圆中常见地辅助线

圆中常见辅助线的做法
一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD
证明:过O 作OE ⊥AB 于E
∵O 为圆心，OE ⊥AB
∴AE = BE CE = DE
∴AC = BD
练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，PA = 4cm.求⊙O 的半径.
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证： AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD
∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点
∴OM =
12AO 、ON = 12
BO ∵OA = OB ∴OM = ON
∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =
（二）连结AC 、OC 、OD 、BD
∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD
∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =
3.有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM 、ON
∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点
∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM
∵∠AMN = 90o
－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、
C 、
D 、B.求证：AC = BD
证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N
∴
1122O M O P
O N O P
= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD
二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE
证明：连结OC
∵C 为弧AB 的中点 ∴AB BC = ∴∠AOC =∠BOC
∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO
∴OD = OE = 12AO = 1
2
BO
又∵OC = OC ∴△ODC ≌△OEC
∴CD = CE
三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线交⊙
O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o
∵AC = PC
∴AC = CD =1
2
AP
P
例（2005年自贡市）如图2，P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C 。

求证：PA 是⊙O 的切线。

证明：作⊙O 的直径AD ，连BD ，则
∠=∠∠=︒C D ABD ,90 即∠+∠=︒D BAD 90
∴∠+∠=︒C BAD 90 ∵∠=∠C PAB
∴∠+∠=︒BAD PAB 90 即AP AD ⊥ ∴PA 为⊙O 的切线。

四．遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA = 90o
,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E ，D 为AC 中点，连结BD 交⊙O 于F.求证：
BC CF
BE EF
=
五.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图）
2题图
A 1题图
B
六.有弦中点时，常构造三角形中位线.
例：已知，如图，在⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC 于E ，求证：OE =
12
AD 证明：作直径CF ，连结DF 、BF
∵CF 为⊙O 的直径 ∴CD ⊥FD 又∵CD ⊥AB ∴AB ∥DF
∴AD BF =
∴AD = BF
∵OE ⊥BC O 为圆心 CO = FO ∴CE = BE ∴OE =12
BF ∴OE =
12
AD 七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.
例：如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠FAC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：
AB ·AC = AD ·AE 证明：连结BE
∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1
∴∠3 =∠2
∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E
∴△ABE ∽△ADC
∴
AE AB
AC AD
=
∴AB ·AC = AD ·AE
八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别
交⊙O 1、⊙O 2于E 、F.求证：CE ∥DF 证明：连结AB
∵四边形为圆内接四边形
∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D
∵∠ABF ＋∠ABE = 180o
∴∠C ＋∠D = 180o
∴CE ∥DF
九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
求证：PA、PB为⊙O的切线
证明：连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理：PB也为⊙O的切线
例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线
证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径，AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD, AB = CD
∴OF = OE
∴CD为小圆的切线
练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,
求证：PE是⊙O的切线
十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.
解：连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC ∴OE∥BC
∴OE AO BC AB
=
在Rt△ABC中，
15 ==
∴
15
915 OE AB OB OE
AB
--
==
∴OE = OB = 45 8
∴BD = 2OB = 45 4
∴AD = AB－DB = 15－45
4
=
15
4
答：AD的长为15
4
.
P
C
A
练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CD
十一． 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：
①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

十二．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。

在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。

十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；② 利用解直角三角形的有关知识。

十五．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用： ①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； ②利用圆内接四边形的性质；
E
③利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。

1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作直线CD 、EF ，且CD//EF ，与两圆相交于C 、D 、E 、F 。

求证：CE ＝DF 。

图1
分析：CE 和DF 分别是⊙O 1和⊙O 2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB ，则可得圆内接四边形ABEC 和ABFD ，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

证明：连结AB
因为∠=∠∠=∠DAB E CAB F ， 又∠+∠=DAB CAB 180
所以∠+∠=E F 180
即CE//DF 又CD//EF
所以四边形CEFD 为平行四边形 即CE ＝DF 2.作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为62和43，公共弦长为12。

求
∠O AO 12的度数。

图2
分析：公共弦AB 可位于圆心O 1、O 2同侧或异侧，要求∠O AO 12的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB 位于O 1、O 2异侧时，如图2。

连结O 1、O 2，交AB 于C ，则O O AB 12⊥。

分别在Rt AO C ∆1和Rt AO C ∆2中，利用锐角
三角函数可求得 ∠=∠=O AC O AC 124530
， 故∠=∠+∠=O AO O AC O AC 121275
当AB 位于O 1、O 2同侧时，如图
3
图3
则∠=∠-∠=O AO O AC O AC 121215
综上可知∠=O AO 1275
或15
例2：已知，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦AC 切⊙O 2于A ，过B 作直线交两圆于D 、E 。

求证：DC ∥AE 。

分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB, 由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E 即得证。

练习：如图⊙O 1和⊙O 2都经过A 、B 两点。

经过点A 的直线CD 与⊙ O 1交于点C ，与⊙ O 2
交于点D ；经过点B 的直线EF 于⊙ O 1交于点E ，与⊙ O 2交于点F 。

求证：CE ∥
DF.
例、如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。

求证： MN ⊥AB 。

C D
E M N G A B
O O F 图
分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，
必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN ⊥AB。

交EF于G => MN⊥O1O2。

证明连结O
DO1=O1A，CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位线 => O1O2//AB =>∠EFA=∠EGO1=Rt∠ => MN⊥AB
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。

十六．遇到两圆相切时
两个相切圆不离公切线
常常作连心线、公切线。

作用：①利用连心线性质；
②弦切角性质；
③切线性质等。

例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。

求证PC平分∠BPD。

图4
BPC DPC
分析：要证PC平分∠BPD，即证∠=∠
而∠BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明。

若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
BPC TPB TPC
易知∠=∠+∠
TPB A
由弦切角定理，得∠=∠
又∠DPC是∆APC的一个外角
DPC A ACP
所以∠=∠+∠
TPC ACP
又∠=∠
BPC DPC
从而有∠=∠
即PC平分∠BPD
例3:已知, ⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙ O2于C。

求证：AB⊥AC(人教版课本P87例4）
分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A 作两圆的公切线,则∠1=∠2, ∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=90即AB ⊥AC 。

分析2： 口诀“两圆三圆连心线”，连结O 1O 2、O 1B 、O 2C,则点A 在O 1O 2上,易知O 1B ∥O 2C,显然∠1+∠2=90,故AB ⊥AC
1.相切两圆常添公切线作辅助线.
例2 如图2,已知⊙O 1、⊙O 2外切于点P ，A 是⊙O 1上一点，直线AC 切⊙O 2于点C ，交⊙O 1一点B ，直线AP 交⊙O 2于点D .(1)求证:PC 平分∠BPD;(2)将“⊙O 1与⊙O 2外切于点P ”改为“⊙O 1、⊙O 2内切于点P ”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论(武汉市中考题）.
证明:(1)过P 点作两圆公切线PQ ∵∠QPC=∠PCQ,
∠QPB=∠A, ∠CPD=∠A+∠QCP ，
∴∠CPD=∠CPB, 即PC 平分∠BPD (2)上述结论仍然成立.
如图3,过点P 作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.
∴∠BPC=∠MPC －∠MPB=∠BCP －∠A=∠CPA, ∴PC 平分∠BPD. 说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.
2、遇到三个圆两两外切时 两圆三圆连心线 常常作每两个圆的连心线。

作用：可利用连心线性质。

A
D Q O O C B 图2
A D
P
O C B
图3
M P
文案大全
3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线
例3 如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题).
解:连O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，过O 1作AO 1⊥O 2O 3交⊙O 1于A ，交O 2O 3于B ∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3是等圆, ∴△O 1O 2O 3是等边三角形.
说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.
十七．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。

作用：以便利用圆的性质。

过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。

例5. 如图6，⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，两外公切线PCD 和PBA 切⊙O 1、⊙O 2于点C 、D 、B 、A ，且其夹角为60
，AB =23，求两圆的半径。

图6
分析：如图6，连结O 1O 2、O 1A 、O 2B ，过点O 2作O E O A 21⊥，构造Rt O O E ∆12，下面很容易求出结果。

十八．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
例10 如图10，⊙O 1与⊙O 2相交于 A 、B 两点，且O 2在⊙O 1上，点P 在⊙O 1上， 点Q 在⊙O 2上，若∠APB=40°，求∠AQB 的度数。

分析 连结O 2A 、O 2B ，在⊙O 1中利用
P A Q B O 2 O 1
. 图 10
图4
A O 1 O 2
O 3
B
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圆内接四边形性质求得∠AO 2B=140°，在⊙O 2中， ∠AQB=1/2∠AO 2B=70°。

切点三角形是直角三角形的应用.
例4 如图5,⊙O 1与⊙O 2外切于点C, ⊙O 1与⊙O 2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A 、B,且A=4,BC=5.
(1)求线段AB 长；(2)证明：PC 2
=PA •PB.(2002年杭州市中考题) 解：(1)过C 作两圆公切线CQ,交AB 于Q ∵QA=QC=QB=
2
1
AB ∴∠ACB=90° ∵AC=4 BC=5 ∴AB=41
(2)∵∠ACB=90° ∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,
从而∠PCA=∠PBC. ∵∠P=∠P, ∴△PCA ∽△PBC ∴PC 2
=PA •PB
说明:A 、B 、C 为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果.
辅助线，莫乱添，规律方法记心间； 弦和弦心距，亲密紧相连； 切点与圆心连线要领先； 两个相交圆不离公共弦； 两个相切圆不离公切线；
两圆三圆连心线，四点是否有共圆； 直角相对或共弦，应当想想辅助圆； 要证直线是切线，还看是否有共点； 直线和圆有共点，连出半径辅助线； 直线和圆无共点，得过圆心作垂线； 若遇直径想直角，灵活运用才方便。

P
A
Q B O O C 1 2
图5。