广东初三初中数学月考试卷带答案解析

广东初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.方程x2=3x的根是
A．3B．﹣3或0C．3或0D．0
2.如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是
3.若反比例函数的图象经过点A（3，m），则m的值是
A．﹣3B．3C．D．
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是
A．B．C．D．
5.如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是
A．B．C．D．
6.如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为A．
7.8米B．3.2米C．2.3米D．1.5米
7.某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为
A．100x（1﹣2x）=90B．100（1+2x）=90C．100（1+x）2=90D．100（1﹣x）2=90
8.关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是
A．抛物线开口方向向下B．当x=3时，函数有最大值-2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由经过平移得到
9.正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是
A ．
B ．32
C ．64
D ．128
10.如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90o ,反比例函数
经过另一条直角边AC 的中点D ，
，则k=
A ．2
B ．4
C ．6
D ．3
11.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1，3，则下列结论正确的个数有①ac ＜
0 ②2a+b=0 ③4a+2b+c ＞0 ④对于任意x 均有ax 2+bx≥a+b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12.如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则下列结论：① △ODC 是等边三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°； ④S △AOE =S △COE ，其中正确的结论的个数有
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
1. .
2.关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
3.如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，若点B 的坐标为（2，4），点E 的坐标为
（﹣1，2），则点P 的坐标为
4.如图，矩形ABCD 中，AD=4，∠CAB=30o ，点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段CD 上的动点，则AQ+QP
的最小值是
三、计算题
计算：
四、解答题
1.九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，求选派到的代表是A的概率；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
2.2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨。

梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台
风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。

已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°, AD=3m。

（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度。

（结果保留根号）
3.如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连
接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠DPF的值．
4.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长AO交反比例函数图象于点C，
连接OB
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由。

5.东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y(件)的关
系如下表：
若每天的销售量y(件)是销售单价x（元）的一次函数
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最
大利润？此时最大利润是多少？
（3）若东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该
如何确定“童乐”牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围。

6.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．
广东初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.方程x2=3x的根是
A．3B．﹣3或0C．3或0D．0
【答案】C
【解析】x2=3x，x2-3x=0，x(x-3)=0,x=0,x-3=0,所以x=0或3，故选：C.
【考点】一元二次方程的根.
2.如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是
【答案】B
【解析】根据几何体的俯视图的定义可知： B符合题意，故选：B.
【考点】几何体的俯视图
3.若反比例函数的图象经过点A（3，m），则m的值是
A．﹣3B．3C．D．
【答案】C
【解析】把点A（3，m）代入，得m=，故选：C.
【考点】反比例函数
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，所以c=5，所以cosA=，故选：A.
【考点】锐角三角函数.
5.如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】画树状图得：
所以共6种情况；两个数字之积为奇数的2种．故P（奇数）=，故选:A.
【考点】简单事件的概率.
6.如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为A．
7.8米B．3.2米C．2.3米D．1.5米
【答案】B
【解析】因为在太阳光下，同一时刻，物体的高度与影长成比例，所以设棵树的高度为x米，则，所以x=3.2，故选：B.
【考点】比例的性质.
7.某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为
A．100x（1﹣2x）=90B．100（1+2x）=90C．100（1+x）2=90D．100（1﹣x）2=90
【答案】D
【解析】因为商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，所以两次降价后的价格是100（1﹣x）2元，所以可列方程：100（1﹣x）2=90，故选：D.
【考点】一元二次方程的应用.
8.关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是
A．抛物线开口方向向下B．当x=3时，函数有最大值-2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由经过平移得到
【答案】D 【解析】二次函数
，因为a=
＜0，所以抛物线开口方向向下，所以A 正确；又顶点为（3，
-2），所以当x=3时，函数有最大值-2，故B 正确；当x ＞3时，y 随x 的增大而减小，当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，所以C 正确；二次函数由
经过平移得到，所以D 错误；故选：D.
【考点】二次函数的图象与性质.
9.正方形ABCD 的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是
A ．
B ．32
C ．64
D ．128
【答案】B
【解析】因为正方形是特殊的菱形，又正方形ABCD 的一条对角线长为8，所以正方形的面积=，故
选：B.
【考点】正方形的性质.
10.如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90o ,反比例函数
经过另一条直角边AC 的中点D ，
，则k=
A ．2
B ．4
C ．6
D ．3
【答案】D
【解析】因为点D 是边AC 的中点，又
，所以
，又
，所以
，因为双曲线在
一三象限，所以k=3，故选：D. 【考点】反比例函数的性质.
11.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1，3，则下列结论正确的个数有①ac ＜
0 ②2a+b=0 ③4a+2b+c ＞0 ④对于任意x 均有ax 2+bx≥a+b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】因为抛物线开口向上，所以a ＞0，又交y 轴与负半轴，所以c ＜0，所以ac ＜0，所以①正确；又二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1，3，所以对称轴为x=1，所以
，因此2a+b=0，所
以②正确；观察图形可知：当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，所以③错误；对于任意x 均有ax 2+bx≥a+b ，所以④正确，所以①②④正确，故选：C. 【考点】抛物线的性质.
12.如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则下列结论：① △ODC 是等边三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°； ④S △AOE =S △COE ，其中正确的结论的个数有
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，<BR>∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∠ABC=90°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S
△AOE =S
△COE
，∴④正
确；故选C．
【考点】矩形的性质.
二、填空题
1. .
【答案】1
【解析】.
【考点】特殊角的三角函数值.
2.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．
【答案】＜2且k≠1
【解析】因为关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，所以＞0，解得k＜2，又k-10，所以k≠1，所以实数k的取值范围是＜2且k≠1.
【考点】一元二次方程根的判别式.
3.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为
【答案】（-2，0）
【解析】因为点E的坐标为（﹣1，2），所以点D的坐标为（0，2），又点B的坐标为（2，4），所以,所以PO=OA=2，所以点P的坐标为（-2，0）
【考点】图形的位似.
4.如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30o，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP 的最小值是
【答案】
【解析】如图，作△ACD关于CD对称的△A′CD，
过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短
（两点之间直线最短），∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，∴∠A′CA=60°，又∵AC=A′C，∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8，AE=A′A sin∠A′CA=8×=．故答案为：
【考点】1.轴对称的性质2.矩形的性质3.解直角三角形.
三、计算题
计算：
【答案】6
【解析】先将所给的各式的值代入计算，然后合并计算即可.
试题解析：原式＝＝6.
【考点】实数的运算.
四、解答题
1.九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，求选派到的代表是A的概率；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用概率公式计算即可；（2）画树状图，然后利用概率公式计算即可.
试题解析：（1）∵九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华
好诗词”大赛，
∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．
【考点】简单事件的概率.
2.2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨。

梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，
台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。

已知山坡的坡角
∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°, AD=3m。

（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度。

（结果保留根号）
【答案】（1）75°；（2）++（米）
【解析】（1）延长BA交EF于一点G，根据∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE计算即可；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，在Rt△ADH中，求出DH=，AH=，在Rt△ACH中，求出[来CH=AH=，AC=，
然后计算AC+CH+DH即可.
试题解析：（1）延长BA交EF于一点G，
则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE
=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
则Rt△ADH中，
∵∠ADC=60°，∠AHD=90°，∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH=，AH=．
Rt△ACH中，
∵∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°，
∴∠C=45°，
故CH=AH=，AC=．
故树高++（米）．
【考点】解直角三角形的应用.
3.如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连
接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠DPF的值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）利用条件先证明四边形ABEF是平行四边形，然后再证明AB=BE即可；（2）延长BF，作
DH⊥PH于H，在Rt△DFH中，求出FH,DH的长，在Rt△APF中，求出PF的长，从而在Rt△PDH中，利用三
角函数的定义可求tan∠DPF的值.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB
∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．
（2）延长BF，作DH⊥PH于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，∠DFH=30°，
∵AD=6，AF=4，∴DF=2，
∵DH⊥PH，∠DFH=30°，
∴∴FH=，
∴DH=1，
∴在Rt△APF中,PF=AFcos30°=， PH=
∴tan∠DPF==．
【考点】1.菱形的性质2.解直角三角形.
4.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由。

【答案】（1）b=5, k=4 （2）x＞4或0＜x＜1（3）
【解析】（1）分别代入和即可得出k和b的值；（2）观察图象可得出答案；（3）过A 作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设，根据条件求出
，然后用t表示出△PAC的面积，得出方程，然后解方程即可.
试题解析：（1）将分别代入和
得b=5, k="4"
∴直线：反比例函数的表达式为：
（2）x＞4或0＜x＜1
（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由解得
∵，∴
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设
∴
∴，，∴
【考点】1.待定系数法求函数解析式2.反比例函数的性质3.一次函数与反比例函数的交点问题.
5.东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y(件)的关
系如下表：
若每天的销售量y(件)是销售单价x（元）的一次函数
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最
大利润？此时最大利润是多少？
（3）若东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该
如何确定“童乐”牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围。

【答案】（1）（2）当销售单价为70元时，每天可获得最大利润．最大利润是16000元．（3）50≤x≤60或80≤x≤90．
【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出w与x的二次函数关系式，然后配方化为顶点式，即可得出结论；（3）令w=15000和w=16000，分别解方程，从而可确定销售单价x的范围.
试题解析：（1）设函数解析式为y=kx+b，
解得
；
（2）
，最大值：．
当销售单价为70元时，每天可获得最大利润．最大利润是16000元．
（3），
解得x=60或80；
，
解得x=50或90，
∴50≤x≤60或80≤x≤90．
【考点】1.待定系数法求函数解析式2.二次函数的应用.
6.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，
使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．
【答案】（1）点C的坐标为（3，0）．．（2）直线BC上不存在符合条件的点P，理由见解析
（3）0≤|QA﹣QO|≤4．
【解析】（1）利用直线分别求出点A、B的坐标，然后利用勾股定理或相似三角形的性质求出线段OC的长即可得到点C的坐标，然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用平行四边形的性质求出符
合条件的点P的坐标，然后代入直线BC的解析式为y=﹣2x+6检验即可；（3）当QA=QO时，|QA﹣QO|的值最小=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大=4.
试题解析：（1）点C的坐标为（3，0）．
∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），
∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．
将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．
（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．
直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
解法一：
如图，取OA的中点E，
作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．
则∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由，可得E点的坐标为（4，0）．
NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．
∴点P的坐标为．
∵x=时，，∴点P不在直线BC上．
∴直线BC上不存在符合条件的点P．
解法二：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，
连接AP，作PM⊥x轴于点M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，
即．解得．经检验是原方程的解．
此时点P的坐标为．
但此时，OM＜GA．
∵，
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴直线BC上不存在符合条件的点P；
（3）|QA﹣QO|的取值范围是．
当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），
此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，
当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，
直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，
联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，
∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．
【考点】1.一次函数的性质2.待定系数法求函数解析式3.平行四边形的性质4.二次函数的性质.。