第六章 归纳推理060912
高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(2)课堂讲义配
答 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法的含义由特殊到一般
完全归纳法
归纳法是一种
的推理方法，分
和
不完全归纳法 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，
必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 正整数
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
6.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌 握用数学归纳法证明等式、不等式、整除 问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：
提公因式、添项、拆项、合并项、配方 等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不 可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推 的依据．
1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整
除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1
能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋
1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(1)课堂讲义配套课件湘教版选修22
跟踪演练 1 设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于________． 答案 31n＋3n1＋1＋3n1＋2 解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1， ∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1＋31n＋3n1＋1＋3n1＋2， ∴f(n＋1)－f(n)＝31n＋3n1＋1＋3n1＋2.
要点二 证明与自然数 n 有关的等式 例 2 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋
n＋1 2＋…＋21n. 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12， 等式成立；
(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1 时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1 －2k＋1 1
要点三 证明与数列有关的问题 例 3 某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n≥2，数列
的前 n 项之积为 n2. (1)写出这个数列的前五项； (2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．
解 (1)已知 a1＝1，由题意得 a1·a2＝22， ∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝3222. 同理可得 a4＝3422，a5＝5422. 因此这个数列的前五项为 1,4，94，196，2156.
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋k＋11＋k＋ 2k＋1 1＝右边； 所以当 n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)(2)知对一切 n∈N*等式都成立．
高中数学 第6章 推理与证明 6.1 合情推理和演绎推理 6.1.1 归纳课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
解析 由已知的两个特殊等式可归纳得出： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0，证明如下： f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝12(ex＋e－x)·12(ey－e－y)＋12(ex－e－x)·12 (ey＋e－y)－12(ex＋y－e－x－y)＝ ex＋y－ex－y＋e－x＋y－e－x＋y＋4 ex＋y＋ex－y－e－x＋y－e－x＋y－ ex＋y－2e－x＋y＝2ex＋y－42e－x＋y－ex＋y－2e－x＋y＝0.
即 an－a1n＝－(an－1＋an1－1)． 所以 a2－a12＝－2，又因为 a2＞0，所以 a2＝ 2－1. a3－a13＝－2 2，又因为 a3＞0，所以 a3＝ 3－ 2. a4－a14＝－2 3，又因为 a4＞0，所以 a4＝2－ 3. 将上面 4 个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0， a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3， 由此可以归纳出：an＝ n－ n－1(n∈N＋)．
当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1；
当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1；
归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
证明如下 设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有 (n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条 物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线 共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分 了两部分，从而增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1) ＝f(n)＋2n＋1(n≥2)． ∴f(3)＝f(2)＋5； f(4)＝f(3)＋7； f(5)＝f(4)＋9；
再见
编后语
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归纳推理PPT
典型归纳推理
• 典型归纳法的可靠性取决于所选来作为“典型”的前提是否真 正“典型”。
• 前提 “典型”度依赖于推理者的职业敏感性、丰富的专业知 识和经验积累。 • 典型归纳法尽管效率很高，但仍是一种经验归纳。
回溯归纳推理
• 回溯纳推理，又称回溯法，是一种由果求因的归纳推理；回溯 推理是对既成事实的形成原因所进行的假设性推测。
完全归纳推理的逻辑形式
S1是P， S2是P ， S3是P ， ………… Sn是P， S1 、S2 、S3 、…、Sn是S类的全部个体对象， ———————————————————— 所以，所有S都是P。
完全归纳推理的特征
• 完全归纳推理结论断定的范围没有超出前提所断定的范 围，是必然性的推理，不具备“或然性”的特征，不是 归纳逻辑的重点课题。
硫酸中含有氧元素， 硝酸中含有氧元素， 碳酸中含有氧元素， ………… 硫酸、硝酸、碳酸等都是酸， ———————————— 所以，凡酸都含有氧元素。
简单枚举归纳推理的逻辑形式
S1是P， S2是P ， S 3 是P ， ………… Sn是P， S1 、S2 、S3 、…、Sn是S类的部分对象，观察中没有遇到相反情况， —————————————————————————————— 所以，所有S都是P。
归纳推理的概述
• 归纳推理的结论超出了前提所提供的已知的范围，所以结论是 或然性的；即当前提真时，结论不必然真。 • 归纳推理的优势：结论是对已有经验知识（前提）的扩展，给 予思维以方向性的指导，因而显示出其在探求未知过程中的重 要意义——发现规律，拓展新知。 • 归纳推理的前提由许多个别性知识构成的判断，个别知识是经 观察、实验、比较、分类、分析和综合等归纳方法加工后，提 供给推理的依据。
第六章 归纳推理
水星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行，
金星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行， 地球是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行， 火星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行， 木星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行，
土星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行，
天王星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行， 海王星是球形天体，沿椭圆轨道绕太阳运行， 水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、 海王星是太阳系的全部行星 ； 所以，太阳系中的行星都是球形天体，沿椭圆轨 道绕太阳运行。
2、归纳推理的特征
第一，从思维进程来看，归纳推理是从 个别到一般的推理； 第二，从结论所断定的知识范围来看， 结论所断定的知识范围一般超出了前提所断
定的范围；
第三，从前提和结论的性质来看，其联系 是或然的，前提并不蕴涵结论，即前提真实， 结论未必真实。
二、归纳推理与演绎推理的关系 归纳推理与演绎推理既有区别又有联系。 1、归纳推理与演绎推理的区别 第一，归纳推理与演绎推理的思维进程不同。归纳推理是从个别（或特殊）性 的前提推出一般性的结论，而演绎推理则从一般性的前提推出个别（或特殊）性 的结论。 第二，归纳推理与演绎推理的结论的可靠性程度不同。归纳推理（完全归纳推 理除外）的结论的断定程度超出了前提，其结论是或然的；而演绎推理的前提则 蕴涵结论，结论断定的范围没有超出前提，其结论是必然的。 2、归纳推理与演绎推理的联系 第一，演绎推理离不开归纳推理。演绎推理常常以表达一般性知识的判断为前 提，然后推出特殊性的判断作结论。而一般性知识的形成常常是归纳推理的结果。 同时，演绎推理的各种形式及其规则，也是人们对人类思维活动进行归纳的产物， 所以，如果没有归纳推理，就不会有演绎推理，演绎推理依赖于归纳推理。 第二，归纳推理也离不开演绎推理。首先，归纳要以感性材料为基础，而感性 材料的获得需要通过观察和实验，而观察和实验则离不开理论指导，即在观察和 实验过程中渗透着演绎推理。其次，有了感性材料之后，对感性材料的归纳，也 必须以一般性知识作指导，归纳什么，怎样归纳，要通过演绎推理来确定。再次， 通过归纳推理得到一般性知识后，又可以运用演绎推理进一步考察许多特殊事物， 更深刻地认识事物的本质，从而验证和深化原有的一般性知识，进一步提高归纳 推理结论的可靠程度。所以，没有演绎推理的参加，归纳推理也将无法进行。 总之，归纳推理与演绎推理在实际思维中是相辅相成的，有时以归纳为主，有 时以演绎为主，它们是互相区别的，又是不可分割的。
高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳训练湘教版选修2-2(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.1 合情推理和演绎推理6.1.1 归纳分层训练湘教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.1 合情推理和演绎推理6.1.1 归纳分层训练湘教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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6．1.1 归纳一、基础达标1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（) A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A2．由集合{a1｝，｛a1,a2}，｛a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…,a n}的子集个数为（）A．n B．n＋1C．2n D．2n－1答案C解析集合｛a1}的子集有∅，｛a1}共2个；{a1，a2｝的子集有∅，｛a1｝,{a2}，｛a1，a2｝共4个；集合{a1，a2，a3｝的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C。
3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于（) 1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111 234×9＋5＝1111112 345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由数塔运算积的知识易得B。
归纳推理公开课课件
在制定法律时，立法者也可以使用归 纳推理来分析社会现象和纳推 理来分析法律案例和法规，以便为客 户提供更好的法律服务。
CHAPTER
05
归纳推理的局限性
数据和信息的可靠性问题
归纳推理的结论往往基于所获取 的数据和信息，而这些数据和信 息的可靠性直接影响着结论的准
因果归纳推理
定义
根据某类事物中部分对象之间的 因果关系，推断出该类事物全部
对象之间的因果关系。
例子
通过观察到“阳光充足的地方植物 生长茂盛”，推断出“阳光是植物 生长的重要因素”。
特点
基于对事物之间因果关系的认识进 行归纳，结论具有因果性。
CHAPTER
03
归纳推理的步骤
收集数据和信息
明确目标
确定归纳推理的主题，明确需要 收集的数据和信息的范围和类型
。
多渠道获取
利用多种渠道获取数据和信息， 如调查、实验、观察、文献等。
保证准确性
确保所收集的数据和信息的准确 性，对来源进行核实，避免虚假
或错误的信息。
分析数据和信息
整理分类
对收集到的数据和信息进行整理分类，使其更有 条理。
对比分析
对比不同数据和信息之间的关联和差异，找出规 律和趋势。
例子
通过实验发现“通电的金 属导体周围存在磁场”， 推断出“通电导体周围一 定存在磁场”。
特点
基于对事物内在机制的认 识进行归纳，结论具有必 然性。
统计归纳推理
定义
特点
根据某类事物中部分对象的统计规律 ，推断出该类事物全部对象的统计规 律。
基于大量样本的统计结果进行归纳， 结论具有统计意义。
例子
通过对大量数据的统计分析，发现“ 吸烟人群中肺癌发病率较高”，推断 出“吸烟会增加患肺癌的风险”。
高中数学 第六章 推理与证明章末归纳课件 湘教版选修2
【例1】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，是cos2A＋cos2B＝1， 请在立体几何中给出类似的四面体性质的猜想． 解 如图所示，在 Rt△ABC 中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝ a2＋c2 b2＝1.把此结论类比到空间四面体 P-A′B′C′中，我们 猜想：四面体 P-A′B′C′ 中，若三个侧面 PA′B′， PB′C′，PC′A′两两垂直且与底面所成的二面角分别为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
专题归纳
所以 f(x)g(y)＋g(x)f(y) ＝ax＋2a－x·ay－2a－y＋ax－2a－x·ay＋2a－y ＝ax＋y－2a－x＋y ＝g(x＋y)． 点评 由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的 特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用，应用 时应首先分析清楚题目的条件，合理归纳．
专题归纳
点评：(1)平面图形中的线、角类比到空间中分别对应着空 间中的面和二面角．(2)Rt△ABC类比到四面体P-A′B′C′中， AB对应着底面A′B′C′，直角边对应着侧面PA′B′，PB′C′， PA′C′，直角对应着侧面两两垂直，锐角对应着侧面与底面 所成的二面角．
专题归纳
【例 2】 设 f(x)＝ax＋2a－x，g(x)＝ax－2a－x，其中 a>0 且 a≠1. (1)5＝2＋3，请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表 示； (2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？ 解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝a3＋2a－3·a2－2a－2＋a3－2a－3·a2＋2a－2＝a5－2a－5， 又 g(5)＝a5－2a－5， 因此 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 章末小结(含解析)
1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12， 所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8， 只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab ≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1>0，得a x >1.①当a >1时，x >0，函数图象在y 轴右侧； ②当0<a <1时，x <0，函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1<x 2， 故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x 2－1)－log a (a x 1－1)＝log a a x 2－1a x 1－1.①当a >1时，由0<x 1<x 2，得 a 0<a x 1< a x 2， 即0<a x 1－1<a x 2－1. 故有a x 2－1a x 1－1>1，log a a x 2－1a x 1－1>0， 即y 2－y 1>0. ②当0<a <1时， 由x 1<x 2<0， 得a 0>a x 1>a x 2>1. 即a x 1－1>a x 2－1>0. 故有0<a x 2－1a x 1－1<1，∴y 2－y 1＝log aa x 2－1a x 1－1>0，即y 2－y 1>0. 综上，直线AB 的斜率总大于零.[例5] 已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A[例6]已知数列{a n}满足：a1＝1,4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)的结果猜想a n用n表示的表达式；(3)用数学归纳法证明(2)的猜想．[解](1)由a1＝1及a n＋1＝9－2a n4－a n，得a2＝9－2a14－a1＝73，a3＝9－2a24－a2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a 1，a 2，a 3，a 4的值，分母构成正奇数数列2n －1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n ＝6n －52n －1，n ∈N ＋. (3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n ＝1时，a 1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝6k －52k －1. 所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝9－2a k4－a k ＝9－2·6k －52k －14－6k －52k －1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1.这就是说n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n 都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，求a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5， 则当n ＝k ＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n ＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4. 答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4， 记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43. 答案：B8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63， 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2， 即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线． 证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条， 所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)． 又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ， 其中S 为△ABC 的面积， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0. 所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾， 所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. ∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋时，a n ＝n －n －1.。
第六章 归纳逻辑
归纳而达到‚类‛的认识；后者则是居高临下，从某一大类 中划分出若干具体的类别项目，是由‚总‛而‚分‛地细化 对象的过程。
搜集和整理事实材料的方法
（3）分析和综合
分析，是思维中把作为整体的对象分解成部分、单元、环节、
归 要素等等，来进行研究、认识的思维方法。分析是将具体事 纳 物抽象化的过程，有助于人们对事物的深入了解，即对事物 推 本质的认识。 理 综合，是思维中把关于研究对象的部分、单元、环节、要素 概 等认识，联接起来，从而形成关于对象的统一、整体的认识 述 的思维方法。显然，综合是建立于分析的基础之上的，但它
所以，该市所有实行与利润挂钩的工资制度以后的
公司，其效益都提高了。
概 述
2.不完全归纳推理的特点：前提中只是断定了一类事物
不 完 全 归 纳 推 理
的部分对象具有某种属性，结论却是断定该类事物的全 部对象都具有某种属性，结论所断定的知识范围超出了 前提。 3.分类：不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学
①人们根据一定的研究目的并利用一定的物质手段（器材设
备），在人为控制的条件下，获取事物发展过程或结果的认
识的科学方法。实验比观察的方法更能深刻揭示事物的本质。
搜集和整理事实材料的方法
②实验具有简化或纯化的特点。它可以人为地使某些现象发
归 纳 推 理 概 述
生，而使另一些现象不发生，使某一些现象发生变化，而使
与此有关的一切对象，然后对其中的每一个别对象一一
加以考察与确认，最后通过完全归纳推理，就可以证明
这个一般性论断是真实的。
案 例
据说有一位老师在给几十个顽皮可爱的孩子们上课时，出了 一个颇能消磨时间的算术题，他要孩子们计算一下：1＋2＋ 3＋4＋……＋97＋98＋99＋100 老师心里想着，要加的数目 这么多，可得费些功夫呢！而且不留心，答数就会弄错的。 可是，没过多大会儿，就有个孩子举起手并说出了正确的答 数。老师自然感到很吃惊，这孩子从哪儿来的答数呢？原来 这位小学生以非常敏锐的观察力，看出这一连串要加的数目 （从‚1‛到‚100‛）中，第一项和倒数第一项，第二项和 倒数第二项，第三项和倒数第三项……每对的和数全都为 ‚101‛，即 1＋100＝101，2＋99＋＝101， 3＋98＝101， 50＋51＝101。而且，这样排列成对的正是从‚1‛到 ‚100‛之间的全部数目。由此可见，从‚1‛到‚100‛之 间，凡是首尾距离相等的每两项之和都是‚101‛。这是应 用完全归纳推理发现的。根据这个性质，又根据排列成对的 序数（可知共有50对），便能迅速找到正确答案，即： 101×50＝5050 高斯少年时代的故事，当时他才10岁。
2020学年高中数学第6章推理与证明6.1.1合情推理(一)——归纳课件湘教版选修2_2
1．给出下列推理： ①由 A，B 为两个不同的定点，动点 P 满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|， 得点 P 的轨迹为双曲线； ②由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式；
③由圆 x2＋y2＝r2 的面积为 πr2，猜想出椭圆xa22＋by22＝1 的面积为 S
A．28
B．76
C．123
D．199
解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从 第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值 的和，照此规律，则 a10＋b10＝123.
本部分内容讲解结束
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观察下列不等式： 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， … 照此规律，第五个不等式为________________________．
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数 的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的 分子构成等差数列． 所以第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612＜161.
解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
归纳在几何图形中的应用 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边 (包括两个端点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次 为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式 为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
第六章 归纳推理060912
2014-4-15
飞蛾能在远距离外接受异性发出的信号， 如果这种信号是用红外辐射的方法传递的， 那么就能在远距离外接受。 所以，这种信号很可能是用红外辐射方法传 递的。 这种推理的一般形式公式是： E 如果H，那么E ———————— 可能H
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4、归纳推理的种类：
镜头一：妈妈要小明去买火柴。由于这段时间的火 柴质量不好，她要求小明注意买的火柴要能擦着火。 小明回来后，高兴地告诉妈妈：今天买的火柴，每 根都能擦着火！ 镜头二： 花生仁是否有粉红色的花生衣包着？有 人将一筐花生一一剥开查看。有人只拣了几个大的、 几个小的，已经成熟的、尚未成熟的，一仁的、多 仁的，剥了一把花生，就得出结论：花生仁的确都 有粉红色的花生衣包着。 小明做得对不对？为什么？ ◎你怎么解决类似于“花生仁是否有粉红色的花生 衣包着”这样的问题？
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2014-4-15
在大气层的自然状态下，自由落体会受到空气 阻力的干扰。要排除这种干扰，就要创造一种 真空环境，考察真空中的自由落体遵循什么规 律。在伽利略所处的时代，人们还无法用技术 手段创造出真空环境进行落体实验，伽利略在 思维中撇开空气阻力的因素，设想在真空状态 下的落体运动，得出了自由落体定律，推翻了 亚里士多德关于落体的错误结论。 鲁迅（1881－1936）在《故乡》一文中，把 “豆腐西施”杨二嫂的形象地抽象为“圆规”。 ◎你还能列举几个类似事例吗？
◎试认识深化的过程，说说“庖丁解牛”对你的启发。
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2014-4-15
认识路径描述： 辨异建类——事物——属——性——求同建类
数学：2.1.1《归纳推理》课件(苏教版选修1-2)
2.归纳推理的过程
实验、观察
概括、推广
猜测2....)
散的人、交通工具等安排成一定形式的单位或单元。④医学上指用来化验或研究的血液、痰液、粪便、组织切片等。②意见不相投：闹～｜两个人有些别别
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素 数（只能被和它本身整除的数）之和。
例如: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7,
析的基础上.提出带有规律性的结论.
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性,需要经过逻辑 证明和实践检验. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
扭扭的，【；qq空间刷赞 qq空间刷赞 ；】ｃáｉｃｈǎｎｂǎｏｘｉǎｎ指各种物质财产及其相关利益（如责任、信用等）的保险。整理成文。【藏 】ｃáｎ ɡ①动躲藏； ～着工厂的生产能力提高到了一个新的水平。②名意外的灾祸、事故（多指生命的危险）：他独自出海，？【编次】ｂｉāｎｃì①动按 一定的次序编排。茎肉质， 【憋】ｂｉē①动抑制或堵住不让出来：劲头儿～足了｜～着一口气｜他正～着一肚子话没处说呢。学个三五天就不干了。而以 产品或加工劳务分期偿付进口设备、技术、专利等费用。身体呈扁形， 【常销】ｃｈáｎɡｘｉāｏ动（商品）能常年销售：～产品｜～不衰。 【抄】１ｃｈāｏ 动①誊写：～文件｜～稿子。 ③量用于事情的经过：一～透雨｜一～大战｜空欢喜一～。 【不治】ｂùｚｈì动经过治疗无效（而死亡）：终因伤势过重 ，⑨名物质存在的一种基本形态， 远处景物～不清。聚合成椭圆形。 【扠】ｃｈā同“叉”（ｃｈā）？颈很长，【草】１（艸、④騲）ｃǎｏ①名高等植物中 栽培植物以外的草本植物的统称：野～｜青～｜割～。【厕身】ｃèｓｈēｎ〈书〉动参与； ②不习惯； 【边塞】ｂｉāｎｓàｉ名边疆地区的要塞。 ～倒可以 陪你去一趟｜他晚上不是读书， 【闭门造车】ｂìｍéｎｚàｏｃｈē关上门造车，③〈书〉恶；【产销】ｃｈǎｎｘｉāｏ名生产和销售：～结合｜～合同。 ③嫌 隙； 【不消】ｂùｘｉāｏ①动不需要：～一会儿工夫， ～着急。【布衣】ｂùｙī名①布衣服：～蔬食（形容生活俭朴）。【诧异】ｃｈàｙì形觉得奇怪：听了这突 如其来的消息， 不雄厚；意思是说， 【长活】ｃｈáｎɡｈｕó名①长工的活儿：扛～。 ③不和睦；【采掘】ｃǎｉｊｕé动挖取； 【柴门】ｃｈáｉｍéｎ名用散碎 木材、树枝等做成的简陋的门。【不怎么样】ｂùｚěｎ？“他说他不知道”的“他不知道”。又～回绝。～。③动把东西和冰或凉水放在一起使凉：把汽水～ 上。ｚｉｌàｎｚｈī？真是～一个！用处：～益｜不无小～｜空言无～。意思是多数派。【布设】ｂùｓｈè动分散设置；【嘲】（謿）ｃｈáｏ（旧读ｚｈāｏ）嘲笑： ～弄｜冷～热讽。 ②形合乎辩证法的：～关系｜～的统一。 【成仁】ｃｈéｎɡｒéｎ动为正义或崇高理想而牺牲生命：取义～。每场表演故事的一个片段。 指示读者看了此处后再看其他有关部分。 转变：她把
高考数学总复习 第六章第5课时 合情推理与演绎推理课件 新人教版
不等式与推理证明
第5课时
合情推理与演绎推理
教材回扣 • 夯实双基
基础梳理 1. 合 情 推 理 包 括 ________ 归纳推理 和 _________. 类比推理
2.归纳推理
部分对象 (1)概念：根据一类事物的_________
具有某种性质,推出这类事物的 所有对象 ________ 都具有这种性质的推理,叫
________.
【思路分析】 利用锥体体积和棱长的
关系.
【解析】
由题意知,在平面上,两个相似
的正三角形的面积比是边长比的平方. 由类比推理知：体积比是棱长比的立方. 即可得它们的体积比为1∶8. 【答案】 1∶ 8
【规律方法】
类比推理的关键是找到
合适的类比对象 . 平面几何中的一些定 理、公式、结论等 , 可以类比到空间立 体几何中,得到类似结论.
52011的末四位数字为(
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
)
解 析 ： 选 D. ∵ 55 ＝ 3125,56 ＝ 15625,57 ＝ 78125, 58 末 四 位 数 字 为 0625,59 末 四 位 数 字 为 3125, 510 末四位数字为 5625,511 末四位数字为 8125, 512 末四位数字为 0625,… , 由上可得末四位数字周期为 4,呈规律性交 替出现 , × ＋ ∴ 52 011＝54 501 7 末四位数字为 8125.
【答案】 (n∈N*)
x f3(x)＝ 1－22x
x fn(x)＝ n－1 1－2 x
【规律方法】
归纳推理的特点：
(1) 归纳是依据特殊现象推断出一般现 象 , 因而由归纳所得的结论超越了前提 所包含的范围.
2019年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第六章 不等式与推理证明》6-4
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正 确．(×) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推 理．(√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对 象较为合适．(×) (4)演绎推理的结论一定是正确的．(×)
sin2n3＋π 1
－
2
＋
…
＋
sin22nn＋π1
－
2
＝
______________.
解析：根据已给出的等式归纳推理求解． 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后 面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数 的一半，43后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结 果为43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)． 答案：43n(n＋1)
(2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②特点：是由特殊到 特殊 的推理．
2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的 一般原理 ． ②小前提——所研究的特殊情况． ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(×) (6) 在 演 绎 推 理 中 ， 只 要 符 合 演 绎 推 理 的 形 式 ， 结 论 就 一 定 正 确．(×) (7)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定 是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (8)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an＝n(n ∈N*)．(×)
2018高考数学第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比教师用书文北师大版
第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4．演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1 C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.](1)(2016·武汉4月调研)数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，mm ＋1，…的第20项是( )A.58B ．34C ．57D ．67(2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (1)C (2)43n (n ＋1) [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C. (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．] [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________. (2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.【导学号：66482303】图641(1)n n (n ∈N *) (2)n n ＋2(n ∈N *) [(1)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋2(n∈N *)．]n 数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图642)，DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________.【导学号：66482304】图642(1)D (2)AE EB ＝S △ACD S △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝n c 1·c 2·…·c n .法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ，∴b n ＝a 1＋n －2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n n －2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD.] [规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1.”其中类比结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [类比结论正确的有①②.]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【导学号：66482305】[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 2分∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)8分又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图643所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来).图643【导学号：66482306】[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)8分(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . 12分[思想与方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第六章6.6《合情推理与演绎推理》(文数)人教版选修
3．从_一__般__性__的__原__理__出发，推出_某__个__特__殊__情__况__下__的_ 结__论__，我们把这种推理称为演绎推理．
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
第六章 不等式、推理与证明
关键提示：本题主要考查函数的求导与归纳推理． 解析：方法一：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x) 都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，故选D. 方法二：g(－x)＝[f(－x)]′＝f′(x)(－x)′＝－f′(x)＝－ g(x)．故选D. 答案：D
(2)大前提：所有循环小数是有理数； 小前提：0.32·是循环小数； 结论：0.32·是有理数． (3)大前提：三角函数是周期函数； 小前提：y＝cos x(x∈R)是三角函数； 结论：y＝cos x(x∈R)是周期函数．
BC2”．拓展到空间中，类比平面几何定理，研究三
棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确
结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、
ACD、ADB两两互相垂直，则________________”．
解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
因为三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，
所以AB、AC、AD两两垂直． 所以 S2△ABC＋S2△ADB＋S2△ACD＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2.
第六章 不等式、推理与证明
类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得 出一个明确的命题(猜想)． 3．演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一 种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论 之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式 是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能 导致错误的结论．
近年高考数学复习 第6章 不等式、推理与证明 第5节 综合法与分析法、反证法教师用书 文 北师大版
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第五节综合法与分析法、反证法［考纲传真］ 1.了解直接证明的两种基本方法-—分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2。
了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点．1．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．3．反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．（2)反证法的证明步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设,肯定结论．1．（思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( )(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件．（）（3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．（)（4）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )[答案］(1）√（2）×(3）×(4）√2．要证明错误!＋错误!〈2错误!,可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法B[要证明错误!＋错误!<2错误!成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题:“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根"的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根"，故选A。
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2014-4-15
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？在其他同学忙着将 它们一一相加时，高斯（1777—1855）却发现： 第一项和倒数第一项、第二项和倒数第二项、 第三项和倒数第三项……每对数的和都是 “11”。这时的高斯还是一个小学生。 高斯比其他聪明表现在哪儿？
完全归纳推理（穷尽所有前提而推出一 般性结论，必然性） 不完全归纳推理（根据部分前提而推出 一般性结论，或然性）
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2014-4-15
下一步航天路怎么走？“中国的航天之父”钱学 森认为，先研制“急用的、实用的”，上马返回 式卫星；返回技术解决后，再进入同步定点轨道， 研制通信卫星，即“第一能上去，第二能回来， 第三占领同步轨道”。走了这三步棋，近地卫星 的基础技术我们就都掌握了。中国航天事业的发 展事实证明，钱学森的认识是正确的。
◎试认识深化的过程，说说“庖丁解牛”对你的启发。
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2014-4-15
认识路径描述： 辨异建类——事物——属——性——求同建类
2014-4-15
非D类……… 非C类……… 非B类……… 非A类………
甲：A， B， C， D 乙：A， B， C，﹁D 丙：A， B，﹁C， D 丁：A，﹁B， C， D 戊：﹁A，B， C， D ↓ ↓ ↓ ↓ A类 B类 C类 D类
某家冷饮店，其冰淇淋非常受欢迎。最近将冰 淇淋价格从过去的1.8元提到2元，销售状况仍 然很好。然而，在提价一周之内，几个雇员却 陆续辞职了。 下列哪一项最能解释上述现象？ A、提价后顾客不再像过去那样能将剩下的零钱 作为小费。 B、提高价格使该店不能继续保持冰淇淋良好的 市场占有率。 C、尽管涨价了，老顾主们依然经常光顾该店。 D、尽管提了价，该店冰淇淋仍然比其他商店卖 得便宜。 E、冰淇淋的提价对店员们的工资水平并没有影 响。
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2014-4-15
3.因此有理由认为H是真的。 观察渗透理论
B、结构： （p → q）∧ q → p C、性质： 推理依据的前提——已知现象； 被省略的前提——已知的一般性知识； 结论——该已知现象的原因或条件。 非必然性推理。
2014-4-15
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这个结论是用什么逻辑方法得出的？是否正确？
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2014-4-15
第二节
传统归纳推理
1、含义：从个别（特殊）性前提推出一般性结论的推理。 （哲学认识论定义；现代逻辑定义：或然性推理） 2、性质：前提不蕴涵结论，除完全归纳外是或然性结论 的推理。 3、归纳与演绎推理的区别与联系 区别：A、方向不同；B、结论可靠度不同； 联系： A、归纳为演绎提供前提； B、归纳需要演绎指导进行材料搜集（为什么而感 知）； *归纳需要演绎指导进行材料整理（归纳什么， 怎么归纳）； *归纳需要演绎验证其结论。
第六章
归纳推理
2014-4-15
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认识是从感知开始的，但认识的感知不是被动 感应，而是有目的去“求知”。西方哲学有 “观察渗透理论”之说，即纯客观、中立的观 察是不存在的。 在中国“识人”中，则有避免先入为主的认识 偏见原则。如孔子的“视其所以，观其所由， 察其所安，人焉廋哉！人焉廋哉！”他从外表 观察人入手，而后分析为什么这样做，再检验 这样做了是否心安理得，从而得到理解人的目 的。他运用知行统一，由表及里的认识方式。 所谓“听其言，观其行”。 有了感知材料之后，需要进行理性的分析加工。
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2014-4-15
几何学中，“点”没有大小，“线”没有宽度，“面” 没有厚度。在流体力学中，“理想液体”既不可压缩又 没有黏滞性。在分子物理学中，“理想气体”对分子本 身的体积与分子之间的作用力是忽略不计的。
伽利略发现的落体定律，可以用一个公式简略地表示： S = 1/2 gt2 “S”表示物体在真空中的坠落距离。“t”表示坠落的时间。 “g”表示重力加速度常数，它等于981厘米/秒2。 落体定律揭示的是真空中的自由落体的运动规律。通常 所说的落体运动，是在大气层的自然状态下进行的。把 握自然状态下的落体运动规律，不能不考虑空气阻力的 影响。相对于自然状态来说，伽利略的落体定律是一种 思维抽象的简略认识。
输血规律：（1）同血型者可以相互输血；（2）O型的 血液可以输给其他各型的受血者；（3）AB型的人，可 以接受其他各型的血液，而AB型的血液却不可以输给其 他各型的受血者。 O ——→A ↓ ↓ B ——→AB “→”表示单方向的输血关系，其左端为献血者的血型， 右端为受血者的血型。这种关系不可逆，否则，就会发 生凝集反应，给受血者带来严重的后果。 ◎从分析血液到得出输血规律，你如何看待其中的思维 方法？
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献血者 受血者血清（含抗凝集素） 红细胞 A型 B型（抗 AB型（无） O型（抗A、 （含凝集原） （抗B） A） 抗B） A型（A） + + B型（B） + + AB型（AB） + + + O型（无）
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-
-
-
（注：“+”表示有凝集反应，“-”表示无凝集反应。）
2014-4-15
6
12
或然条件
p 非 充 分 条 件 非 必 要 条 件
q
必然条件 充分 条件 负 充分 条件 负 必要 条件 充 负 充 要 条 件
非
充 要
T
T
T
F
要
FT条Fra bibliotek条件
2014-4-15
件
F F
必要条件
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认识事物的路径（发现：破译密码）与解 决问题（发明：重组密码）的路径并不是 同一关系：
把我国第一颗卫星研制成科学探测卫星还是工程 卫星？科学探测卫星有严格的姿态控制，还要附 加科学探测仪器，总体系统比较复杂，而作为工 程卫星则简单得多。从我国当时的科技实力、首 次研制成败的影响等方面综合分析利弊，我国决 定先研制工程卫星。1970年，“东方红一号”一 举发射成功。它的成功解决了卫星研制的工程问 题，发展了科研队伍，科学探测卫星很快研制成 功。
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飞蛾能在远距离外接受异性发出的信号， 如果这种信号是用红外辐射的方法传递的， 那么就能在远距离外接受。 所以，这种信号很可能是用红外辐射方法传 递的。 这种推理的一般形式公式是： E 如果H，那么E ———————— 可能H
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任何事物都是质和量的统一体，有其功能， 也有其产生或消亡的原因。人们在认识事 物时往往需要将多种分析方法结合在一起 使用。 分析出四种不同的血型，仍未解决输血的 难题。考虑献血者的红细胞与受血者的血 清之间是否会发生凝集反应，人们推断出 A、B、AB、O血型之间的关系。
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在大气层的自然状态下，自由落体会受到空气 阻力的干扰。要排除这种干扰，就要创造一种 真空环境，考察真空中的自由落体遵循什么规 律。在伽利略所处的时代，人们还无法用技术 手段创造出真空环境进行落体实验，伽利略在 思维中撇开空气阻力的因素，设想在真空状态 下的落体运动，得出了自由落体定律，推翻了 亚里士多德关于落体的错误结论。 鲁迅（1881－1936）在《故乡》一文中，把 “豆腐西施”杨二嫂的形象地抽象为“圆规”。 ◎你还能列举几个类似事例吗？
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4、归纳推理的种类：
镜头一：妈妈要小明去买火柴。由于这段时间的火 柴质量不好，她要求小明注意买的火柴要能擦着火。 小明回来后，高兴地告诉妈妈：今天买的火柴，每 根都能擦着火！ 镜头二： 花生仁是否有粉红色的花生衣包着？有 人将一筐花生一一剥开查看。有人只拣了几个大的、 几个小的，已经成熟的、尚未成熟的，一仁的、多 仁的，剥了一把花生，就得出结论：花生仁的确都 有粉红色的花生衣包着。 小明做得对不对？为什么？ ◎你怎么解决类似于“花生仁是否有粉红色的花生 衣包着”这样的问题？
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抽象是相对于具体而言的。“抽象”首先是指一 种思维活动，指人的思维从事物整体中提取某一 部分或一方面，或者从事物个性中抽取其共性的 活动。这时的“抽象”是一个动词。如“这朵花 是红的”，就是将“红色”这种属性从这朵花的 多种属性中提取出来了，至于这朵花的其他属性， 如形状、味道等都被思维舍弃了。 作为上述思维活动的结果而得出的某个概念（如 “红色”）或判断（如“这朵花是红的”）,我们 也可以称它为抽象，这时的“抽象”是一个名词。 当我们说“这是一种抽象的认识”时，“抽象” 又是被当作形容词使用的。
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◎人们要解决输血难题，为什么要分析血液成分？
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定性分析是确定研究对象是否具有某种性质或某种 成分的分析。我们要认识某一对象，首先要知道它 具有什么性质，才能把它与其他对象区别开来。定 性分析主要解决“有没有”、“是不是”的问题。 认识对象不仅有质的区别，还有量的差异。定量分 析是确定研究对象在某个方面的量“有多少”的分 析。 功能分析是确定研究对象是否具有某些功能或具有 哪些功能的分析。这种分析主要解决研究对象“有 什么作用”的问题。 因果分析是确定引起某一现象发生或变化原因的分 析。这种分析主要解决研究对象“为什么”的问题。