第10讲：指数与对数函数针对训练

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指数与对数运算专项----高考

指数与对数的运算热点一指数运算、化简、求值1、分数指数幂的概念和运算法则:为避免讨论,我们约定a>０,ｎ，m ∈N *，且m n为既约分数，分数指数幂可如下定义：1n a =m m n a == -1mn mn a a =2.有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，， (1);a a a αβαβ+⋅= (2）();aa αβαβ= (3)();ab a b ααα= 当a ＞0,p 为无理数时，a p 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.3.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质．在化简运算中,也要注意公式：ａ2-b 2＝(ａ-b ）（ａ+b ）,（ａ±b )２＝a 2±2ａb +ｂ2，(a ±ｂ)３=ａ3±3a 2b ＋3a ｂ2±ｂ３，a 3-b 3=(a -b ）(a 2+a ｂ+b 2），a 3+ｂ３=（a ＋b )（a 2－ａb ＋b 2）的运用，能够简化运算. 【例2】1.用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0）:(1）2a （2）3a;2.计算:1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；热点二对数的运算、化简、求值1．对数的概念：如果a x =N (a ＞0且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底Ｎ的对数,记作x ＝ｌog a Ｎ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.(a ｘ=N ｘ＝log a Ｎ)(2）对数的性质：①a log a N = Ｎ ; ②log ａa N＝ N (a >0且a ≠1). ３.对数的运算法则:如果ａ>0,a ≠1,Ｍ>０, N >０有:)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= ４.对数换底公式：aN N m m a log log log = （ a >0 ,ａａ≠１ ,m >０ ,m ≠1,Ｎ>0)． 5.两个常用的推论：①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b mn b a n a m log log = 【例3】１．计算:(1)lo ｇ535－2ｌog 573+ｌog 5７－l ｏg 51.8; （２) (ｌｇ5)２＋lg ２·ｌg50．(3)错误!;(4)2（l ｇ＼ｒ(２）)２+lg 错误!·lg5+错误!; ３．计算:log 53５+2lo ｇ错误!错误!－log 5错误!-ｌo ｇ51４；4.设log 34·loｇ4８·lｏｇ８m ＝ｌog 416,求ｍ；5．计算:①3log 12.05 , ②4log 16log 327．－－。

指数式与对数式的互化练习题含答案

指数式与对数式的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知2x=3y=m，且1x +1y=2，则m的值为( )A.√2B.√6C.√22D.62. 已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是()A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)3. 设＝5b＝m，且-＝2，则m＝（）A. B.10 C. D.4. 设log45＝2m，则4m＝（）A. B.25 C. D.5. 已知2m＝3n＝6，则等于（）A.−1B.2C.3D.16. 若2a=5b=z c，且1a +1b=1c，则z的值可能为( )A.√7B.√10C.7D.107. 已知函数f(x)=x−ae x，且e a=ln b=c，则( )A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b)D.f(c)<f(b)<f(a)8. 已知4x =3y =m ，且1x +2y =2，则m =( )A.2B.4C.6D.99. 设2a =34，则(a +2)log 274=（） A.2B.1C.23D.13 10. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约( )年．（参考数据：log 20.6790=−0.5585）A.3000B.3100C.3200D.330011. 已知2a =3b =k(k ≠1)，且2a +b =ab ，则实数k 的值为（）A.6B.9C.12D.1812. 若x log 32＝1，则4x −2−x ＝________．13. 若102x ＝25，则实数x 的值是________．14. 若3m ＝2n ＝6，则＝________．15. 若a =log 23，则2a +2−a =________．16. 已知2x =52y =M ，且1x +1y =2，则M 的值为________.17. 若3m =4n (m,n ≠0)，则log 43=________．（用m ，n 表示）18. 设2x =3y =72，则3x +2y =________.19. 若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是________．20. 计算下列各式：(1)(−2018)0+1.5−2×(338)23−0.01−0.5+log 12√324；(2)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 23.21. 计算:(1)√614−(π−1)0−(278)13;(2)lg 4+lg 25−log 28.22.(1)化简√(a 52b 2√ab −1)23√a 4b 2（a ，b >0）；(2)计算(8116)−14+14⋅log √23⋅log 34−log 50.01+2log 512−e 0+7log 713． 23. 已知3a =5b =c ，且1a +1b =2 ，求c 的值.24. 已知函数f(x)＝4x −a2x +b ，当x ＝1时，f(x)有最小值−1；（1）求a ，b 的值；（2）求满足f(x)≤0的x 的集合A ．25. 设0<a <1，且log a x +3log x a −log x y =3，（1）设x =a t (t ≠0)，以a ，t 表示y ；（2）若y的最大值为√2，求a，x．426. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg2≈0..3010，lg3≈0.4711）.参考答案与试题解析指数式与对数式的互化练习题含答案一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】2x=3y=m>0，可得x=log2m，y=log3m．代入利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2x=3y=m>0，∴x=log2m，y=log3m．∴2=1x +1y=1log2m+1log3m=logm 2+logm3=logm 6，∴m2=6，解得m=√6．故选B．2.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．3.【答案】D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=log z m，则log m2+log m5= log m z，根据对数的运算即可得解.【解答】解：设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=logzm，因为1a +1b=1c，所以1log2m +1log5m=1log z m，所以logm 2+logm5=logmz，所以logm 10=logmz，所以z=10. 故选D.7.A【考点】指数式、对数式的综合比较指数式与对数式的互化利用导数研究函数的单调性【解析】先利用导数研究函数的单调性可得f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，再结合a，b，c的大小关系可得答案【解答】解：f′(x)=e x−e x(x−a)e2x =1+a−xe x，当x>1+a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，且当x>1+a时，f(x)恒大于0，由e a=ln b=c，可知b>0，c>0，设ℎ(x)=e x−x−1，当x>0时，则ℎ′(x)=e x−1≥0，所以当x>0时，e x≥x+1，所以c=e a≥a+1, b=e c≥c+1≥a+2，所以b>c≥a+1，所以0<f(b)<f(c)，又f(a)=0，所以f(a)<f(b)<f(c).故选A.8.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化对数与对数运算【解析】应用指数和对数运算关系，得到x=log4m,y=log3m，即可建立关于m的方程，进而求出的值.【解答】解：∵4x=3y=m，∴x=log4m，y=log3m，∴1x =logm4，1y=logm3，∴1x +2y=logm4+2logm3=logm36=2,∴m=6. 故选C. 9.【答案】C指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由2a=34，得a=log234，所以(a+2)log274=(log234+2)log274=(log234+log24)log274=log23×log274=lg3lg2×2lg23lg3=23．故选C．10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型指数式与对数式的互化【解析】无【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，依题意，有(1−p)5730=12，1−p=2−15730；设距今约t年，碳14衰减为原来的(1−p)t=2−t5730=67.90%，结合参考数据：−t5730=log20.6790=−0.5585，可得t≈3200．故选C．11.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】由2a=3b=k(k≠1)，知a=log2k，b=log3k，故1a =logk2，1b=logk3，由2a+b=ab，知2b +1a=2logk3+logk2=logk18=1，由此能求出k．【解答】解：∵2a=3b=k(k≠1)，∴a=log2k，b=log3k，∴1a =logk2，1b=logk3，∵2a+b=ab，∴2b +1a=2logk3+logk2=logk 9+logk2=logk 18=1，∴k=18．故选D．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）12.【答案】263【考点】指数式与对数式的互化【解析】先求出2x＝3，即可求出答案．【解答】x log32＝1，则log32x＝1，∴2x＝3，∴2−x=13，∴4x−2−x＝9−13=263，13.【答案】lg5【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据102x＝25即可得出2x＝lg25，然后即可求出x的值．【解答】∵102x＝25，∴2x＝lg25，∴4x＝2lg5，x＝lg2．14.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】103【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据对数函数的恒等式，求出2a的值，再计算2a+2−a的值．【解答】解：∵a=log23，∴2a=2log23=3，∴2a+2−a=2a+12a=3+1 3=103．故答案为：103．16.【答案】5√2【考点】对数及其运算指数式与对数式的互化【解析】先求出x=log2M,y=log5M2，再根据1x+1y=2求得logM50=2，即可得出答案【解答】解：因为2x=52y=M>0，所以x=log2M,2y=log5M，所以y=log5M2，所以1x +1y=logM2+2logM5=logM2+logM25=logM50=2，所以M2=50，解得M=5√2或−5√2（舍去），所以M=5√2.故答案为：5√2.17.【答案】nm【考点】指数式与对数式的互化换底公式的应用【解析】暂无【解答】解：设3m=4n=a(m,n≠0)，则m=log3a，n=log4a，故log43=log a3log a4=1log3a1log4a=log4alog3a=nm．故答案为：nm．18.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】无【解答】解：由2x=3y=72，得x=log272，y=log372，即1x =log722，1y=log723.∴3x +2y=3log722+2log723=log729+log728=log7272=1．故答案为：1.19.【答案】2−log23【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式比较两数大小指数式与对数式的互化【解析】由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，即2a+b≥2√2a2b=2×2a+b2，则a+b≥2，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=tt−1=1+1t−1.因为t≥4，所以1<tt−1≤43，即1<2c≤43，所以0<c≤log243=2−log23.故答案为：2−log23.三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）20.【答案】解：(1)原式=1+(32)−2×(278)23−(1100)−12+log12254=1+(32)−2×(32)2−10−54=1+1−10−54=−374.(2)log2.56.25+lg1100+ln√e+21+log23=log2.52.52+lg10−2+ln e12+2×2log23=2−2+12+6=13 2.【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数与对数运算指数式与对数式的互化对数及其运算有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】1121.【答案】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.【考点】有理数指数幂的化简求值指数式与对数式的互化对数及其运算根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】把分数次幂化为根式得形式，求解.利用对数的和等于积的对数，乘方的对数运算法则解题.【解答】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.22.【答案】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b =a 2b a 2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log 23⋅log 32+log 5(100×14)−1+13 =23+1+2−1+13=3．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b=a2b a2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log23⋅log32+log5(100×14)−1+13=23+1+2−1+13=3．23.【答案】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.24.【答案】f(x)=4x−a2x+b=(2x−a2)2+b−a24换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}【考点】二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用指数式与对数式的互化二次函数的性质【解析】（1）考虑换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)，由题意可得当x ＝1时，即t ＝2∈(0, +∞)，函数有最小值−1，结合二次函数的性质代入可求（2）由f(x)≤0(2可得∴ 1≤2x ≤3，解不等式可求集合A【解答】f(x)=4x −a2x +b =(2x−a 2)2+b −a 24 换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}25.【答案】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a √24=34∴ a =14 此时log 14x =32∴ x =18，即a =14，x =18为所求【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】（1）若设x =a t ，试用a 、t 表示y ．首先对等式log a x +3log x a −log x y =3利用换底公式化简为(log a x )2−3log a x +3=log a y ，然后把x =a t 代入化简即可．（2）先根据（1）所解得的函数y =a t2−3t+3，然后利用二次函数的性质求如果y 有最大值√24时a 和x 的值【解答】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a√24=34 ∴ a =14此时log 14x =32∴ x =18，即a =14，x =18为所求26.【答案】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32.故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗，则当x =0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323，即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用指数式与对数式的互化【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可．【解答】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32. 故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗，则当x =0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323，即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．。

基本初等函数提高训练(指数函数、对数函数、幂函数)

基本初等函数提高训练（指数函数、对数函数、幂函数）1．若0.52a =，22log 3,log sin 5b c ππ==，则（）A ．a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>2．,则（）A ．B ．C ．D ． 3．设x ba==52,且a 1+b1=2，则x = ( ) A 、10 B 、 10 C 、 20 D 、 100 4．函数2221x x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=的值域为（） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, C. ⎥⎦⎤⎝⎛21,0 D. (]2,05．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221l o g l o g l o g n a a a -+++= Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 6．若函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间)0 ,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 ( ) A ．49(，)+∞ B ．(1，49) C ． [43，1) D ．[41，1) 7．已知函数f(x)=x lg , 0a b <<,且()()f a f b >，则（）（A ）1ab > （B ）1ab < （C ）1ab = （D ）(1)(1)0a b --> 8．方程()x x -=+31lg 的解为1x ，方程x x -=+3101的解为2x ，则=+21x x （）A ．2 B ．3 C ．4D ．5 9．若132log <a ，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >1 B ．320<<a C ．132<<aD ．320<<a 或a >110．为了得到函数103lg+=x y 的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）. A 、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C 、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D 、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 11．函数2|lg |2|1|o x y x =--的图象大致是（）cb a Rc b a c ba22121log )21(,log 21,log 2,,,==⎪⎭⎫⎝⎛=∈+且设c b a <<a b c <<b a c <<c a b <<12．已知函数f(x)=log 3x+2 (x ∈[1,9])，则函数y=[f(x)]2+f(x 2)的最大值是（） A ．13 B ．16 C ．18 D ．2213．实数n m ,满足10<<<m n ，则对于①nm32=；②n m 32log log =；③22n m =中可能成立的有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．已知3)6(2=-=y x a a (51<<a )，则yx 12+的最大值为（）A ．2 B ． 3 C ．4D ．615．若函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫⎝⎛->=12241x x a x a x f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A 、()∞+,1B 、()8,1C 、()8,4D 、[)8,416．若log 2log 20m n <<，则,m n 满足的条件是（）A 、1m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<<17．函数ln(cos )y x = ππ22x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象是（）18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(01)a a >≠且恰有3个不同的yxπ2-π2O yxπ2-π2O yxπ2-π2O yxπ2-π2O A ．B ．C ．D ．基本初等函数提高训练（指数函数、对数函数、幂函数）实数根，则a 的取值范围是（）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．3(1,4)D ．3(4,2)19．函数22x y x =-的图像大致是（）20．若⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是 A.(0,1)B ．1(0,)3 C.)31,61[ D. [)1,6121．设函数221()x f x x-⎧-=⎨⎩ 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞22．已知函数，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的值（）A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零 23．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确结论的序号是（）A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(4)D. (3)(4)24．已知是R 上的奇函数，又是周期为3的周期函数，当(0,2]x ∈时，，则0.5(log 24)f 的值为( ) A 、32B 、 4C 、12-D 、2-25．若函数在上有最小值－5，（，为常数），则函数在上（）31()()log 5xf x x=-()21x f x =-1202x x <<<12,x x []2121()()()0x x f x f x --<2112()()x f x x f x <2121()()f x f x x x ->-1212()()()22f x f x x xf ++>)(x f 12)(-=x x f 2)1(log )(223++++=x x b ax x f )0,(-∞a b )(x f ),0(+∞．有最大值5 B ．有最大值9 ．有最大值3 D ．有最小值526．已知y x y x 222log log )(log +=+，则xy 的取值范围是。

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．50,3⎛⎫⎪C ．()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知，2350x x ->，即(35)0x x ->，所以0x <或53x >.故选：C.2．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪D ．()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增，∴()327x f x x =+-在R 上单调递增；又()12f =-，327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点，故选：B.3．（23-24高一上·云南昆明·期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为23 1.65x y -=⨯．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：671.6520.2,1.6533.3≈≈）（）A ．水华面积占比每月增长率为1.65B ．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到60%左右C ．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D ．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ，由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长，故A 错误；对于B ，当8x =时，8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈，故B 正确；对于C ，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-，所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C 错误；对于D ，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D 错误.故选：B.4．（23-24高一上·云南昭通·期末）()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点M ，幂函数()g x 过点M ，则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+，令11x -=，得2x =，()124f =，则()()1log 14a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()g x x α=，则124α=，即2α=-，即()2g x x -=，∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D.5．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===，则（）A ．c b a <<B ．<<b c aC ．<<c a bD ．a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A6．（23-24高一上·云南·期末）若()21()ln 1||f x x x =+-，设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大，即()0,x ∈+∞，()21()ln 1||f x x x =+-单调递增，因为()()33a f f =-=，()0.3(ln2),2b f c f ==，且00.3112222=<<=，0ln2lne 1<<=，所以0.3ln 223<<，所以()()()0.3ln223f f f <<-，即b c a <<，也就是a c b >>.故选：D7．（23-24高一下·云南·期末）设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,2B ．(2,3]C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=，解得()2f x =或()f x a =，函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，函数值的集合为(2,3]，在(0,1]上单调递减，函数值的集合为[0,)+∞，在[1,)+∞上单调递增，函数值的集合为[0,)+∞，在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象，显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点，由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解，则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，此时23a <≤，所以实数a 的取值范围是(2,3].故选：B8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若()12:lo g 11,:39a p a q --<<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=，则012a <-<，解得13a <<；对于1:39a q -<，则12a -<，解得3a <；因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知函数()()2ln 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ，当1x =时，2210x x -=-<，此时()()2ln 2f x x x =-无意义，故A 错误；对于B ，由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞，满足()[)0,1,+∞⊆-+∞，所以函数()f x 的值域是R ，故B 正确；对于C ，由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦，且定义域为()(),02,-∞+∞ ，它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-，即函数()f x 的图象关于1x =对称，故C 正确；对于D ，由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ，故D 错误.故选：BC.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则下列结论中正确的是（）A ．122x x +=-B ．1204x x <<C ．()41,4x ∈D ．342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知，12()224x x +=⨯=--，故A 项错误；对于选项B ，因120x x <<，由上述分析知124x x +=-，则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=，因12x x ≠，故有1204x x <<，即B 项正确；对于选项C ，如图，因0x ≤时，2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤，0x >时，2()|log |f x x =，依题意须使20|log |2x <<，由2|log |0x >得1x ≠，由2|log |2x <解得：144x <<，故有3411,144x x <<<<，即C项正确；对于选项D ，由图知2324log log x x -=，可得341x x =，故431x x =，则343322x x x x ++=，3114x <<，不妨设21,(,1)4y x x x =+∈，显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减，故23334x x <+<，即342x x +的取值范围是(333,4)，故D 项错误.故选：BC.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）关于函数()ln f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈B ．对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C ．对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()1212f x f x x x ->-D ．对12,0x x ∀>，均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项，由于1y x =在R 上单调递增，2ln y x =在()0,∞+上单调递增，故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，故由零点存在性定理可得，方程()0f x =有唯一的实数解c ，且(0,1)c ∈，A 正确；B 选项，()ln f xy xy xy =+，()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++，显然,0x y ∀>，由于xy 与x y +不一定相等，故()()f x f y +与()f xy 不一定相等，B 错误；C 选项，由A 选项可知，()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，对()1212,0x x x x ∀>≠，都有()()12120f x f x x x ->-，C 正确；D 选项，12,0x x ∀>，均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+，由于12122x x x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立，故1212ln ln 2x x x x +≥，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，D 错误.故选：AC 三、填空题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增，则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，故答案为：[]2,513．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数()ln(1)f x x =+，2()g x x a =-+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时，()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为：(0,).+∞14．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ，则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<，这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ，若10M 是10位数，则M 的值为.（参考数据：0.9 1.1107.94,1012.56≈≈）【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<，两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<，即910lg 10M ≤<，所以0.9lg 1M ≤<，即0.91010M ≤<，又M 为正整数，所以8M =或9M =.故答案为：8或9四、解答题15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.16．（23-24高一上·云南昭通·期末）化简求值：(1)()13103420.027π4160.49--++；(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】（1）()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=；（2）ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17．（23-24高一上·云南·期末）已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数．(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性；(2)若对于任意t ∈R ，不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1m =，证明见解析(2)3k <-【详解】（1）因为()f x 是奇函数，函数的定义域为R ，所以(0)0f =，所以1033m-=+，所以1m =，经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <，则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数，故12()()0f x f x ->．所以()f x 在R 上是单调减函数（2）由（1）知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因为()f x 是奇函数，所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2262t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2360t t k -->，从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-．所以k 的取值范围是3k <-．18．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （0a >且1a ≠）．(1)讨论()f x 的单调性（不需证明）；(2)若2a =，（ⅰ）解不等式3()2≤f x x；（ⅱ）若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-，求t 的值．【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）(](],10,1-∞-⋃；（ⅱ）2t =-或2t =【详解】（1）若1a >，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增；若01a <<，则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减．（2）（ⅰ）3()2≤f x x ，即132()022xx x --≤，设13()2()22xx g x x=--，则(1)0g =，()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，当0x >时，()g x 单调递增，由()(1)g x g ≤，解得01x <≤，根据奇函数的性质，当0x <时，()(1)g x g ≤的解为1x ≤-，综上所述，3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃．（ⅱ）2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-，令22x x m --=，因为[]1,1x ∈-，则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()()22g x h m m tm ==++，其图象为开口向上，对称轴为m t=-的抛物线，①当32t -≤-，即32t ≥时，min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-，解得2t =．②当3322t -<-<，即3322t -<<时，222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-，解得1152t =，2152t =-矛盾．③当32t -≥，即32t ≤-时，min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-，解得2t =-．综上所述，2t =-或2t =．19．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数()e (0)x f x mx m =-<．(1)求(1)f -和(0)f 的值，判断()f x 的单调性并用定义加以证明；(2)设0x 是函数()f x 的一个零点，当1em <-时，()02f x k >，求整数k 的最大值．【答案】(1)1(1)e f m --=+，(0)1f =，()f x 在定义域R 上单调递增，证明见解析，(2)整数k 的最大值为1-【详解】（1）1(1)e f m --=+，(0)1f =，判断()f x 在定义域R 上单调递增，证明如下：在R 上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---，因为12x x <，0m <，所以12e e x x <，120x x -<，0m ->，所以12e e 0x x -<，12()0m x x --<，所以1212(e e )()0x x m x x ---<，即12())0(f x f x -<，所以12()()f x f x <，所以()f x 在定义域R 上单调递增．（2）由题意得0()0f x =，即00e 0x mx -=，1em <-，则10e m +<，即0(1)0()f f x -<=，由()f x 是R 上的增函数，所以01x -<，又0(0)10()f f x =>=，所以010x -<<，0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-，令01e (ext =∈,1)，则22()2(1)1g t t t t =-=--，所以()g t 在1(e ,1)上单调递减，所以()()11g t g >=-，即0(2)1f x >-，当1em <-时，0(2)f x k >，所以1k ≤-，所以整数k 的最大值为1-．。

指数函数对数函数专项训练

指数函数对数函数专项训练一、介绍指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数理化学、经济学、生物学等学科中都有广泛的应用。

本文将对指数函数和对数函数进行深入探讨，包括其定义、性质、图像、运算规律以及实际应用等方面。

二、指数函数1. 定义指数函数是以底数为常数的函数，自变量位于实数集上。

一般形式为：f(x)=a x，其中a是底数，x是自变量，f(x)是函数值。

底数a必须是一个正实数且不等于1。

2. 图像和性质•当底数a>1时，指数函数的图像呈现上升趋势，且在x=0处经过点(0, 1)。

•当底数0<a<1时，指数函数的图像呈现下降趋势，且在x=0处经过点(0,1)。

•指数函数的性质包括：增减性、奇偶性、单调性和零点等。

3. 运算规律指数函数有一些重要的运算规律，如指数相乘、指数相除、指数相加、指数相减等。

这些运算规律可以简化指数函数的计算。

三、对数函数1. 定义对数函数是指以某个正实数为底数的函数。

对数函数的定义与指数函数是互逆的。

一般形式为：f(x)=log a x，其中a是底数，x是自变量，f(x)是函数值。

2. 图像和性质•对数函数的图像呈现递增趋势，与指数函数的图像相互关联。

•对数函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。

3. 运算规律对数函数有一些重要的运算规律，如对数乘法法则、对数除法法则、对数加法法则、对数减法法则等。

这些运算规律可以简化对数函数的计算。

四、指数函数和对数函数的关系1. 指数函数和对数函数的互逆关系指数函数和对数函数是一对互逆函数，即指数函数和对数函数可以互相抵消。

例如，a log a x=x和log a(a x)=x。

2. 指数函数和对数函数的性质指数函数和对数函数具有一些重要的性质： - f(x)=a x和g(x)=log a x是一对互为反函数的函数； - 两个函数的图像关于y=x对称； - 指数函数和对数函数的复合函数为x本身； - 指数函数和对数函数的性质可以相互推导。

北师大版高中数学必修一指数与对数函数.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作指数与对数函数同步练习姓名：班别：学号：一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N M 的值为（） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1l o g (1),l o g ,l o g 1y a a a x m n x+==-则等于（） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（）A 、lg5lg7B 、lg35C 、35D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12x-等于（） A 、13 B 、123 C 、122 D 、1336、函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（） A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log 13a<，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+B 、22log 1y x =-C 、21log y x =D 、212log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

指数函数与对数函数知识精讲+核心素养练习

指数函数与对数函数知识精讲+核心素养练习一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n:(1)(na)n已暗含了na有意义,据n的奇偶性可知a的范围;(2)na n中的a可以是全体实数,na n的值取决于n的奇偶性.2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方､拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住三点:(1)底数是大于0且不等于1的常数; (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上; (3)a x 的系数必须为1.5.求指数函数的解析式常用待定系数法.6.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.7.解不等式a f (x )>a g (x )(a >0,a ≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质a log a N=N 与log a a b =b 的作用(1)alog a N=N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.(2)log a a b =b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数.9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,底数不同时,利用换底公式把底数换成相同,再找真数间的联系. 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x >log a b 的不等式,借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a >1与0<a <1两种情况讨论;(2)形如log a x >b 的不等式,应将b 化为以a 为底数的对数式的形式,再借助y =log a x 的单调性求解; (3)形如log a x >log b x 的不等式,可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围,要结合复合函数的单调性规律,注意函数的定义域求解;若是分段函数,则需注意两段函数最值的大小关系.13.求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解.三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(;2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a nn例题1.(1)若x <0,则x +|x |+x 2x=________.(2)若-3<x <3,求x 2－2x ＋1-x 2＋6x ＋9的值.知识点二利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂:规定:a m n =a >0,m ,n ∈N *,且n >1)2.负分数指数幂:规定:a -m n =1a m n =1(a >0,m ,n ∈N *,且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈R ). (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈R ). (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈R ). 例题2:化简求值:知识点三指数函数的概念1.一般地,函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数,且f ⎝⎛⎭⎫－32=39,则f (-2)=________.知识点四指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4.求下列函数的定义域和值域:(1)y =1－3x ; (2)y =⎝⎛⎭⎫12x 2-2x -3;(3)y =4x +2x +1+2.例题5. 比较下列各组数的大小:(1)1.52.5和1.53.2; (2)0.6-1.2和0.6-1.5; (3)1.70.2和0.92.1;(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1).知识点五对数运算性质的应用对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (MN )=log a M +log a N ; (2)log a MN =log a M -log a N ;(3)log a M n =n log a M (n ∈R ). 例题6.计算下列各式的值: (1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2;(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.知识点六对数的换底公式1.若a >0且a ≠1;c >0且c ≠1;b >0,则有log a b =log c blog c a .例题7.(1)计算:(log 2125+log 425+log 85)·(log 1258+log 254+log 52). (2)已知log 189=a,18b =5,求log 3645(用a ,b 表示).知识点七对数函数的概念1.函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 例题8.若函数y =log (2a -1)x +(a 2-5a +4)是对数函数,则a =________.知识点八对数函数的图象与性质(0,+∞)例题9.求下列函数的定义域:(1)f (x )=1log 12x ＋1; (2)f (x )=12－x +ln(x +1);例题10.比较下列各组值的大小:(1)log 534与log 543;(2)log 132与log 152;(3)log 23与log 54.五易错点分析易错一指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12+a －12=4,求下列各式的值:(1)a +a -1;(2)a 2+a -2.易错二利用指数函数的单调性解不等式例题12.解不等式⎝⎛⎭⎫123x -1≤2;(2)已知a x 2-3x +1<a x +6(a >0,a ≠1),求x 的取值范围.易错三对数的运算例题13.求值:(1)log 23·log 35·log 516; (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).易错四函数的图象例题14.函数y =a -x 与y =log a (-x )的图象可能是( )易错五解对数不等式例题15. 已知log 0.7(2x )<log 0.7(x -1),求x 的取值范围.一､核心素养聚焦考点一逻辑推理-指数函数､对数函数性质的综合运用例题16.(1)判断f (x )=⎝⎛⎭⎫13x 2-2x的单调性,并求其值域.(2)已知y =log a (2-ax )是[0,1]上的减函数,则a 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2)D.[2,+∞)(3)函数f (x )=log 12(x 2+2x +3)的值域是________.考点二数学运算-幂的运算例题17､计算:⎝⎛⎭⎫2350+2-2×⎝⎛⎭⎫214－12-(0.01)0.5;(2)化简:3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0).例题18. 求下列函数的定义域:(1)f(x)=lg(x-2)+1x－3;(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).考点三直观想象-指数函数､对数函数的图象的应用例题19.(1)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象为( )A B C D。

高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题

高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题学而通黄冈教育教师: 学生:高考指数函数和对数函数一.基础知识(一)指数与指数幂的运算n1(根式的概念:一般地，如果，那么叫做的次方xanx,a*根，其中>1，且?( Nnnn负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

0,0a(a,0),nnnn当是奇数时，，当是偶数时， a,aa,|a|,nn,,a(a,0),2(分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定:m*nmna,a(a,0,m,n,N,n,1)m,11*n a,,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3(实数指数幂的运算性质rr，sra,aa(a,0,r,s,R)(1)? ;rsrs (a),a(a,0,r,s,R)(2) ;rrs(ab),aa(a,0,r,s,R)(3) ((二)指数函数及其性质x1、指数函数的概念:一般地，函数叫y,a(a,0,且a,1)做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R( 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1(2、指数函数的图象和性质a>1 0<a<166554433221111-4-2246-4-224600-1-1定义域 R 定义域 R值域y,0 值域y,0在R上单调递在R上单调递增减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过函数图象都过定点(0，1) 定点(0，1)注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出:x[f(a),f(b)](1)在[a，b]上，值域是f(x),a(a,0且a,1)1学而通黄冈教育教师: 学生:[f(b),f(a)]或;f(x),1(2)若，则;取遍所有正数当且仅当x,0f(x)x,R;xf(1),a(3)对于指数函数，总有; f(x),a(a,0且a,1)二、对数函数(一)对数xa,N(a,0,a,1)1(对数的概念:一般地，如果，那么数叫x做以为底的对数，记作:(—底数，—真NNx,logNaaa((( 数，—对数式) logNa说明:1 注意底数的限制，且; a,0a,1?x2 ; a,N,logN,x?alogN a3 注意对数的书写格式( ?两个重要对数:1 常用对数:以10为底的对数; lgN?2 自然对数:以无理数为底的对数的对数e,2.71828？?( lnN指数式与对数式的互化幂值真数b, N, b logN,aa底数指数对数 (二)对数的运算性质如果a,0，且a,1，M,0，N,0，那么:1 ?M?，;2 ,log(MlogMlogNlog,logMN),?aaaaaN; logNanlogM3 ( logM,n(n,R)?aa注意:换底公式logbclogb,a,0a,1c,0c,1b,0 (，且;，且;)( alogac利用换底公式推导下面的结论1nn(1);(2)( logb,logb,logbmaaalogamb(二)对数函数1、对数函数的概念:函数，且叫做对y,logx(a,0a,1)a2学而通黄冈教育教师: 学生: 数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+?)( x注意:1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，?x注意辨别。

(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用

第十讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值．题组三走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140，即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得：当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题

基本初等函数知识点1.指数(1)n 次方根的定义：若nx a =，则称x 为a 的n 次方根，在实数围，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根。

(2)方根的性质：①na =②当n 是奇数时，a a n n =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n(3)分数指数幂的意义：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm(4)实数指数幂的运算性质：(1)_______(0,,)r s a a a r s R ⋅=>∈(2)_______(0,,)r s a a a r s R ÷=>∈()(3)_______(0,,)sr a a r s R =>∈()(4)________(,0,)rab a b r R =>∈2.对数(1)对数的定义：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a —底数，N —真数，N a log —对数式）常用对数：以10为底的对数______；自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数______． (2)指数式与对数式的关系：__________x a N =⇔（0>a ，且1≠a ，0N >）(3)对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N ____________________；②=N Malog __________________________； ③log na M =_________________________)(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．(4)几个小结论：①log _____n na b =；②log ______a=；③log _______n ma b =；④log log ____a b b a ⋅= (5)对数的性质：负数没有对数；log 1____;log _____a a a ==. 3.指数函数及其性质 (1)指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．(1)对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．5.(1)幂函数定义：一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数．(2)幂函数性质归纳：①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1，1），不过第四象限； ②0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间(0,)+∞上是增函数； ③0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．与x 轴、y 轴没有交点； ④当α为奇数时，αx y =为奇函数；当α为偶数时，αx y =为偶函数。

高中数学基础提升练习指数函数、对数函数、幂函数

高中数学基础提升练习指数函数、对数函数、幂函数
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高中数学基础提升练习—指数函数、对数函数、幂函数
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一、选择题
1．(2019年陕西省西安市第一中学月考)函数y＝ax＋2(a>0且a≠1)图象一定过点 ( )
A．(0，1) B．(0，3)
C．(1，0) D．(3，0)
解析：因为函数y＝ax(a>0且a≠1)图象一定过点(0，1)，所以函数y＝ax＋2(a>0且a≠1)图象一定过点(0，3)，故选B.答案：B
......
资料太多，因为篇幅原因就不全部放出来了，但都整理好了大家自行收藏学习
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2012年高考复习第10讲指数与对数函数

新课标数学2012届高考第一轮复习学案第10讲指数与对数函数（第一课时）一、目标要求：（1）指数函数：①了解指数函数模型的实际背景．②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．③知道指数函数是一类重要的函数模型，了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题．（2）对数函数：①理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点．②知道对数函数是一类重要的函数模型；会画指数函数的图象③了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝log ax 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．了解对数函数模型的实际案例。

二、基础知识：1．指数函数注意：①应根据图象记忆和应用性质；②性质（4）即函数值的分布情况，可表述为以下的等价形式：若0)1(>-x a ，则1>xa ；若0)1(<-x a ，则10<<xa 。

利用1-a 与x 同号或异号，借助指数函数的增减性极易证明。

3．指、对数函数的性质比较（1）x a y =恒过定点)1,0(，x y a log =恒过定点)0,1(；（2）当1>a 时，x a y =与均为增函数，10<<a 时，均为减函数。

（3）x a y =与xay )1(=的函数图象关于y 轴对称；x y a log =与x y a1log =的函数图象关于x 轴对称。

（4）对于对数函数值的正负情况有下列关系：),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a ；),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a 。

对于该结论要熟记。

4．指、对数函数的图象比较（1）对于指数函数x a y =：当1>a 时，底数越大，图象越贴近y 轴，当10<<a 时，底数越小，图象越贴近y 轴。

高一指数函数与对数函数经典基础练习题-及答案

指数函数与对数函数一. 【复习目标】1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解.3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想.二、【课前热身】1.设5.1348.029.0121,8,4-⎪⎭⎫ ⎝⎛===y y y ，则 ( )A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >>2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( )A (]a ,0B ()+∞,0C (]1,0D [)+∞,13.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，=)(x f ( )A 110--xB 110-xC x --101D x 101-4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】例1.设a>0，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数例2.已知()())2(log 2log )(,22log )(222>-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围(2) 求)()()(x g x f x F +=的值域.例3.已知函数)1(12)(>+-+=a x x a x f x（1）证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数；（2）证明方程0)(=x f 没有负数根四、方法点拨1.函数单调性的证明应利用定义.2.含参数的二次函数在闭区间上的最值应注意谈论.3.会用反证法证明否定性的命题.1 求下列各式中的x 的值： (1)313x =；(2)6414x =；(3)92x =； (4)1255x2=；(5)171x 2=-．2 有下列5个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a -=，④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅， ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-，将其中正确等式的代号写在横线上_____________．3 化简下列各式： (1)51lg 5lg 32lg 4-+； (2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+；(3)3lg 70lg 73lg -+； (4)120lg 5lg 2lg 2-+．4 利用对数恒等式N a N log a =，求下列各式的值： (1)5log 4log 3log 354)31()51()41(-+ (2)2log 2log 4log 7101.0317103-+(3)6lg 3log 2log 100492575-+ (4)31log 27log 12log 2594532+-5 化简下列各式：(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-冲刺强化训练(3)1.函数()01312<≤-=-x y x 的反函数是（） A. ⎪⎭⎫⎝⎛≥+=31log 13x x y B ⎪⎭⎫⎝⎛≥+-=31log 13x x y C ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<+=131log 13x x y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<+-=131log 13x x y2.若⎩⎨⎧≥<+=)6(log )6)(3()(2x x x x f x f ，则)1(-f 的值为（）A 1B 2C 3D 43.已知1x 是方程xlgx=2006的根，2x 是方程x 200610=x的根，则21x x ⋅等于( )A 2005B 2006C 2007D 不能确定4.函数2||21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y 的值域是5.函数），且10(≠>=a a a y x 在[]21，上的最大值比最小值大2a，则a 的值是6.已知函数）且10)(3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 满足：对任意实数21,x x ，当221ax x ≤<时，总有()()21x f x f >，那么实数a 的取值范围是7.设函数)(log )(2xx b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f（1）求a,b 的值；（2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 最大值8.已知函数)(x f 在定义域()1,1-上是减函数，且)1()1(2a f a f ->- （1）求a 的取值范围；（2）解不等式：().1log 1log a x a a >-9.设函数)1144(log )(223-+++-=m m m mx x x f ，其中m 是实数，设{}1|>=m m M (1) 求证：当M m ∈时，)(x f 对所有实数x 都有意义；反之，如果)(x f 对所有实数x 都有意义，则M m ∈；(2) 当M m ∈时，求函数)(x f 的最小值；(3) 求证：对每一个M m ∈，函数)(x f 的最小值都不小于1.。

指数与对数函数的运算与应用备课讲解与习题范例

指数与对数函数的运算与应用备课讲解与习题范例指数与对数函数是高等数学中的重要内容，它们在科学、工程、经济和统计等领域中有着广泛的应用。

本文将围绕指数与对数函数的运算规则和应用进行详细讲解，并提供一些习题范例，以便读者更好地理解和掌握这一知识。

一、指数函数的运算指数函数是以常数e为底的幂函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数具有以下运算规则：1. 指数函数的相乘规则：当两个指数函数具有相同的底数时，指数相乘等于底数不变，指数相加。

即：a^m × a^n = a^(m+n)。

例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

2. 指数函数的幂乘规则：当一个指数函数的幂是另一个指数函数时，底数不变，指数相乘。

即：(a^m)^n = a^(m×n)。

例如，(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。

3. 指数函数的倒数规则：一个指数函数的倒数等于其底数不变，指数取相反数。

即：(a^m)^(-1) = a^(-m)。

例如，(2^3)^(-1) = 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8。

二、对数函数的运算对数函数是指数函数的反函数，用来表示一个数用什么指数对底数进行幂运算可以得到该数。

对数函数的运算规则如下：1. 对数函数的乘法规则：当两个对数函数具有相同的底数时，对数函数的乘法等于指数相加。

即：loga(xy) = loga(x) + loga(y)。

例如，log2(4×8) = log2(4) + log2(8)。

2. 对数函数的除法规则：当两个对数函数具有相同的底数时，对数函数的除法等于指数相减。

即：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)。

例如，log2(8/2) = log2(8) - log2(2)。

3. 对数函数的幂运算规则：对数函数的幂运算可以转化为乘法运算。

即：loga(x^n) = nloga(x)。

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第10讲函数指数函数对数函数和

高考数学常见题型解法归纳反馈训练第10讲函数指数函数对数函数和第10讲函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用[知识要点]一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型法是抽象和总结实际问题，建立相应数学模型，并利用这些模型研究实际问题的一种通用数学方法；数学模型是用数学语言对实际问题进行抽象概括，然后从数学角度进行反映或近似反映时，对实际问题的数学描述数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。

不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述。

数学应用问题的建模过程是信息获取、存储、处理、合成和输出的过程。

熟悉一些基本的数学模型将有助于提高我们解决实际问题的能力。

三、三种增长函数增长率的比较1、指数函数尽管在的一定范围内而总存在一个什么时候与幂函数会小于时有但是因为.与幂函数对数函数的增该范围内的增长速度快于，无论比大多少，增长率由于2、对数函数长速度，不管大小和数值，总是比实数慢,当.时有因此，在定义域中总是有一个3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在.四、分段函数在函数定义领域，对于自变量的不同取值范围有不同的对应规则，因此该函数称为分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

编写一个函数时，请注意格式上，总会存在一个实数什么时候时有一般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集.五．解决实际问题的解题过程（1）实际问题的抽象概括：研究实际问题中数量与数量的关系，确定变量之间的主动关系和被动关系，并使用分别表示问题中的变量；在中学数学中，我们建立了一个函数模型（2）建立函数模型：将变量般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题要求解的目标和函数公式的结构特点，正确选择函数知识，得到函数模型的解，并将其还原为实际问题的解这些步骤用框图表示：六、解决应用程序问题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解决方案：首先对数学模型进行求解，得出数学结论，要充分重视数学模型中各要素的实际意义，更要注意巧妙的思维和优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．七、常用的函数模型包括一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、序列函数模型、，线性目标函数模型和综合函数模型[method comment]模型一函数的问题解决步骤[example 1]一个城市的现有总人口是一个问题：（1）写出该城市人口总数（10000人）与年（年）之间的功能关系；指数函数模型先建立指数函数模型，再解答.万人，如果年自然增长率为，尝试回答以下问题2（2）计算一年后该城市的总人口（精确到10000）；万人（精确到年）．）(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到（【点评】（1）增长率（下降率）问题一般是指数模型或幂函数模型。

指数对数函数高考专题目练习-7页文档资料

高考要求：1、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、掌握指数函数的概念、图像和性质．3、理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4、掌握对数函数的概念、图像和性质．5、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．考点回顾：1．幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈(4)正分数指数幂)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零4．对数的内容 (1)对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a (2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0(4)对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且5、指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：6、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制7、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练(含解析)

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练1.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A. B. C. D.2.下列函数增长速度最快的是( )A. B. C. D.3.已知函数，，，在区间上一定存在，当时( )A. B. C. D.4.函数的图象大致是( ).A.B.C. D.5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是( )A. B.C.（，，且）D.（，，）()(1,2,3,4)if x i=(1)x x>21()f x x=2()2f x x=32()logf x x=4()2xf x=21()f x x=2()2f x x=32()logf x x=4()2xf x=3xy=3logy x=3y x=3y x=12xy=22y x=32logy x=(0,)+∞xx x>222logx x x>>222logxx x>>22log2xx x>>22log2xx x>>22xy x=-60℃2(0)y mx n m=+>(0)y mx n m=+>xy ma n=+0m>0a>1a≠logay m x n=+0m> 0a>1a≠6.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据.A. B. C. D.7.已知,,,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )A. B. C. D.8.以下四种说法中，正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的，C.对任意的，D.不一定存在，当时，总有9.（多选）设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )A.的增长速度最快, 的增长速度最慢B.的增长速度最快, 的增长速度最慢C.的增长速度最快, 的增长速度最慢D.的增长速度最快, 的增长速度最慢10.（多选）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )A.随着x 的逐渐增大，增长速度越来越快于B .随着x 的逐渐增大，增长速度越来越快于C .当时，增长速度一直快于D .当时，增长速度有时快于log n a x x>log x a a x>0x x >10y x =25510y x x =-+210log 10y x =+52x y =⨯2()f x x =()2x g x =2()log h x x =(4,)x ∈+∞()()()f xg xh x >>()()()g x f x h x >>()()()g x h x f x >>()()()f x h x g x >>0x >0x >0x log x n a a x x>>()()()22,2,log x f x x g x h x x ===(4,)x ∈+∞()f x ()h x ()g x ()h x ()g x ()f x ()f x ()g x 21y x =22x y =3y x =1y 2y 2y 1y 0()x ∈+∞,1y 3y 0()x ∈+∞,2y 1y11.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据：x1.9934 5.18y 0.99 1.582.01 2.353.00现有如下4个模拟函数：①；②；③；④.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________.12.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过______年.（参考数据：取，）13.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间x ()的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲在最前面；②当时，乙在最前面；③当时，丁在最前面，当时，丁在最后面；④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲.其中正确结论的序号为__________.14.为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y (单位:万元)关于销售利润x (单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①②③0.580.16y x =-2 3.02x y =-2 5.58y x x =-+2log y x =lg 30.48=lg11 1.041=()1234()i f x i =,,,0x ≥()121x f x =-()22f x x =()3f x x =()()42log 1f x x =+1x >1x >01x <<1x >()0y kx b k =+>()20x y k m k =⋅+>()3log 303x y k n k ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;（2）根据你在（1）中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元?15.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.（1）现有三个奖励函数模型:①,②,③,.试分析这三个函数模型是否符合公司要求?（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元()0.038f x x =+()0.8200x f x =+()20100log 50f x x =+[]3000,9000x ∈答案以及解析1.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.2.答案：A解析：结合函数，，，的图像可知，随着x 的增大，函数的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，的增长速度不变，故本题选A.3.答案：A解析：由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x 很大时，指数函数值最大，对数函数值最小，即在区间上一定存在，当时，，故选A.4.答案：A 解析：易知在区间上，当时，，即；当时，，即；当时，，即.又当时，，据此可知只有A 符合条件.5.答案：C解析：由散点图的连线是曲线可知，B 选项不符合题意；对于A 选项，因为A 中的函数是二次函数，其图象对称轴为y 轴，与题中图象不符，故排除A ；对于D 选项，D 中的函数图象过定点，且必穿过x 轴，D 选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象，故选C.6.答案：D解析：对于A 选项，当时，对应的y 值分别为10，20，30，40，50；对于B 选项，当时，对应的y 值分别为10，20，40，70，110；对于C 选项，当时，对应的y 值分别为10，20，，30，；对于D 选项，当时，对应的y 值分别为10，20，40，80，160，而表中所给的数据，当时，对应的y 值分别为10，20，39，81，160，通过比较，发现选项D 中y 的值与表格中y 的值误差最小，即能更好地反映y 与x 之间的关系.故选D.7.答案：B解析：由函数性质可知，在内，指数函数增长速度最快，对数函数3x y =3log y x =3y x =3y x =3x y =3y x =3log y x =3y x =(0,)+∞0x 0x x >222log x x x >>(0,)+∞(0,2)x ∈22x x >0y >(2,4)x ∈22x x <0y <(4,)x ∈+∞22x x >0y >1x =-1(1)210f --=-<(1,)n 1,2,3,4,5x =1,2,3,4,5x =1,2,3,4,5x =210log 310+210log 510+1,2,3,4,5x =1,2,3,4,5x =52x y =⨯4+∞（，）()2x g x =增长速度最慢，所以.故选B.8.答案：D解析：对于A ，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B 、C ，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.9.答案：ACD解析：画出函数,,的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数,,中,当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.所以选项B 正确;选项ACD 不正确.故选：ACD.10.答案：BD解析：在同一坐标系内画出函数，，的图象，如图所示：对于A ，随着x 的逐渐增大，增长速度不是越来越快于，故A 错误；对于B ，随着x 的逐渐增大，增长速度越来越快于，故B 正确；2()log h x x =()()()g x f x h x >>01a <<1a >0n >0x 0x x >log x n a a x x >>1a >0n >()2f x x =()2x g x =()2log h x x =()2f x x =()2x g x =()2log h x x =(4,)x ∈+∞()2x g x =()2log h x x =21y x =22x y =3y x =1y 2y 2y 1y对于C ，当时，增长速度不是一直快于，故C 错误；对于D ，当时，增长速度有时快于，故D 正确；故选BD .11.答案：④解析：根据表格画出图象,由图分析增长速度的变化,可知试验数据符合对数函数模型,故选④.12.答案：12解析：假设该林区当前的木材蓄积量为1，经过x 年的木材蓄积量为.由题意得，得.因为，所以，故至少需要经过12年.13.答案：③④⑤解析：路程关于时间x ()的函数关系式分别为，，，.它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.当时，，，则①不正确；当时，，，则②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，画出四个函数的图象(图略)，可知当时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而当时，丁在最前面，当时，丁在最后面，则③正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，则④正确；0()x ∈+∞,1y 3y 0()x ∈+∞,2y 1y 1110x⎛⎫ ⎪⎝⎭11310x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1110log 3x ≥1110lg 30.48log 311.7lg1110.041==≈-11.7x ≥()1234()i f x i =,,,0x ≥()121x f x =-()22f x x =()3f x x =()()42log 1f x x =+2x =()123f =()224f =5x =()1531f =()2525f =1x =01x <<1x >指数型函数的增长速度是先慢后快，若运动的时间足够长，则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，则⑤正确.14.答案：（1）③,理由见解析（2）72万元解析:（1）对于模型①,,图象为直线,故①错误,由图可知,该函数的增长速度较慢,对于模型②,指数型的函数是爆炸型增长,故②错误,对于模型③,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型③,（2）由（1）可知,选项模型③,所求函数过点,,则,解得,,故所求函数为,,即,,,至少应完成销售利润72万元.y kx b =+(0,0)(18,3)33log 30log (63)3k n k n +=⎧⎨++=⎩3k =3n =-33log 333x y =+⎫ ⎪⎝⎭-⎛∴33log 3363x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝+≥3log 333x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥∴3273x +≥∴72x ≥∴。

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（聚焦2008四川高考）第10讲：指数与对数函数针对训练
一、选择题
1. 函数y=log 3（－2x ２＋5x －2）的单调递增区间是（）
A. (1，45]
B. （21，1）
C. (21，45]
D. [4
5，2) 【点击考点】考查求函数的单调区间
2. 已知函数y=f （x ）在（－∞，+∞）上是减函数，a 、b ∈R ，且a+ b ≤0，则有（）
A. f （a ）+f （b ）≤－f （a ）－f （b ）
B. f （a ）+f （b ）≥－f （a ）－f （b ）
C. f （a ）+f （b ）≤f （－a ）+f （－b ）
D. f （a ）+f （b ）≥f （－a ）+f （－b ）
【点击考点】考查函数单调性的应用
3. 已知a ＜b ＜０，奇函数y ＝f （x ）的定义域为［a ，－a ］，且在区间［－b ，－a ］上单调递减，且f （x ）＞0，则在区间[a ，b]上（）
A. f （x ）＞0，且|f （x ）|单调递减
B. f （x ）＞0，且|f （x ）|单调递增
C. f （x ）＜0，且|f （x ）|单调递减
D. f （x ）＜0，且|f （x ）|单调递增
【点击考点】考查利用函数的性质讨论函数的单调性
4. 已知［１，３］是函数y=－x ２＋４ax 的单调减区间，则实数a 的取
值范围是（）
A.(－∞，21]
B. (－∞，１]
C. ［21，23］
D. [2
3，＋∞) 【点击考点】考查二次函数单调性的讨论
5. 已知函数f （x ）=xlnx ，x ∈（0，5），则下列判断正确的是（）
A. 函数y=f （x ）在（0，5）上是增函数
B. 函数y=f （x ）在（0，e 1）上是减函数，在（e
1，5）上是增函数 C. 函数y=f （x ）在（0，5）上是减函数 D. 函数y=f （x ）在（0，
e 1）上是增函数，在（e 1，5）上是减函数【点击考点】考查利用导数判断函数的单调性
6. 定义在R 上的偶函数y=f （x ），满足f （x+1）=－f （x ），且在区间[－1，0]上单调递增，设a=f （2），b=f （2），c=f （3），则（）
A. c ＜a ＜b
B. b ＜c ＜a
C. c ＜b ＜a
D. a ＜b ＜c
【点击考点】考查利用函数单调性比较大小
二、填空题
7. 已知函数y=f （x ）是R 上的减函数，且y=f （x ）的图像经过点A （0，
1）和B （3，－1），则不等式|f （x+1）|＜1的解集为_______________________。

【点击考点】考查函数单调性的应用
8. 已知函数f （x ）=x+2x a -的单调增区间为(－∞，1]，则实数a=_____________________。

【点击考点】考查含参函数单调性的讨论问题
9. 定义在R 上的函数y=f （x ）具有下列性质：
（1）f （－x ）－f （x ）=0；
（2）f （x+1）·f （x ）=1；
（3）y=f （x ）在[0，1]上是增函数，则在下列命题中：
①y=f （x ）为周期函数，且最小正周期为4；
②y=f （x ）的图像关于y 轴对称且对称轴只有1条；
③y=f （x ）在（3，4）上为减函数，其中正确命题的序号是_________。

【点击考点】考查函数单调性的综合应用
三、解答题
10. 已知函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ≥1，证明：y=f （x ）在区间[0，+∞)是单调函数。

【点击考点】考查讨论函数的单调性问题
11. 已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的实数x 1，x 2都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2），当x ＞0时，f （x ）＞0且f （2）=3。

（1）试判断y=f （x ）的奇偶性和单调性；
（2）当θ∈[0，2
π]时，f （cos2θ－3）+f （4m －2mcos θ）＞0对所有的θ均成立，求实数a 的取值范围。

【点击考点】考查函数的单调性与不等式的综合问题。