广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考试题理

广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考
试题 理
考试时间：120分钟,满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1、已知集合{}{}1
2345,246A B ==，，，，，，， P A B =⋂，则集合P 的子集有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2、不等式
1
121
x x -≤+的解集为（ ） A. (]1,2,2⎛⎫-∞-⋃-
+∞ ⎪⎝⎭ B. 12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. ][1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
3．已知b a >，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．22b a > B. b
a 11> C. c
b
c a -<- D. c b
c a <
4．已知ABC ∆中，3
263π
===B ,c ,b ，那么角A 大小为（ ）
A ．
6
π
B.
12π C. 3π D. 4
π 5．已知正方形ABCD ，点E 为BC 中点，若μλ+=，那么μ
λ
等于（ ）
A ．2
B ．
3
2
C ．
21 D ．3
1 6．已知直线c ,b ,a ，平面βα,，那么下列所给命题正确的是（ ） A ．如果,b c ,b a ⊥⊥那么c //a B. 如果α⊥a ,b //a ，那么α⊥b C. 如果αβα⊥⊥a ,，那么β//
a D. 如果a
b ,//a ⊥α，那么α⊥b
7.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A. 15 B.14 C. 13 D. 12
8．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立． 设a ＝f (－4)，b ＝f (1)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <b <a
9．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是(
)
10.已知数列{}n a 满足n n a a 31=+，且
9642=⋅⋅a a a ，则=
++937353log log log a a a （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．11 11.若θ∈
,且
cos 2θ=sin
,则sin 2θ=( )
A. B.- C. D.-
12.若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．(]1,0 C ． [)0,1- D ．[]1,1-
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 已知3>x ，那么函数33
1
-+-=
x x y 的最小值是 ； 14．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b ；
a
b
15.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少
个单位。

16.已知12F F 、为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过1F 作的直线交椭圆于A B 、两点，若
2212F A F B +=，则AB = 。

三．解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17．（12分）在△ABC 中，∠A=60°，c=a ． （1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．
18.（12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2340a a ⋅=，426S =,数列{}n b 的前n 项和()
1
2
2n n T n N +*=-∈。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n M ．
19. （12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值．
20.（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为34，离心率为
2
3
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若MB AM 2=，求直线L 的方程．
21.（12分）设函数()x
f x e =， ()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有，求实数a 的取值范围．
22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标为(3,
)4π
，曲线C 的极坐标方程为2cos()4
π
ρθ=-（θ为参数）．
（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2cos 4sin ρθρθ+=的距
离的最小值．
2019-2020学年度高三12月数学（理）试卷答案 一．选择题（每小题5分，共60分）
1—5 B A D B A 6—10 B C C C D 11—12 D B
二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 2 ； 14. 2 ； 15. 8
π
； 16 . 8 . 三．解答题（共70分）
17.【解答】解：（ 1）∠A=60°，c=a ， 由正弦定理可得sinC=sinA=×=
，
（2）a=7，则c=3， ∴C ＜A ， 由（1）可得cosC=
，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=×
+×
=
，
∴S △ABC =acsinB=×7×3×=6
．
18.【解析】（1）由题意知142344)
(40262
a a a a S +⋅===，， ∴23234013a a a a ⋅=+=，，
1分
又公差为正数，故25a =，38a =,3d =公差， 2分
∴31n a n =-，
3分
由1
*22n n T n N +=-∈（）得
当111,2n b T ===，4分
当
2,n n N *
≥∈时
，()
1122222n n n n n n b T T +-=-=---=
5分
综上得*
2n n b n N =∈（）．
6分
（2）由（1）知()312n
n n a b n ⋅=-⋅ ∴()2
2252312
n
n M n =⋅+⋅++-⋅L 7分
〖解法〗（错位相减法）
()231
22252312n n M n +=⋅+⋅++-⋅L 8分
得()()
1
23312
43222n n
n M n +=-⋅--+++L 10分 ()13428n n +=-⋅+．
12
19. （12分） (1)证明：
因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．…………………………..2分 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，
从而AC ⊥平面BDE …………………………..5分
（Ⅱ）解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE=60°，所以3=DB
DE
． 由AD=3，可知DE=36，AF=6．
则A （3，0，0），B （3，3，0），F （3，0，6），E （0，0，36）， C （0，3，0） ………………………………7分
所以
=（0，﹣3，6），=（3，0，﹣26）．
设平面BEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则
即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0
6230
63z x z y ．令z=6，
则=（4，2，6）．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，
=（3，﹣3，
0）．…………10分 所以cos<,
>=
=
=
．
因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为．……………………12分
20. （12分）
（1） 设椭圆方程为()222210,0x y a b a b +=>>，因为2
3
,32===a c e c ，
所以2,4==b a ， …………………… 3分
所求椭圆方程为14
162
2=+y x . ……………………… 5分
（2）由题得直线L 的斜率存在，设直线L 方程为y=kx+1，..…………………… 5分
则由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=14161
2
2y x kx y 得()0128412
2=-++kx x k ，且0>∆． …………………… 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =u u u u v u u u v 得122x x =﹣，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+-
=⋅+-=+2212
214112418k x x k k x x ，所以
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-
=-+-=2222241122418-k x k k x 消去2x 得，解得2032
=k ，1015±=k ， …………………… 10分 所以直线l 的方程为110
15
+±
=x y .……………………… 12分
21.（12分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2a ≤. 【解析】试题分析：（Ⅰ）令
，求导得单调性，进而得
，从而得证；
（Ⅱ）记
求两次导得()h x '在[
)0,+∞递增， 又
，进而讨论2a -的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.
试题解析： （Ⅰ）令
，
由
∴()F x 在(0,e]递减，在[
)e,+∞递增，
∴ ∴()0F x ≥ 即
成立．
（Ⅱ） 记
， ∴()0h x ≥在[
)0,+∞恒成立，
， ∵
，
∴()h x '在[
)0,+∞递增， 又
，
∴ ① 当 2a ≤时， ()0h x '≥成立，即()h x 在[
)0,+∞递增， 则
，即
成立；
② 当2a >时，∵()h x '在[
)0,+∞递增，且，
∴ 必存在()0,t ∈+∞使得()0h t '=．则()0,x t ∈时， ()0h t '<， 即 ()0,x t ∈时，
与()0h x ≥在[
)0,+∞恒成立矛盾，故2a >舍去．
综上，实数a 的取值范围是2a ≤．
点睛：导数恒成立的问题，根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
22.（本小题10分）解：（1）点P 的直角坐标为3232
．
由2cos()4
π
ρθ=-
，得2cos sin ρθθ=，①
将222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，
可得曲线C
的直角坐标方程为22(()122
x y -+-=． （2）直线l
：2cos 4sin ρθρθ+=
的直角坐标方程为240x y +-=，
设点Q
的直角坐标为cos ,sin )
22
θθ++
，则cos sin )22M θθ， 那么M 到直线l 的距离
cos sin |))d θθ
+-=
==
，
∴d ≥
=sin()1θϕ+=-时取等号）， 所以M 到直线l
：2cos 4sin ρθρθ+=
．。