2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末试卷理科数学(解析版)

2020年赤峰市高三期末考试试卷
理科数学
一、选择题
1.已知集合{
}
2
230A x x x =++=,{}lg 1B x x =<,则集合()
R A B =I ð( ) A. ()0,10 B. ∅
C. [)0,10
D. (]0,1
【答案】A 【解析】 【分析】
化简集合,A B ,根据补集定义和交集定义,即可求得答案. 【详解】Q {
}
2
230A x x x =++==∅
∴ R A R =ð
Q {}{}lg 1010B x x x x =<=<<
∴ (){}010R A B x x ⋂=<<ð
故选:A.
【点睛】本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于基础题.
2.若复数234a i
i +-为纯虚数,i 是虚数单位,则实数a =( ) A. 32- B. 32 C. 83
-
D.
8
3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,因为复数234a i
i
+-为纯虚数,则实部为0且虚部不为0联立方程,即可求得答案. 【详解】2(2)(34)3846
34(34)(34)2525
a i a i i a a z i i i i +++-+=
==+--+Q
Q复数
2
34
a i
i
+
-
为纯虚数
∴实部为0且虚部不为0
可得
380
460
a
a
-=
⎧
⎨
+≠
⎩
解得:
8
3
a=
故选:D.
【点睛】本题考查根据复数为纯虚数求参数,解题关键是掌握复数代数形式的乘除运算和复数的纯虚数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
3.下表是某城市在2019年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表,已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是()
A. 最低温与最高温为正相关
B. 每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加
C. 月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D. 1至4月温差(最高温减最低温)相对于7至10月,波动性更大
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,逐项分析,即可求得答案.
【详解】对于A,由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,故A正确;
对于B ,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为:
3.5,3,5,
4.5,12,20.5,23,26.5,28,1
5.5,-在前8个月不是逐月增加,故B 错误;
对于C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,故C 正确; 对于D,由C 的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大, 故D 正确. 故选:B.
【点睛】本题的解题关键是掌握正负相关的定义和掌握统计学的基本概念,考查了分析能力,属于基础题. 4.设函数()2
2
sin cos f x x x =-,则下列结论正确的是( )
A. ()f x 的最小正周期为2π
B. ()f x π+的一个零点为34π-
C. ()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
D. ()
f x 图象关于直线54
=
x π
对称 【答案】B 【解析】 分析】
将()2
2
sin cos f x x x =-,化简为()cos2f x x =-,根据余弦图像,逐项判断,即可求得答案.
【详解】Q ()()
2
2
2
2
sin cos cos sin cos 2f x x x x x x =-=--=-
对于A,Q ()cos2f x x =-,可得2ω= 根据余弦函数最小正周期计算公式可得:2T π
ω
=
可得:T π=,故A 错误;
对于B,Q ()cos2f x x =-
∴ ()()cos2cos2f x x x ππ+=-+=-
根据余弦函数图像可得()f x π+零点为:()02,2
x k k Z π
π=+∈
可得:()0,2
4
x k k Z π
π
=⋅
+
∈,
当2k =-时,034
x π
=-
,故B 正确; 对于C,Q ()cos2f x x =-
根据余弦函数图像可得增区间为:()222.k x k k Z πππ<<+∈
的【
∴ ().2
k x k k Z π
ππ<<+
∈,则
2
x π
π<<不是()f x 增区间,故C 错误;
对于D, Q ()cos2f x x =-
根据余弦函数图像可得其对称轴为:()02,x k k Z π=∈
∴ ()0,2
x k k Z π
=⋅
∈,则直线54
=
x π
不是()f x 对称轴,故D 错误; 故选: B .
【点睛】本题的解题关键是掌握余弦图像的基础知识,掌握整体代入求单调区间的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
5.函数()1ln f x x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
因为函数()1ln f x x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
,判断函数的奇偶性和单调性,结合图像,即可求得答案. 【详解】Q 函数()1ln f x x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
∴函数定义域为:(,0)(0,)-∞+∞U
11()ln ln ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛
⎫-=---=--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
∴函数()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的奇函数.
当01x <<时,2
ln 0,10x x <-< 则1()ln f x x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
222211111()1ln 1ln 0x f x x x x x x x x x -⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴=++-⋅=++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭'
∴ 此时函数()f x 是减函数
当1x >时,ln 0,x >
由21
0x x ->,可得10x x ->
∴ 1()ln 0f x x x x ⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭
综上所述,函数()1ln f x x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
是定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的奇函数. 当01x <<时,函数()f x 是减函数 当1x >时()0f x >
∴ 只有C 图像符合题意.
故选: C.
【点睛】本题考查了根据函数解析求解函数图像,解题关键是掌握奇偶性的定义和根据导数求函数单调性的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
6.设α、β、γ表示三个不同的平面,m n l 、、表示三条不同的直线,则αβ⊥的一个充分条件是( ) A. αγ⊥,βγ⊥
B. m αβ=I ,n β⊥
C. l α⊂,,m n β⊂,l m ⊥,l n ⊥
D. //m α,m β⊥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据充分条件的定义,逐项检验,即可求得答案.
【详解】对于A, 由αγ⊥,βγ⊥,不能推出αβ⊥,故A 错误; 对于B, 由m αβ=I ,n β⊥,不能推出αβ⊥,故B 错误;
对于C, 由一个平面内的一条直线垂直另一个平面的相交直线,则两个平面垂直.由,m n β⊂,无法判断,m n 是否相交,故由l α⊂,,m n β⊂,l m ⊥,l n ⊥,不能推出αβ⊥,故C 错误;
对于D, 根据一个平面内的一条直线垂直另一个平面,则这两个平面垂直,由//m α, m β⊥,则α中存在垂
直平面β的直线,可以推出αβ⊥,故D 正确. 故选:D.
【点睛】本题考查了求一个命题的充分条件,解题关键是掌握充分条件的定义和判断面面垂直的方法,考查了分析能力,属于基础题.
7.已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则 A. e π＜3e B. π23e －＜32e π－
C. log e π＞3log e
D. π3log e ＞3log e π
【答案】D 【解析】 【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出． 【详解】对于A ：函数y=x e 是（0，+∞）上的增函数，A 错；
对于B ：π3e ﹣2＜3πe ﹣2⇔3e ﹣3＜πe ﹣3，而函数y=x e ﹣3是（0，+∞）上的减函数，B 错； 对于C ：311
33
e e e e log e log e log log log log πππ⇔
⇔＞＞＜，而函数y=log e x 是（0，+∞）上的 增函数，C 错，
对于D ：333
33333
e e e e log e log e log log log log πππ
πππππ
⇔
⇔⇔＞＞
＞＞，D 正确； 故答案为：D ．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.已知双曲线22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线交双曲线右支于,P Q 两
点,且1PQ PF ⊥,若13
4
PQ PF =,则该双曲线离心率e =( ) A
【答案】C 【解析】
【分析】
由1PQ PF ⊥,13
4
PQ PF =
,可得1QF 与1PF 的关系,由双曲线的定义可得12122a PF PF QF QF =-=-,解得|1PF ,然后利用12Rt PF F ∆,推出,a c 的关系,可得双曲线的离心
率.
【详解】设,P Q 为双曲线右支上一点, 由1PQ PF ⊥,13
4
PQ PF =
, 在直角三角形1PF Q 中
115
4
QF PF =
=
由双曲线的定义可得:12122a PF PF QF QF =-=-
Q 13
4
PQ PF =
∴ 2213
4
PF QF PF +=
可得:11153
2244
PF a PF a PF -+
-= 1351444PF a ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
解得183
a PF =
21223
a PF PF a =-=
在12Rt PF F ∆中根据勾股定理:122c F F ==
解得:2c =
∴ c e a ==
故选:C.
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.设抛物线C :2
x py =(0p >)焦点为F ,点M 在C 上,且3MF =,若以MF
为直径的圆过点
)
,则C
的方程为( )
A. 2
4x y =或2
8x y =
B. 22x y =或2
4x y = C. 24x y =或2
16x y = D. 2
2x y =或2
16x y =
【答案】A 【解析】 【分析】
根据抛物线C :2x py =(0p >),可得其焦点坐标为:0,4p ⎛⎫ ⎪
⎝⎭,准线为4
p
y =-,设(),M x y ,故M 点到准线的距离为:
+4p y ,根据抛物线定义可得:+4
p
MF y =,画出图形,结合已知,即可求得答案. 【详解】设以MF 为直径的圆的圆心为N 画出几何图形:
Q 抛物线C :2x py =(0p >)
其焦点坐标为:0,
4p ⎛
⎫ ⎪
⎝⎭,准线为4
p
y =- 设(),M x y ,故M 点到准线的距离为:4
p
y + 根据抛物线定义可得:+4
p MF y =
∴ 344
p p y MF =-
=- 根据中点坐标公式可得:,M F 的中点N 为:2,22p y x ⎛⎫
+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
Q 以MF 为直径的圆过点
)
,根据几何关系可得:
2
x
= ∴
x =
∴ 4p M ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 代入2x py =
可得:(2
34p p ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,即:212320p p -+=
解得:4p =或8p =
∴C 的方程为:24x y =或28x y =
故选:A.
【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10.“31N +猜想”是指对于每一个正整数n ,若n 为偶数,则让它变成
2
n
;若n 为奇数,则让它变成31n +.如此循环,最终都会变成1,若数字45678、、、、按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( ) A.
4
5
B.
35
C.
25
D.
15
【答案】B 【解析】 【分析】
分别对数字45678、、、、按照若n 为偶数,则让它变成
2
n
;若n 为奇数,则让它变成31n +.如此循环,最终都会变成1,进行计算,即可求得变换次数为偶数的频率. 【详解】①当4n =,第1次运算为:422
=,第2次运算为:2
12=,运算次数为2;
②当5n =,第1次运算:35116⨯+=,第2次运算为:
16
82
=, 第3次运算为:
8
42=,第4次运算为:422=, 第5次运算为:
2
12
=,运算次数为5; ③当6n =,第1次运算为:
6
32
=,第2次运算为:33110⨯+=,
第3次运算为:10
52
=,第4次运算为:35116⨯+=, 第5次运算为:
1682=,第6次运算为:8
42
=, 第7次运算为:
422
=,第8次运算为:2
12=,运算次数为8;
④当7n =,第1次运算为:37122⨯+=,第2次运算为:22
112
=, 第3次运算为:311134⨯+=,第4次运算为:
34
172=, 第5次运算为:317152⨯+=,第6次运算为:52
262
=, 第7次运算为:26
132=,第8次运算为:313140⨯+=, 第9次运算为:40202=,第10次运算为:20102
=, 根据③可知当10n =,还需要6次运算,运算次数为16; ⑤当8n =,根据②可知当8n =,还需要3次运算,运算次数为3; 故数字45678、、、、按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为3次
∴ 变换次数为偶数的频率为:3
5
.
故选:B.
【点睛】本题考查了根据运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律,减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11.在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,则球O 的表面积为( ) A.
53
π
B. 2π
C. 5π
D.
203
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直,画出图像,求出此时的三棱锥P ABC -外接球的半径,即可求得答案. 【详解】当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直
画出立体图像:
设PBC ∆外接圆圆心为M ,ABC ∆外接圆圆心为N ,P ABC -外接球的半径为R , 取BC 中点为Q
Q PBC ∆等边三角形
∴ PQ BC ⊥
又Q 面ABC ⊥面PBC 垂直
∴ PQ ⊥面ABC Q AQ ⊂面ABC
∴ PQ ⊥AQ
Q ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形
∴ 可得ABC ∆与PBC ∆外接圆半径为:3
即AN PM ==
则NQ MQ == 又Q OM ⊥面PBC ,ON ⊥面ABC
∴ 四边形OMNQ 是正方形,
NQ MQ OM ON ∴====
在Rt PMO V 中有:2
2
2
PO OM PM =+
解得: 22
2
53612PO ⎛⎛=+= ⎝⎭⎝⎭
故P ABC -外接球的半径为2
512
R =
Q 球的表面积公式为:25544123
S R πππ==⨯
= 故选:A.
【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
12.设曲线1C :1x m
y e
+=-(0m >)上一点()11,A x y ,曲线2C :ln y x =上一点()22,B x y ,当12y y =时,对于任意1x 、2x ,都有2
AB e ≥恒成立,则m 的最小值为( )
A. 1
B.
C. 1e -
D. 2e 1-
【答案】D 【解析】 【分析】
因为()11,A x y 在曲线1C :1x m
y e
+=-上,可得111x m y e +=-,解得:()11ln 1x y m =+-, ()22,B x y 在曲线2C :ln y x =上,可得22ln y x =,解得:22y x e =, 结合已知可得:()1211ln 1y AB x x e y m ⎡⎤=-=-+-⎣⎦,通过
构造函数()()ln 1x
f x e x m =-++,求其最值,即可求得答案.
【详解】Q ()11,A x y 在曲线1C :1x m
y e
+=-上 ∴ 111x m y e +=-,解得:()11ln 1x y m =+- Q ()22,B x y 在曲线2C :ln y x =上
∴ 22ln y x =,解得:22y x e =
根据曲线1C 和曲线2C 图像可知:21x x >,可得2
21x x e -≥
∴ ()2211ln 1y AB x x e y m ⎡⎤=-=-+-⎣⎦
Q 12y y =,可得()1211ln 1y AB x x e y m ⎡⎤=-=-+-⎣⎦
令1y x = 则()()()ln 1ln 1x
x
f x e x m e x m ⎡⎤=-+-=-++⎣⎦
∴ ()()11111
x x
e x
f x e x x +-=-=
'++ 当0x >,()0f x '>
∴ 在0x >上()f x 是单调增函数,()()01f x f m >=+
即1AB m >+ 要保证2
AB e ≥恒成立
只需保证21m e +≥,即21m e ≥-
∴m 的最小值为:2e 1-.
故选:D.
【点睛】本题考查了根据构造函数求解不等式恒成立问题,解题关键是掌握对数函数和指数函数的基础知识,和通过构造函数求解不等式恒成立的解法,考查了分析能力和转化能力,属于难题.
二、填空题
13.设a r ,b r ,c r
是单位向量,c a ⊥r r ,c b ⊥r r ,a r ,b r 的夹角为60︒,则a b c ++=r r r ______.
【答案】2 【解析】 【分析】
因为a r
,b r
,c r 是单位向量,c a ⊥r r
,c b ⊥r
r
,a r
,b r
的夹角为60︒,根据向量数量积公式可得: 0c a ⋅=r r
,
0c b ⋅=r r ,1cos 602
a b a b ︒
⋅=⋅⋅=r r r r ,求2a b c ++r r r 的值,即可求得答案.
【详解】Q a r ,b r ,c r 是单位向量
∴ 1a b c ===r r r
又Q c a ⊥r
r ,c b ⊥r r
,a r ,b r
的夹角为60︒
根据向量数量积公式可得: 0c a ⋅=r r ,0c b ⋅=r r ,1cos 602
a b a b ︒
⋅=⋅⋅=r r r r
Q ()()
()2222+2+2+2a b c a b c a b a c b c ++=++⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r
= 111+1+0+04++=
∴ 2a b c ++=r r r
故答案为:2.
【点睛】本题考查了求向量的模长,解题关键是掌握向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
14.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对
(),x y ,再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ;最后再根据统计数m 来估计π的值.
假如统计结果是60m =那么可以估计π=______. 【答案】
16
5
（或写成3.2） 【解析】 【分析】
由试验结果知200对0~1之间的均匀随机数,x y ,对应区域的面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y ,满足2
2
1x y +<且,x y 都小1,1x y +>,面积为
1
4
2
π
-
,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等,即可求得答案.
【详解】
Q 由试验结果知200对0~1之间的均匀随机数,x y ,对应区域的面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y ,满足2
2
1x y +<且,x y 都小1,1x y +>,面积为
1
42
π
- 又Q 几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等,
Q 统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数60,m =
∴
601
20042
π=- ∴ 解题16
5π=
故答案为:16
5.
【点睛】本题考查了用概率的方法估计圆周率,解题关键是掌握几何型概率计算公式,考查了分析能力和转化能力,属于中档题.
15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．
【答案】 (1). 12 (2). 90 【解析】 【分析】
由题目分析，可设这个足球有正五边形皮子x 块，则根据题意可得等量关系式：正六边形的块数×3=正五边形的块数×5，由此可以解出正五边形个数，根据两条边组成一条棱，因此可求棱的条数． 【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起； 每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起， 另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.
所以设这个足球有x 块正五边形，一共有5x 条边，其中白皮三条边和黑皮相连， 又足球表面中的正六边形的面为20个， 根据题意可得方程：5203x =⨯， 解得12x =，
该足球表面中的正五边形的面为12个； 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱， 所以每条棱由两条边组成，
该足球表面的棱为：()125+206290⨯⨯÷=条. 故答案为：12；90.
【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题，考查想象能力与转化能力，属于中等题.
16.已知等差数列{}n a 中,首项12a =,公差0d ≠,若123,,,,,n k k k k a a a a ⋯⋯成等比数列,且11k =,23k =,
311k =,则数列{}n k 的通项公式是______.
【答案】()2121
,3
n n k n -*+=∈N
【解析】 【分析】
根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比,结合已知,即可求得答案.
【详解】Q 等差数列{}n a ,首项12a =,公差0d ≠,123,,,,,n k k k k a a a a ⋯⋯成等比数列, 且11k =,23k =,311k =
∴ 2
3111a a a =⋅,
即2(22)2(210)d d +=⋅+,
整理可得28420d d d +=,即(3)0d d -= 解得:3d =或0d =(舍去)
∴ 31n a n =-
31n k n a k ∴=-
又等比数列1311,,a a a 的公比为318
42
a q a =
== 13124n n k n a k -∴=-=⨯
整理可得:()2121
,3n n k n -*+=∈N
故答案为:()2121
,3
n n k n -*+=∈N .
【点睛】本题考查了求数列的通项公式,解题关键是掌握求数列通项的解题方法,灵活使用等差数列和等比数列的通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
三、解答题
17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足()()cos 3cos 3cos a B C c b A -=-.
（1）求
c
b
的值; （2）若角23
C π
=,4a =,求ABC ∆的周长.
【答案】（1）3 （2
）5【解析】 【分析】
（1）由题设及正弦定理得:sin cos 3cos sin 3sin cos sin cos A B C A C A B A -=-
即()()sin 3sin A B C A +=+,结合180A B C ++=o ,即可求得答案;
（2）由已知及余弦定理得:222
24cos 324b c b
π+-=
⋅⋅,由（1）3c b =,即可求得b ,进而求得ABC ∆的周长. 【详解】（1）由题设及正弦定理得:
sin cos 3cos sin 3sin cos sin cos A B C A C A B A -=-,
整理得sin cos sin cos 3sin cos 3cos sin A B B A C A C A +=+, 即()()sin 3sin A B C A +=+,
Q 180A B C ++=o ,
∴ sin 3sin C B =,
由正弦定理得
3c
b
=. （2）由已知及余弦定理得:22224cos 324b c b π+-=
⋅⋅——
① Q 由（1）
3c
b
=,即3c b =——② 将②代入①可得: 222491
242b b b +-=-⋅⋅
∴2240b b --=,
∴b =,
∴ABC ∆的周长为1444454
a b c b ++=+=+⋅=+
【点睛】本题考查了根据正弦定理和余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是平行四边形,2AC AB AD ===,
AC BD 、交于点,O E 是PB 上一点.
（1）求证:AC DE ⊥;
（2）已知二面角A PD B --的余弦值为
3
4
,若E 为PB 的中点,求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】
（1）将求证AC DE ⊥,转换为求证AC ⊥平面PBD ,即可求得答案;
（2）连OE ,在PBD ∆中//OE PD ,所以OE ⊥平面ABCD 分别以OA u u u r ,OB uuu r ,OE uuu
r 为x 轴,y 轴,z 轴的正
方向建立空间直角坐标系,求得EC uuu r
与平面PAB 法向量的夹角的余弦值,即可求得答案. 【详解】（1）Q PD ⊥平面ABCD ,
∴ PD AC ⊥,
又Q 四边形ABCD 为菱形,
∴BD AC ⊥,又BD PD D =I , ∴AC ⊥平面PBD ,DE ⊂平面PBD , ∴AC DE ⊥.
（2）连OE ,在PBD ∆中//OE PD ,如图:
∴OE ⊥平面ABCD
分别以OA u u u r ,OB uuu r ,OE uuu
r 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设PD t =,则()1,0,0A
,(
)
B
,()1,0,0C -,0,0,2
t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,()
0,P t .
由（1）知,平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =u r
, 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r
,
∴ 2200n AB n AP ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v ,
即00x x tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩, 令1y =,
则2n t =⎭u u r ,
Q 二面角A PB D --的余弦值为
3
4
,
∴
123
cos ,4n n =
=u r u u r , ∴3t =,
设EC 与平面PAB 所成角为θ,
Q 31,0,2EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r
,23n =⎭
u u r ,
∴2sin cos ,2EC n θ==
=
=u u u r r . 【点睛】本题考查了异面直线垂直和用向量法求线面角,解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的方法和用向量法求线面角的解法,考查了计算能力和空间想象能力,属于中档题.
19.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组,在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按10000人计算,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国APP ”的概率均为p (某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p =
学习时长
调查总时长
,01p <<),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上
浏览“学习强国”的时间(单位:min ),得到下面的频数表,以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每
个人的学习时间.
（1）试估计p 的值;
（2）设X 表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ; ②若随机变量Z 满足X E X Z -=
,可认为()~0,1Z N .假设当49505100X <≤时,表示社区处于最佳
的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数). 附:若()
2
~,Z N
μσ则()0.6827P Z μσμσ-<≤+≈,()220.9545P Z μσμσ-<≤+≈,
()330.9973P Z μσμσ-<≤+≈.
【答案】（1）1
2
（2）①()5000E X =,()2500
D X =②123(min ) 【解析】 【分析】
（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:
550.1650.2750.4850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,即可求得答案;
（2）根据题意,1~10000,2X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
,根据()E X np =,()()1D X np p =-,即可求得X 的数学期望()E X 和
方差()D X .1
10050Z X ==-,当49505100X <<时,12Z -<≤,()~0,1Z N ,即可求得答案.
【详解】（1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为:
550.1650.2750.4850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(min ),
而调查总时长为150(min ),故751
1502
p =
=.
（2）①根据题意,1~10000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故()1
1000050002
E X np ==⨯
=, ()()11
110000250022
D X np p =-=⨯⨯=.
②1
10050Z X =
=-, 当49505100X <<时,12Z -<≤,()~0,1Z N ,
()()0.95450.6827
1220.95450.81862
P Z P Z μσμσ--<≤=-<≤+≈-
=.
故()()49505100120.8186P Z P Z <≤=-<≤≈.
∴ 估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为1500.8186123⨯≈(min ).
【点睛】本题考查了根据频率估计概率,求数据的期望和方差,解题关键是掌握统计学的基础知识和掌握期望,方差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
20.已知椭圆E :22
221x y a b
+=(0a b >>)
经过点)
0A
和()2,1B -.
（1）求椭圆E 的标准方程;
（2）过()1,0P 的直线MN 交椭圆E 于,M N 两点,若,m n 分别为BM BN ⋅u u u u r u u u r
的最大值和最小值,求m n +的值.
【答案】（1）22
1
63
x y +=（2）132 【解析】 【分析】
（1）由椭圆E :22
221x y a b
+=
的右顶点为)
0A
,得2
6a =,又椭圆E :22
221x y a b
+=过点()2,1B -,则241
16b
+=,解得23b =,即可求得答案. （2）当直线MN 斜率存在时,设MN 的方程为()1y k x =-,()11,M x y ,()22,N x y ,
由()22
1631x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消掉y 得()2
22216x k x +-=,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】（1）Q 由椭圆E :22221x y
a b
+=
的右顶点为)
0A
,
∴ 26a =,
又Q 椭圆E :22
221x y
a b
+=过点()2,1B -,
∴
241
16b
+=,解得23b = ∴ 椭圆E 的标准方程为:22
163
x y +=.
（2）当直线MN 斜率存在时,
设MN 的方程为()1y k x =-,()11,M x y ,()22,N x y ,
由()22
1631x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消掉y 得()2
22216x k x +-=, 即(
)2
2
22124260k
x
k x k +-+-=,
Q ()1,0在椭圆内部,>0∆,
根据韦达定理可得:2
122
2
1224122621k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
∴ ()()()()12122211BM BN x x y y ⋅=+++--u u u u v u u u v
()()()1212122411x x x x kx k kx k =++++---- ()()()22212121225k x x k k x x k k =++--++++③,
将①②代入③得:
()()2222
22226412252121
k k BM BN k k k k k k k -⋅=++--+++++u u u u r u u u r ,
t BM BN =⋅u u u u r u u u r
, ∴ 22152121
k k t k +-=+,
∴()2152210t k k t -+--=,k ∈R , ∴()()22415210t t ∆=+-+≥ ∴()()215110t t -+-≤,
即2213160t t --≤,
又,m n 是2213160t t --=两个根,132
m n +=
, 当直线MN 斜率不存在时,联立22
163
1
x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得y =
不妨设M ⎛ ⎝⎭
,1,N ⎛ ⎝⎭
, 3,12BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r
,3,12BN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,
10159142BM BN ⋅=-+=u u u u r u u u r ,
可知15
2
n m <<. 综上所述:132
m n +=. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程和椭圆中的最值问题,解题关键是掌握椭圆的基础知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
21.已知函数()()2
ln 11
x e ax a x x f x --+--=,a 为常数,当()1,3x ∈时,()f x 有三个极值点1x ,2x ,3x (其
中123x x x <<).
（1）求实数a 的取值范围; （2）求证:1313x x x x <+. 【答案】（1）12
e
a <<（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）函数
()
f x 函数的定义域为()1,+∞,由()()2ln 11
x e
ax a x x f x --+--=,得
()
()()
()
2
2
21x e ax a x f x x --+-'=
-,令()0f x '=,得2x =是一个根,要使()f x 在()1,3上有三个极值点1x ,
2x ,3x ,则()0f x '=有三个解,结合已知,即可求得答案;
（2）由(1)知1x ,3x 是方程20x e ax a --+=在()1,3内的2个解, 11332
12311
x x x x x e e e x ----==-,令11x α-=,
31x β-=,e αβαβ-=
,即
ln ln 1αβ
αβ
-=-,要证1313x x x x <+.只要证1αβ<,即可求得答案. 【详解】（1）函数()f x 函数的定义域为()1,+∞,
由()()2
ln 11
x e
ax a x x f x --+--=,得()
()()
()
2
2
21x e ax a x f x x --+-'=
-,
令()0f x '=,得2x =是一个根,要使()f x 在()1,3上有三个极值点1x ,2x ,3x , 则()0f x '=有三个解,所以20x e ax a --+=在()1,3必有2个解1x ,3x .
Q 2
1
x e a x -=-, 令()2
1x e g x x -=-,则()()()
22
21x e x g x x --'=-, 由()013
g x x ⎧>⎨
<<'⎩,得23x <<,
由()0
13g x x ⎧<⎨<<'⎩
,得12x <<,
∴ ()g x 在()1,2上单调递减,()2,3上单调递增, ∴()()min 21g x g ==,当1x →时,()g x →+∞,()32
e
g =
, 为了满足题意,必有12e a <<
, ∴a 的取值范围为12
e
a <<.
（2）由(1)知1x ,3x 是方程20x e ax a --+=在()1,3内的2个解,
∴121x e ax a -=-,323x e ax a -=-,
∴1133
2
12311
x x x x x e e e x ----==-, 令11x α-=,31x β-=,
则e
αβ
αβ-=,即
ln ln 1αβ
αβ
-=-, 要证1313x x x x <+. 只要证1αβ<
Q 01αβ<<<,
∴12
β<
, 结合函数ln y x =的图像知, 两点(),ln αα,1
1,ln α
α⎛⎫
⎪⎝⎭连线的斜率比两点(),ln αα,(),ln ββ连线的斜率小, 即只要证:
1
ln ln
11αααα
-<-,即:12ln 0ααα-+>,(01αβ<<<). 令()1
2ln h αααα
-+=
(01α<<),
∴ ()()
2
2
2
11
2
10h α
α
ααα
--=
'=-
-+
<,
∴ ()h α在()0,1单调递减, ∴()()10h h α>=, ∴1313x x x x <+.
【点睛】本题考查了根据指定区间上的零点个数取参数范围和根据导数证明不等式,解题关键是掌握极点的求法和将不等式成立问题转化为函数的最值问题的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 22.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
4
3cos 2ρθ
=
-，以极点为原点，以极轴所在直线为x 轴建立直
角坐标系，曲线C 分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于点A ，B ，P 为直线AB 上任意一点，点Q 在射线
OP 上运动，且OP OQ ⋅=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求点Q 轨迹围成的面积．
【答案】（1）2
212x y +=（2）3π4
．
【解析】 【分析】
（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.
（2）由（1）知)
A
，()0,1B ，则可求直线AB 的极坐标方程为cos sin 0ρθθ-=，在
极坐标系中，设(),Q ρθ，(),P ρθ'，则ρρ'=
P 在直线AB 上cos sin 0ρθθ''=，
代入与Q 点关系即可得到Q 的轨迹方程2
cos sin 0θθρ
ρ
+
=，化简并转化为直角坐标方程可得轨
迹为圆，求圆面积即可. 【详解】（1）∵2
43cos 2ρθ
=
-，∵()2222
3cos sin 4ρρθθ--=．
由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩得22
22x y +=，
∵曲线C 的直角坐标方程2
212
x y +=．
（2）由（1）知)
A
，()0,1B ，
则直线AB 的直角坐标方程为0x =，
极坐标方程为cos sin 0ρθθ+=．
在极坐标系中，设(),Q ρθ，(),P ρθ'，则ρρ'=
∵点P 在直线AB 上，∵cos sin 0ρθθ''=，
∵
2
cos sin 0θθρ
ρ
+
=，
即cos ρθθ=+，即2cos sin ρρθθ=+．
∵点Q 轨迹的直角坐标方程为220x y x +--=，
即2
2
13224x y ⎛⎛
⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
∵点Q 的轨迹为半径为
2
的圆，圆的面积为3π4．
【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，求轨迹方程问题，考察转化与化归思想，属于中等题. 23.设函数()3f x x m x m =-+-,m N *∈,存在实数x ,使得()4f x <成立. （1）求不等式()2f x x ≤的解集:
（2）若3a ≥,3b ≥,且满足()()12f a f b +=,求证:419
10
a b +≥. 【答案】（1）[
)1,+∞（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）因为函数()3f x x m x m =-+-,m N *∈,存在实数x ,使得()4f x <成立,所以
()()3324x m x m x m x m m -+-≥---=<,解得1m =,即可求解()132f x x x x =-+-≤;
（2）由(1)知()()1313f a f b a a b b +=-+-+-+-,3a ≥,3b ≥,
()()22812f a f b a b +=+-=,即;10a b +=,根据均值不等式,即可求证:419
10
a b +≥.
【详解】（1）Q 函数()3f x x m x m =-+-,m N *∈,存在实数x ,使得()4f x <成立
∴ ()()3324x m x m x m x m m -+-≥---=<,
又Q m N *∈,
∴ 1m =,
∴()132f x x x x =-+-≤等价于:
1242x x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1322x x <<⎧⎨
≤⎩或3
242x x x
≥⎧⎨-≤⎩. 解得1x =或13x <<或3x ≥,
∴不等式()2f x x ≤的解集为:[)1,+∞.
（2）由（1）知()()1313f a f b a a b b +=-+-+-+-,
Q 3a ≥,3b ≥,
∴()()22812f a f b a b +=+-=,即:10a b +=,
∴
()4114114195510101010
b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. ∴当且仅当
4b a a b =时等号成立,即203
a =,10
3b =时等号成立. 【点睛】本题考查了求解带有绝对值的不等式和根据均值不等式证明不等式,解题关键是掌握带有绝对值不等式的解法和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。