, 且对每个n , 函数)(x f n 在点a 右连续 , 但数列{)(a f n } 发散. 试证明: 对a b -<>∀δδ ( 0), 函数列{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内都不一致收敛.
证 反设0>∃δ, 使{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内一致收敛. 则对
N ∈∀>∀∃>∀p N n N , , , 0ε, 有
2
|)()(|1ε
<
-++x f x f p n n 对∈∀x ) , (δ+a a 成立.
⇒ +→++=-a
x p n n a f a f lim |)()(|1εε
<≤
-++2
|)()(|1x f x f p n n .⇒{)(a f n }为Cauchy
列,
即{)(a f n }收敛. 与已知条件矛盾.
§ 2
一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）
一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:
1.
连续性:
166
Th 1 设在D 上n
f −→−−→
−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续 , ⇒ )
(x f 在D 上连续.
证 ( 要证 : 对∈∀0x D , )(x f 在点0x 连续 . 即证: 对0>∀ε, 0>∃δ, 当 |δ<-|0x x 时, ⇒ ε<-|)()(|0x f x f . )
|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小 . ……
系 设在D 上)(x f n →)(x f . 若)(x f 在D 上间断 ，则函数列{)(x f n }在D 上 一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.
註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n }, 有 )(lim lim )(lim lim 0
0x f x f n x x n n n x x →∞→∞
→→=.
即极限次序可换 . 2. 可积性:
Th 2 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛 , 且每个)(x f n 在] , [b a 上连续. 则有
()⎰⎰
∞→∞
→=b a b
a
n n n
n dx x f dx x f )(lim )(lim .
证 设在] , [b a 上n
f −→−−→
−)(x f , 由Th1, 函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此
可积. 我们要证 ⎰
⎰=∞→b
a
b
a
n n dx x f dx x f )()(lim
. 注意到
167
⎰⎰⎰
-≤-b
a
n b a
b
a
n f f f f ||
, 可见只要a
b x f x f n -<-ε
|)()(|在] , [b a 上成立.
Th2的条件可减弱为: 用条件“)(x f n 在] , [b a 上( R )可积”代替条件“)(x f n 在
] , [b a 上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.
关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:
Th 设{)(x f n }是定义在区间] , [b a 上的函数列. 若{)(x f n }在] , [b a 上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(x f 在] , [b a 上( R )可积 , 且有 ⎰⎰
=∞→b
a
b
a
n n f f lim
.
参阅: 马振民 , ( R )可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然 科学版）1988.№4. 3. 可微性:
Th 3 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上, 在某个点∈0x ] , [b a 收敛. 对n ∀,
)(x f n 在] , [b a 上连续可导, 且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛,
则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛, 且有
()
)(lim )(lim x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞
→=.
证 设)(0x f n →A ，) (∞→n . )
(x f n '−→
−−→
−)(x g , ) (∞→n .
对∈∀x ] , [b a , 注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =)(0x f n +⎰
'x
x n dt t f 0
)(, 就有
∞
→n lim )(x f n =∞
→n lim )(0x f n + ∞
→n lim
⎰
'x
x n dt t f 0
)(= （ 对第二项交换极限与积分次序）
168
= A +
()d t t f x
x n n ⎰
'∞
→0)(lim = A +⎰
==x
x dt t g 0
)(令
)(x f .
(
估计 |)(0x f n +⎰'x x n dt t f 0
)( ― A ― ⎰≤x
x dt t g 0
|)(
≤|)(0x f n ―A | + |
()⎰-'x
x n
dt t g t f 0
|)()(, 可证得)
(x f
n
−→−−→
−)(x f .
)
)(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰x x dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim )(x f dx
d n .
即
()
=∞→)(lim x f dx d n n ∞→n lim )(x f dx
d
n . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 [1]P 49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )
例2 [1]P 50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )
Ex [1] P 52 1，2.
二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:
把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果. 参阅[1]P 51 Th13.11—13.13.
例3 [1]P 51 E3
例4 证明函数)(x f =
∑∞
=-1
n nx
ne
在区间) , 0 (∞+内连续.
169
证 ( 先证
∑∞
=-1
n nx
ne
在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0，有
na
nx
ne
ne
--≤≤0，∈x ] , [b a ；又
∑+∞<-na
ne
，⇒∑∞
=-1
n nx ne 在] , [b a 一致收敛.
( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+, )(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论 ,
∑∞
=-1
n nx ne 在区间] 2 , 2
[00
x x 上一致收敛; 又函数nx ne -连续, ⇒ )(x f 在区间] 2 , 2
[00
x x 上连续, ⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性, )(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.
例5 =
)(x S ∑∞
=-1
1
n n n
n
x , ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分
⎰
x
dt t S 0
)(.
Ex [1]P 52—53 3—8，9⑴，10 .。