江苏徐州侯集高级中学2024学年高三5月高考保温测试数学试题

江苏徐州侯集高级中学2024学年高三5月高考保温测试数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数
4
()()12x F x f x x
+=+
-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
2．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：2
2
4x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l ：①3230x y +-=，②320x y +-=，③320x y -+=，④3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．①②④
3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
4．已知复数31i
z i
-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
5．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．
13 B ．14 C ．15 D ．16
6．执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入的整数
的最大值为( )
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
7．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2
:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
8．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则
m
n
的值为（ ） A ．
13
B ．3
C 3
D 310．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
8113
D ．10
11．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
12．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()2
1m n -+的最小值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()3
14sin 3
f x x x =+
在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则n 为________. 14．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.
15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1=1，且2S n =a n （a n +t ），n ∈N*，则S 10=_____.
16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，则球O 的体积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数21()()2ln f x ax bx x a R =+--∈． (Ⅰ)当0b =时，讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的[1,3]a ∈和0,,2()()3x f x bx ∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围． 18．（12分）已知函数2
()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）
（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()
211221
m x x f x f x x x -->恒成立，求出实数m 的
取值范围.
19．（12分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、
D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 20．（12分）设函数2
()||||()f x x a x a a a =++--∈R ． （1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；
（2）若存在[1,0]a ∈-，使得不等式()f x b ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围． 21．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值.
22．（10分）已知函数()()2
cos f x ax x a R =+∈
（1）当1
2
a =
时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）4
12x x
++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）4
12x x
+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【详解】
函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）4
12x x
+=--图象在[9,10]-上交点的个数，
由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，
∵f （x ）为偶函数，取x ＝x +2，可得f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242
x x x x x ++=-
==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）4
12x x
++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B . 【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 2、D 【解析】
求出圆心O 到直线l 的距离为：1
12
d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=3时满足条件，即可得出答案. 【详解】
解：由已知可得：圆O ：2
2
4x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112
d r ==， ∴120AOB ∠=︒，
而1//l l ，OAB 与OMN 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，
即O 到直线1l 的距离1d '=3 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.
3、B 【解析】
由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =， ∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==35log 910==．
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 4、C 【解析】 先将31i
z i
-=
-，化简转化为2z i =+，再得到2z i =-下结论. 【详解】 已知复数()()()()
3132111i i i z i i i i -+-=
==+--+， 所以2z i =-， 所以z 的虚部为-1. 故选：C 【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5、A
【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193
=. 6、B 【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，
；②
，；③
，
；④
，
；
⑤
，
. 第⑤步后输出，此时，则
的最大值为15，故选B.
考点：程序框图. 7、C 【解析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结
合已知条件得2
2k b k -=，2m k
=，代入上式即可求出k 的取值范围．
【详解】
设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立方程24y kx b y x
=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222
(24)0k x kb x b +-+=，
∴△222(24)40kb k b =-->，
1kb ∴<，
且12242kb x x k -+=，2
122b x x k
=，
12124
()2y y k x x b k
+=++=
， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，
∴122422kb x x k -+=
=，12
4
2y y m k
+==， 2
2k b k -∴=，2m k
=，
0m >，
0k ∴>，
把2
2k b k
-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，
1k ∴>，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题． 8、B 【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于
5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.
()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以
222222
2cos cos sin 25
2sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()(
)
()()()
2
2
2a b a c b c a c a c b c b c
-=---=
---⋅-+-482cos 2sin m n θθ
=++222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此时由22
482cos 2sin m n m n θθ+=++得
()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为4822m -，即
2
24822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当且仅当532,4
m n π
θ===
时a b -有最小值为()
2
232
6⨯=.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 9、B 【解析】
利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：
30AOC ︒∠=
3cos ,2
OC OA ∴<>=
32
OC OA OC OA
⋅∴
=
()3
2
mOA nOB OA mOA nOB OA
+⋅∴=+ 2
2
2
2
32
2m
OA nOB OA
OA mnOA
OB n OB OA
+⋅=
+⋅+1OA =，3OB =0OA OB ⋅=
=
229m n ∴=
又
C 在AB 上
0m ∴>，0n >
3m n
∴
= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 10、D 【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】
解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数2
2x
y +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离
最大，故()
()x
2
2
2
2ma 0311x y ++-==.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 11、D 【解析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2
n k k
n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下(1)
123(1)2
k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)
()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=
-=-，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 12、B 【解析】
利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()2
1m n -+的最小值． 【详解】
数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，
由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，
10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，
求()2
1m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值. ∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()2
3115-+=.
故选：B ．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4
【解析】
根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.
【详解】 ()314sin 3
f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ， 由于函数()314sin 3
f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行， 则()04n f '==.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
14、4
【解析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值.
【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ，
空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =， 所以()()()2222222222333a b c a b c a b c
++=-+-+=+-+35a b =-， ()2
22223344351022c a b b b b ⎛⎫∴=--=---=--+ ⎪⎝⎭ 当32b =，12a =-时，c 6 所以，三棱锥A PCD -的体积为21116363332A PCD P ACD ACD V V S c --∆==
⋅≤⨯⨯=因此，三棱锥A PCD -体积的最大值为36. 故答案为：
364
. 【点睛】 本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15、55
【解析】
由()111122a S a a t ==+求出1t =.由()21n n n S a a =+，可得()11121n n n S a a ---=+，两式相减，可得数列{}n a 是以1
为首项，1为公差的等差数列，即求10S .
【详解】
由题意，当n =1时，()111122a S a a t ==+，
11,21,1a t t =∴=+∴=
当2n ≥时，由()21n n n S a a =+，
可得()11121n n n S a a ---=+，
两式相减，可得()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，
整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
110,10n n n n a a a a --+>∴--=，
即11n n a a --=，
∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，
101091011552
S ⨯∴=⨯+
⨯=. 故答案为：55.
【点睛】 本题考查求数列的前n 项和，属于基础题.
16
【解析】
由题意可得三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为PA PB PC ==，ABC 为正三角形，
所以APB APC BPC ∠=∠=∠，
因为PA PC ⊥，所以三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，
的正方体的外接球，
所以球的体积为3432π⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)22,2e ⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦ 【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为1ln 2
x b a x x +-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数b 的取值范围即可． 【详解】
解：(Ⅰ)当0b =时，()()()21220ax f x a x x x
-=-=>'， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，由()0f x '<得：10x a <<；由()0f x '>得：1x a
>． ∴当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无单调递增区间：
当0a >时，函数的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数的单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． (Ⅱ)对任意的[]
1,3a ∈和()0,x ∈+∞，()23f x bx ≥-恒成立等价于： 212ln 23ax bx x bx +--≥-，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 即1ln 2
x b a x x +
-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 令：()1ln x g x a x x
=+-，[]1,3a ∈，()0,x ∈+∞， 则()22211ln ln 20x x g x x x x -'-=--==得2x e =， 由此可得：()g x 在区间(20,e ⎤⎦上单调递减，在区间)
2,e ⎡+∞⎣上单调递增， ∴当0x >时，()()2
2min 1g x g e a e ==-，即2
12b
a e ≤-
又∵[]
1,3a ∈， ∴实数b 的取值范围是：22,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦． 【点睛】
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
18、（1）极小值为2-，极大值为5ln 24--
.（2）(],1710-∞- 【解析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数a ，再对函数求导，即可求得函数的极值；
（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数()()m h x f x x
=-
，根据()h x 是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.
【详解】
（1）函数2()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞， 1()23f x ax x
'=+-，(1)1230f a '=+-=，1a =， 可知2()ln 3f x x x x =+-，21231()230x x f x x x x
-+'=+-==， 解得11x =，212
x =， 可知在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-， 极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭
. （2）()()()211221
m x x f x f x x x -->可以变形为()()1212m m f x f x x x ->-， 可得()()1212
m m f x f x x x ->-，
可知函数()m f x x
-在[]1,10上单调递减 2()()ln 3m m h x f x x x x x x
=-=+--， 21()230m h x x x x
'=+-+≤， 可得3223m x x x ≤-+-，
设32
()23F x x x x =-+-， 2
211()6616022F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+< ⎪⎝
⎭， 可知函数()F x 在[]1,10单调递减， 32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，
可知1710m ≤-，
可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-.
【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
19、（1）22
143
x y += （2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-
【解析】
（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-.
【详解】
（1）依题意可知2
12262b a a
⨯⋅=，解得23b =，即b =而12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22
143
x y +=
（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．
由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩
消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122
y y x x =++，直线BD 的方程为：()2222y y x x =--． 联系方程，解得122112
4263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+． 所以()1221121212
626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-． 【点睛】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
20、 (Ⅰ) {|23}x x -≤≤.(Ⅱ)(] ,0-∞.
【解析】
(Ⅰ)1a =时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式()5f x ≤的解集即可；
(Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ，等价于()min f x b ≥，求出()f x 在[]
1,0a ∈-的最小值即可．
【详解】 (Ⅰ)当1a =时，()21,1123,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩
1x ≤-时，不等式()5f x ≤化为215x -+≤，解得2x ≥-，即21x -≤≤
12x -<<时,不等式()5f x ≤化为35≤，不等式恒成立，即12x -<<
2x ≥时,不等式()5f x ≤化为215x -≤，解得3x ≤，即23x ≤≤
综上所述，不等式()5f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤
(Ⅱ)不等式()f x b ≥的解集为R ()min f x b ∴≥
()()()
2222f x x a x a a x a x a a a a =++--≥+---=+
()2min 2f x a a b ∴=+≥对任意[]1,0a ∈-恒成立
()22211a a a +=+-
∴当0a =时，22a a +取得最小值为0
∴实数b 的取值范围是(],0-∞
【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
21、 (I ) ；(II )证明见解析 【解析】 (I )直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II ) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明. 【详解】
(I ) 椭圆，故，
. (II )设，，则将
代入得到： ，故
， ，
，故
，得到， ，故
，同理：， 由已知得：
或， 故
， 即
，化简得到. 故原点到直线l 的距离为
为定值. 【点睛】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22、（1）证明见解析（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【解析】
（1）根据()21cos 2
=+f x x x ，求导()' f x x sinx =-，令()h x x sinx =-，用导数法求其最小值. ()2设()()'2,g x f x ax sinx ==-研究在0x =处左正右负，求导()'2.g x a cosx =-，分12
a ≥ 12a ≤-，1122
a -<<，三种情况讨论求解. 【详解】 （1）因为()21cos 2=
+f x x x ， 所以()' f x x sinx =-，
令()h x x sinx =-，则()'10h x cosx =-≥，
所以()h x 是[0,)+∞的增函数，
故()()00h x h ≥=，
即()'0f x ≥.
()2因为()()'2,g x f x ax sinx ==-
所以()'2.g x a cosx =-， ①当12
a ≥时，()'10g x cosx ≥-≥， 所以函数()'f x 在R 上单调递增.
若0x >，则()()''00;f x f >=
若0x <，则()()''00,f x f <=
所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(,0)-∞，
所以()f x 在0x =处取得极小值，不符合题意， ②当12
a ≤-时，()'10,g x cosx ≤--≤ 所以函数()'f x 在R 上单调递减.
若0x >，则()()''00,f x f <=
若0x <，则()()''00;f x f >=
所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，单调递增区间是(,0)-∞，
所以()f x 在0x =处取得极大值，符合题意. ③当1122
a -<<时，()00,x π∃∈，使得02cosx a =， 即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >即()'0,g x <
所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，
所以()()''00f x f <=，即函数()f x )在()00,x 上单调递减，不符合题意
综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。