志航教育圆锥曲线大题

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志航教育圆锥曲线大题专练
数学（文）试卷
1.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为2
1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l 经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若2=，求直线l 的方程.
2.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为2，且
16=⋅OA FA .
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点)0,8(M 作直线l 交抛物线于B ，C 两点,求证:OC OB ⊥ .
3.已知抛物线2
:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点． （Ⅰ）求弦AB 的长度；
（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．
4.已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上.已知该抛物线上一点 A(1，m)到焦点的距离为3. (1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横
坐标为2，求k 的值．
5.( 12分) 已知曲线C 上任意一点P
到两个定点()1F
和)
2F 的距离之和为4．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设过()0,2-的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O 为坐标原点），求直线l 的方程．
6.已知点M （－2，0），N （2，0），动点P
满足条件PM PN -=记动点P 的轨迹为W 1）求W 的方程
2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值
7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，
离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交
于不同的两点,M N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围.
试卷答案
1.
（Ⅰ）由题意知, 1,c = …………………1分 解得2
2
=4,3a b = …………………3分
故椭圆方程为22
143
x y +=． …………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y
当k 不存在时，直线方程为=0x ，不符合题意． …………………5分
当k 存在时，设直线方程为1y kx =+，
联立221
143
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去y ，得：22
(34)880k x kx ++-=， ……………6分
由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算0∆>） …7分
1221228,34834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
…………………8分 若2=，则122x x =-， …………………9分 代入上式，可得
222228,34834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨
⎪-=-⎪+⎩
，消去2x ，解得12k =±. …………………13分 所求直线方程为1
12
y x =±+． …………………14分 2.
（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：2
2y px =)0(>p ，
则点F 的坐标为(,0)2
p
，点A
的一个坐标为(2,， ···········
2分 ∵16=⋅OA FA
，∴(2,162
-=p
， ············· 4分
∴4416p p -+=，∴4p =，∴28y x =. ················ 6分 （Ⅱ）设B 、C 两点坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，
法一：因为直线当l 的斜率不为0，设直线当l 的方程为8x ky =+
方程组28,8y x x ky ⎧=⎨=+⎩得2
8640y ky --=，
12128,64y y k y y +==-
因为1122(,),(,),==OB x y OC x y
所以12121212(8)(8)OB OC x x y y ky ky y y ⋅=+=+++
21212(1)8()64k y y ky y y =++++=0，
所以OC OB ⊥.
法二：①当l 的斜率不存在时，l 的方程为8=x ，此时),8,8(),8,8(-C B
即),8,8(),8,8(-==OC OB 有,06464=-=⋅OC OB 所以OC OB ⊥.…… 8分 ② 当l 的斜率存在时，设l 的方程为).8(-=x k y
方程组⎩⎨⎧-==),
8(,82x k y x y 得.0648,064)816(2
2222=--=++-k y ky k x k x k
所以,64,642121-==y y x x ························ 10分 因为1122(,),(,),==OB x y OC x y 所以,064642121=-=+=⋅y y x x OC OB 所以OC OB ⊥.
由①②得OC OB ⊥. 12分 3.
(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),
由2244y x y x
=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=,
∴|AB|=21
212||x x +- =22
121212()45251635,x x x x +⋅+-=⋅-= 法二：解方程得：x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB|=22(41)(42)35,-++=
(Ⅱ)设点2(,)4
o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则
2
42
5
o o y y d --=
,∴S △PAB =
2
1
·53·2
42
5
o o y y --=12，
∴2482o o y y --=． ∴2
482
o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 略 4.
5.
（1）由题意得43221<=F F ，所以点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，由⎪⎩
⎪
⎨⎧+===22234
2c b a c a 解得2=a
1=b 所以曲线C 的方程为14
22
=+y x ………………5分 （2）由题意得直线l 的斜率存在并设为k ，并设()11,y x A ()
2,2y x B 直线l 的方程为
2-=kx y ，由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+214
22
kx y y x 得()01216142
2=+-+kx x k ()()
014481622
>+-=∆k k 的4
32>
k 1416221+=
+k k x x ，1
412
2
21+=k x x ………………8分 又 ()11,y x OA = ()22,y x OB =而0=⋅ ∴02121=+y y x x 亦即
()()0222121=--+kx kx x x ………………10分
∴()()042121212
=++-+x x k x x k 由此得
()
041
4321411222
22=++-++k k k k 解得2±=k 所以直线l 的方程为22-=x y 或22--=x y ………………12分
6.1
）22
1(22
x y x -=≥ 2）当AB ⊥x 轴时，1212,x x y y ==-，所以OA OB ⋅＝2，
当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程是y kx m =+，联立消去y,有
222(1)220k x kmx m ----=，所以OA OB ⋅＝2
421
k +
-，因为2
120,10x x k >∴->，所以OA OB ⋅>2
综上，OA OB ⋅最小值为2 略
7.（1
）由题意得22222411,,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩
解得a =
b =C 的方程为22163x y +=．
（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，
由22
(3),
1,63y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得
2222(12)121860k x k x k +-+-=. 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴4222
1444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，
N 的坐标分别为11(,)x y ，
22(,)
x y ，则
2
122
1212k x x k +=
+，
2122
18612k x x k -=
+，
11(3)
y k x =-，
22(3)
y k x =-．
1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+21212(1)[3()9]
k x x x x =+-++22
3312k k +=
+233
22(12)k =
+
+11<<-k 2332322(12)k ∴<+≤+
BM BN ∴⋅的范围为(2, 3]．
略。