2018学年(上)浙江省平阳县昆阳学区初三数学竞赛试题(含答案)

学年（上）浙江省平阳县昆阳学区初三数学竞赛试题
8小题，每小题5分，共40分）
．a 、b 是有理数，如果|a －b|=a+b ，那么对于结论：①a 一定不是负数 ②b 可能是负数 下列判断正确的是……………………………………………………（ ） 、只有①正确 B 、只有②正确 C 、①②都正确 D 、①②都不正确
．已知a 、b 、c 中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)，那么………………………………（ ）
、S 是偶数; B 、S 是奇数;C 、S 是奇偶性与n 的奇偶性相同; D 、S 的奇偶性不确定 ．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的 点称为整点，观察图中每正方形（实线）四条边上的整 点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线） 四条边上的整点的个数共有…………………………（ ） A 、35个 B 、40个 C 、45个 D 、50个
．若ab ≠0,则等式a = ）
A 、a>0,b>0
B 、a>0,b<0
C 、a<0,b>0
D 、a<0,b<0
．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“九（2）班得冠军，九（4）班得第三”；
乙说：“九（1）班得第四，九（3）班得亚军”； 丙说：“九（3）班得第三，九（4）班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是…………………………（ ） A 、九（1）班 B 、九（2）班 C 、九（3）班 D 、九（4）班 ． 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，并设 M ＝|a ＋b ＋c|－|a －b ＋c|＋|2a ＋b|－|2a －b|， 则……………………………………………………（ ） A 、M ＞0 B 、M ＝0 C 、M ＜0 D 、M 的符号不确定.
7.如图，⊙P 的半径为3，且与x 轴相交于点M （1，0）， N （5，0）直线y=kx+5-6恰好平分⊙P 的面积， 那么k 的值是…………………………（ ） A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1
8．13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始
按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去.，直到最后剩下一个小朋友. 小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从( )小朋友开始数起？ A 、7号 B 、8号 C 、13号 D 、2号
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）
9．要使方程组⎩
⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是 .
10. 在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝ ． 11.某商场经销一种商品，由于进货价格比原来预计的价格降低了6.4%，使得销售利润增
加了8个百分点，那么原来预计的利润率是 . 12. ABC ∆中,,,900α=∠=∠A ACB 以C 为中心将ABC ∆旋转θ角 到C B A 11∆(旋转过程中保持ABC ∆的形状大小不变)B 点恰落在
11B A 上,如图,则旋转角θ的大小为_____ ____.
13.若正整数
a 、
b 、
c 满足518=+bc ab ，360=-ac ab ，则a b c 的最大值
是 ．
14．某人有5把钥匙，其中只有一把是房门钥匙，但是他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，因此只好逐一进行试开，他恰好第3次打开房门的概率是 .
三、解答题：（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，共50分） 15．已知CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的圆交AB 于点F ．
求证：CF 为∠DCB 的平分线．
16．已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，3)1
1()11()11
(-=+++++b
a c c a
b
c b a , 求a+b+c 的值.
A
C
B
D F
17．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了10个，老二带了16个，老三带了26个.上午他们按同一价格卖了若干个西瓜(西瓜按个数出售),过了中午,怕西瓜卖不完, 他们跌价把所有的西瓜仍按同一价格全部卖掉了,回家后,他们清点卖瓜款后发现,三人卖瓜所得的款一样多,每人都卖得35元,问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？
18．已知抛物线y=x2+px+q上有一点M(x0,y0)位于x轴的下方.
(1)求证:抛物线必与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<x2；
（2）求证：x1<x0<x2；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x1、x2.
参考答案： 一、选择题：
1．AABC ，BCBA （如果从1号数起，离圈的小朋友依次为13，1，3，6，10，5，2，4，9，11，12，7，最后留下8号，因此从逆时针方向退8名（即7号）开始数起，最后留下1号）. 二、填空题： 9、334><
a a 或；10、2
5
；11、17%；12、2α；13、1008；14、51. 三、解答题：
15．连结DF ，BD ，……………………………2/
∵ AC ＝CB ＝CD ，
∴∠A ＝∠2，∠CDB ＝∠CBD ， ∵∠A ＝∠1，∴∠1＝∠2， ∴∠FDB ＝∠FBD ， ∴DF ＝BF ．
又∠1＝∠2，CD ＝CB ，
∴△DCF ≌△BCF ，∴∠DCF ＝∠BCF ．…………10/
即CF 为∠DCB 的平分线．…………………………12/
16．∵abc ≠0
∴对第二个等式两边同乘abc ，得
a2(c+b)+b2(a+c)+c2(b+a)=－3abc a2c+a2b+b2a+b2c+c2b+c2a+3abc=0 ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+abc+abc+abc=0
(a+b+c)(ab+bc+ac)=0…………………………………………8/
∴a+b+c=0 或ab+bc+ac=0
当ab+bc+ac=0时，由（a+b+c ）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1 得 a+b+c=±1………………………………………………10/
∴a+b+c=0 ,1 ,－1……………………………………………12/
17. 解：设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜数分别为x ，y ，z ，下午卖掉的西瓜数依次
为10-x ，16-y ，26-z .上午每个西瓜卖m 元,下午每个西瓜卖n 元.(m>n>0) (2)
/
A
C
B
D F 1
2
则⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=-+=-+35)26(35)16(35)10(z n m z y n m y x n m x , ………………………………………………6/ ∴⎩⎨
⎧=--=--n
z y n m n z x n m 10))((16))(( ∴58
=--z y z x …………………………8/
∵x ，y ，z 为整数,且m>n>0,∴x-z ，y-z 都是正整数,可设x-z=8t, y-z=5t(t 为正整数)
∴x=8t+z,y=5t+z.∵x<10,∴t=1, z=1,x=9,y=6. …………………10/
∴⎩⎨
⎧=+=+35106359n m n m ,解得⎩⎨⎧==25
.175
.3n m
∴上午每个西瓜卖3.75元,下午每个西瓜卖1.25元. …………………12/
. 18．解(1)由点M(x 0,y 0)位于x 轴的下方,
有⎪⎩
⎪⎨⎧--+=++=44)2(022002
000q p p x q px x y y 得△=002
02
44)2
(44y y p x q p -≥-+
=->0. ∴方程x 2
+px+q=0有两个实根,设为x 1、x 2（x 1<x 2）.
于是抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0)、B(x 2,0). ……………………………………4/
(2)由(1)得⎩⎨⎧=-=+q x x p
x x 2
121 ①
代入002
0y q px x =++<0,得不等式
210212
0)(x x x x x x ++-<0 即))((2010x x x x --<0
故 x 1<x 0<x 2. …………………………………………………………………………8/
(3)由M 在抛物线上,而x 1,x 2满足①得
y 0=x 02-(x 1+x 2)x 0+x 1x 2. 即 -1997=(x 1-1)(x 2-1).
∵1997为整数, ∴(x 1-1)、(x 2-1)均为整数，且由x 1<x 2，知x 1-1< x 2-1,
得 ⎩⎨⎧=--=-199711121x x 或⎩
⎨⎧=--=-111997
121x x .
∴ ⎩⎨
⎧==1998021x x 或⎩⎨⎧=-=2
199621x x .……………………………………14/
.。