2020高考数学二轮复习寒假作业十一数列的通项与数列求和注意命题点的区分度文

寒假作业(十一) 数列的通项与数列求和(注意命题点的区分度)
一、选择题
1．(2017·安溪质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1
·n ，则S 17＝( )
A ．9
B ．8
C ．17
D ．16
解析：选A S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1
a 1＋a 2＋…＋a n
，则数列{b n }的前n 项和为( )
A.n ＋1
n ＋
B.34－2n ＋3n ＋n ＋
C.
n －1
n ＋2
D.34－2n ＋3
n ＋n ＋
解析：选B 易得a 1＋a 2＋…＋a n ＝
n
＋2n ＋
2＝n (n ＋2)，所以b n ＝
1n
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝1
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3
n ＋n ＋
.
3．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )
A ．72
B ．88
C ．92
D ．98
解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， ∴数列{a n }是公差d ＝3的等差数列， 又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21， ∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×7
2
d ＝92.
法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝a 1＋a 8
2
＝
a 4＋a 5
2
＝
92.
4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2
(n ∈N *
)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值31
D ．有最小值31
解析：选B S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3
4
×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5，∴2n ＋2
<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62.又n ∈N *
，∴n 有最小值63. 5．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．2n
＋1
B ．2n
－1
C ．2n －1
D ．2n ＋1
解析：选D 由4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)， 得4S n －1＝(a n －1－1)·(a n －1＋3)，n ≥2， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又{a n }是正项数列， ∴a n －a n －1－2＝0(n ≥2)，
则数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1＝3， ∴a n ＝2n ＋1.
6．已知数列2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项和S 2 017等于( )
A ．2 018
B ．2 015
C ．1
D ．0
解析：选B 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1，故数列的前8项依次为2 015,2 016,1，－2 015，－2 016，－1,2 015,2 016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S 6＝0.∵2 017＝6×336＋1，∴S 2 017＝2 015.
7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
n －n 为奇数，
n
n 为偶数，
则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝( )
A ．4 800
B ．4 900
C ．5 000
D ．5 100
解析：选C 由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×
＋2
＋100＝5 000.
8．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *
)的取值范围是( )
A ．[12,16]
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤8，323
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323
D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤163，323
解析：选C 因为{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4
，
所以q 3
＝a 5a 2＝18，即q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2－q 2n 1－q 2
＝323(1－q 2n
)∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫8，323，故选C. 9．(2017·宁波二模)已知在数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
，则a n ＝( )
A.32n －2
3n B.23n －32n C.12n －23
n D.23n －12
n
解析：选A 法一：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以2n ＋1，得2n ＋1
·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，
令b n ＝2n
·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，
即b n ＋1－3＝2
3
(b n －3)，
所以数列{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，2
3为公比的等比数列，
所以b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，b n ＝3－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n
，
所以a n ＝b n 2n ＝32n －2
3
n .
法二：a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边同时乘以3n ＋1
，
得3
n ＋1
·a n ＋1＝3n
·a n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ＋1，
令b n ＝3n
·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ＋1，
可得b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322
，
以上各式累加可得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n
，
又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋3
2
，
所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ＋1－2，a n ＝b n 3n ＝32n －23n . 10．(2017·福州二模)已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 6＝63
32，且a 2，a 4，a 3成等差
数列，若数列{b n }满足b n ＝na n ，则数列{b n }的前10项和T 10为( )
A.6348
B.5348
C.5338
D.7348
解析：选 A 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
S 6＝6332，a 2＋a 3＝2a 4
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 1－q 6
1－q ＝6332，
a 1q ＋a 1q 2＝2a 1q 3
⇒
⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝3，q ＝－12⇒
a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12n －1.于是b n ＝3n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
n －1.
T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
9，① －12T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋3×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210，②
①－②得32T 10＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－30×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1210
，
整理得T 10＝43－⎝
⎛⎭⎪⎫20＋43×11 024＝63
48.
11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－5
2，则数列⎩
⎨
⎧⎭
⎬⎫1n ＋
a n 的前n 项和T n ＝( )
A ．－n
2n ＋1
B.n 2n ＋1
C ．－2n
2n ＋1
D.
2n
2n ＋1
解析：选C 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝3
2a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－15
2
. 因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，
整理得4a 2
1＋12a 1＋5＝0，解得a 1＝－52或a 1＝－12.
当a 1＝－5
2时，公差d ＝0，不符合题意，舍去；
当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 1
2
＝－1，
所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－1
2(2n －1)，
所以
1n ＋
a n
＝－
2
n －n ＋
＝－⎝
⎛⎭
⎪
⎫12n －1－12n ＋1，
所以其前n 项和
T n ＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫1－13＋13－1
5
＋…＋
12n －1－12n ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1，故选C. 12．(2017·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2
＋…
＋1
a n
<t ，则实数t 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n
a 1a 2a 3…a n －1
＝
2n
2
n －
2
＝2n 2－(n －1)2＝2
2n －1
，又a 1＝21＝2
2×1－1
，
因此a n ＝22n －1，1
a n ＝122n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，故等比数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和等于
12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－
14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，选D. 二、填空题
13．(2017·衡水调研)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2
＋3n (n ∈N *
)，则a 12＋a 23＋…＋
a n
n ＋1＝________.
解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2
＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2
＋3n )－(n －1)2
－3(n －1)＝2n ＋2，
∴a n ＝4(n ＋1)2
，当n ＝1时，也满足该式． ∴a n ＝4(n ＋1)2， ∴
a n
n ＋1
＝4n ＋4，
∴数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n n ＋1是以8为首项，4为公差的等差数列，
∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋4
2
＝2n 2
＋6n .
答案：2n 2
＋6n
14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *
)，则S 2 018＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n
，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②
∵①÷②得
a n ＋1
a n －1
＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－2
1 009
1－2＋
－2 1 009
1－2
＝3×2
1 009
－3.
答案：3×2
1 009
－3
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －4(n ∈N *
)，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则不等式2T n >a n
的解集为________．
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －4－2a n －1＋4，∴a n ＝2a n －1；当n ＝1时，a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，
∴数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列， 则a n ＝4·2
n －1
＝2
n ＋1
.
设b n ＝log 2a n ，则b n ＝n ＋1， ∴T n ＝2＋3＋…＋n ＋1＝n 2＋3n
2
.
若2T n >a n ，则n 2
＋3n >2
n ＋1
，解得n ＝2或n ＝3，
∴不等式的解集为{2,3}． 答案：{2,3}
16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12
n ，n ∈N *
，则S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.
解析：∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1
a n －1＋12n (n ≥2)．
当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，a n －1＝12n －1，从而可得a 1＝－122，a 3＝－1
24，a 5＝－
126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝1
2
8. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝1
2
5，…，
∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋1
23＋…＋12100
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
23＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100
＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.
答案：13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1
三、解答题
17．(2017·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件
T n ≤S n 的所有n 的值．
解：(1)由已知得a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2，
所以数列{a n }是首项为1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)由(1)知数列{a n }的前n 项和S n ＝
＋2n －
n
2
＝n 2
.
等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，
所以公比q ＝3，b n ＝3
n －1
.
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n
1－3＝3n
－1
2.
若T n ≤S n ，即3n
－12
≤n 2，又n ∈N *
，所以n ＝1或2.
18．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2
＋S 3＝8.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
.
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q
n －1
. 依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
q
＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝1，
q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝－43，
q ＝9(舍去)．
故a n ＝n ，b n ＝2
n －1
.
(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)，
即1S n
＝
2n n ＋
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－13＋…＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 19．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(－1)n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知条件可得S n
n
＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2
－n .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2
－n －[2(n －1)2
－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n
a n ＝(－1)n
(4n －3)， 当n 为偶数时，
T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n
2
＝2n ，
当n 为奇数时，n ＋1为偶数，
T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.
综上，T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2n ，n ＝2k ，k ∈N *
，
－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *
.
20．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *
)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *
)．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2
)＝12， 而b 1＝2，所以q 2
＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n
.
由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②
由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n
. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4
n －1
，
得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n
，
故T n ＝2×4＋5×42
＋8×43
＋…＋(3n －1)×4n
，
4T n ＝2×42
＋5×43
＋8×44
＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1
，
上述两式相减，得
－3T n ＝2×4＋3×42
＋3×43
＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1
＝
－4n
1－4
－4－(3n －1)×4
n ＋1
＝－(3n －2)×4n ＋1
－8.
故T n ＝3n －23×4n ＋1＋8
3
.
所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋8
3
.。