2019年福建省宁德市福安市初中生综合文化素质竞赛数学试卷解析版
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2019年福建省宁德市福安市初中生综合文化素质竞赛数学试卷
一、精心选一选,慧眼识珠(共8小题,每小题4分,满分32分;每小题只有一个正确的选项)
1.如图是甲,乙,丙三人玩跷跷板的示意图(支点在中点处),则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
2.下列计算正确的是()
A.6a﹣5a=1B.(a2)3=a5C.a6÷a3=a2D.a2•a3=a5
3.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是()A.B.
C.D.
4.某班学生分组搞活动,若每组7人,则余下4人;若每组8人,则有一组少3人.设全班有学生x人,分成y个小组,则可得方程组()
A.B.
C.D.
5.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图,则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为()
A.x<﹣1B.x>1C.x<3D.x>3
6.若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°<α≤180°)后能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做旋转对称图形.例如:等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图),能够与原来的等边三角形重合,因而等边三角形是旋转对称图形.显然,中心对称图形都是旋转对称图形,但旋转对称图形不一定是中心对称图形.下面四个图形中,旋转对称图形个数有()
A.1B.2C.3D.4
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=3,则BE的长是()
A.3B.6C.2D.3
8.正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△P AB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有()A.1个B.4个C.7个D.10个
二、细心填一填,点石成金(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴的原点为旋转中心,将过原点的对角线顺时针旋转,使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处,则点A表示的数是.
10.分解因式:3ax2+6axy+3ay2=.
11.已知:一次函数y=﹣x+8与两坐标轴分别交于A、B点,P为线段AB上的任意一点,过P点作PE⊥OA于点
E,作PF⊥OB于F点,当长方形PEOF的面积最大时,P点坐标为.
12.如图三角板ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,把△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE,连接CE,则∠CED=°.
13.对于实数x,定义[x]表示不大于x的最大整数,如[1.5]=1,[5]=5,[﹣3.3]=﹣4,若[]=3,则x的取值范围是.
14.在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图 、图②、…,则旋转得到的图的直角顶点的坐标为.
三、用心解一解,马到成功(共3小题,满分38分)
15.计算:×﹣()﹣1﹣+.
16.一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A(﹣4,0)和点B(0,3).
(1)确定此一次函数的解析式;
(2)求坐标原点O到直线AB的距离;
(3)点P是线段AB上的一个动点,过点P作PD垂直于x轴于D,作PE垂直于y轴于E,记L=PD+PE,问L是否存在最大值和最小值?若存在,求出此时P点到原点O的距离,若不存在请说明理由.
17.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
参考答案
一、精心选一选,慧眼识珠(共8小题,每小题4分,满分32分;每小题只有一个正确的选项)1.【解答】解:根据图示可知甲的体重大于50小于60,所以在数轴上表示为
故选:C.
2.【解答】解:A、应为6a﹣5a=a,故本选项错误;
B、应为(a2)3=a6,故本选项错误;
C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3,故本选项错误;
D、a2•a3=a5,正确.
故选:D.
3.【解答】解:∵一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小
∴k<0
又∵kb<0
∴b>0
∴此一次函数图象过第一,二,四象限.
故选:A.
4.【解答】解:根据若每组7人,则余下4人,得方程7y=x﹣4;
根据若每组8人,则有一组少3人,得方程8y=x+3.
可列方程组为.
故选:C.
5.【解答】解:当x<﹣1时,k2x>k1x+b.
故选:A.
6.【解答】解:图1绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合,所以这个图形是旋转对称图形;
图2中,无论怎么样旋转都无法重合,除非旋转360度,但超出条件范围,故图2不是旋转对称图形;
图3绕中心旋转120°后能够与原来的图形重合,所以这个图形是旋转对称图形;
图4绕中心旋转72°后能够与原来的图形重合,所以这个图形是旋转对称图形.
故选:C.
7.【解答】解:已知∠C=90°,∠B=22.5°,DE垂直平分AB.
故∠B=∠EAB=22.5°,
所以∠AEC=45°.
又∵∠C=90°,
∴△ACE为等腰三角形
所以CE=AC=3,
故可得AE=3.
故选:D.
8.【解答】解:(1)点P在三角形内部时,点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点,是三角形的外心;
(2)分别以三角形各顶点为圆心,边长为半径,交垂直平分线的交点就是满足要求的.
每条垂直平分线上得3个交点,再加三角形的垂心,一共10个.
故选:D.
二、细心填一填,点石成金(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.【解答】解:对角线的长:,根据旋转前后线段的长分别相等,∴A点表示的数=对角线的长=.10.【解答】解:3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
故答案为:3a(x+y)2.
11.【解答】解:设点P的坐标为(x,﹣x+8),
长方形PEOF的面积为x(﹣x+8)=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16,
∵0<x<8,
∴当x=4时,长方形PEOF的面积取得最大值,点P坐标为(4,4).
故答案为:(4,4).
12.【解答】解:∵把△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE,
∴由题意可得:AE=AC,∠EAC=30°,∠AED=30°,
∴∠AEC=∠ACE=75°,
∴∠CED=∠AEC﹣∠AED=45°.
故答案为:45.
13.【解答】解:∵[]=3,
∴x的取值范围是3≤<4,
解得:3≤x<5.
故答案为:3≤x<5.
14.【解答】解:∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4,
∴AB===5,
∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0);
根据图形,每3个图形为一个循环组,3+5+4=12,
因为2015÷3=671 (2)
所以,的直角顶点在x轴上,横坐标为671×12+3+5=8064,
所以,图的顶点坐标为(8064,0),
故答案是:(8064,0).
三、用心解一解,马到成功(共3小题,满分38分)
15.【解答】解:原式=×4﹣3﹣0+3
=2﹣3﹣0+3
=2.
16.【解答】解:(1)设一次函数表达式为y=kx+b,经过A(﹣4,0)、B(0,3)代入得,
解得.
∴一次函数解析式为y=x+3.
(2)设坐标原点O到直线AB的距离为d,
在Rt△ABO中,OA=4,OB=3
根据勾股定理得AB==5,
∵S△ABO=×AO×BO=×AB×d
即4×3=5d,
d=,
∴原点O到直线AB的距离为.
(3)过点P作PD⊥x轴于D,作PE⊥y轴于E,设P(x,y),
∵P点在线段AB上,
∴y=x+3,其中﹣4≤x≤0,
∴L=PD+PE=﹣x+y=﹣x+x+3=﹣x+3,
∵﹣<0,
∴L随x的增大而减小
∴当x=﹣4时,L最大=4,此时P点坐标为(﹣4,0),P点到原点O的距离为PO=4,
当x=0时,L最小=3,此时P点与B点重合,P点到原点O的距离为BO=3.17.【解答】(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形.
(2)解:当α=150°时,△AOD是直角三角形.
理由是:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,
∵∠α=150°∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°,∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣(190°﹣α+α﹣60°)=50°,∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,
∠OAD==120°﹣,
∴190°﹣α=120°﹣,
解得α=140°.
综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.。