2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章 第1讲 不等关系与不等式

第1讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎪⎨⎪
⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b （a ，b ∈R ）a －b <0⇔a <b
.
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a
b
>1⇔a >b a
b ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b >0）a b <1⇔a <b
.
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性
a >
b ⇔a ＋
c >b ＋c
⇔
对乘性
⎭
⎬⎫
a >
b
c >0⇒ac >bc 注意c 的符号
⎭
⎬⎫
a >
b
c <0⇒ac <bc 同向可加性
⎭
⎬⎫
a >
b
c >
d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒
常用结论 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1
b ；
②a <0<b ⇒1a <1
b ；
③a >b >0，0<c <d ⇒a c >b
d
；
④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a .
(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则
①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 二、教材衍化
1．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2， 但由a 2－b 2>0⇒/a －b >0. 2．
15－2______1
6－5
(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有15－2＝5＋2，1
6－5
＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<1
6－5
.
答案：<
3．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，1
2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．
解析：令a ＝13，b ＝23，则2ab ＝2×13×23＝4
9，
a 2＋
b 2＝19＋49＝59，故a <2ab <12<5
9＝a 2＋b 2<b .
答案：a <2ab <1
2
<a 2＋b 2<b
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若a
b
>1，则a >b .( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >b
c .( )
(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1
b
.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错；
(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．若a >b >0，c <d <0，则下列结论正确的是( ) A.a c －b d >0 B ．a c －b d <0
C.a d >b c
D ．a d <b c
解析：选D.因为c <d <0，所以0<－d <－c ， 又0<b <a ，所以－bd <－ac ，即bd >ac ， 又因为cd >0，所以bd cd >ac cd ，即b c >a
d
.
2．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析：若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向
同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝1
2.所以“a >2且b >1”是
“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．若－π2<α<β<π
2，则α－β的取值范围是________．
解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π
2，α<β，
得－π<α－β<0. 答案：(－π，0)
比较两个数(式)的大小(自主练透)
1． 已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N
D ．不确定
解析：选B.M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)， 又因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)， 所以a 1－1<0，a 2－1<0. 所以(a 1－1)(a 2－1)>0， 即M －N >0，所以M >N .
2．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B
D ．A >B
解析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 3．(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5
5，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c
解析：选B.法一：易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 4
4ln 3
＝log 8164<1.所以a >b ；
b c ＝5ln 44ln 5
＝log 6251 024>1. 所以b >c .即c <b <a .
法二：对于函数y ＝f (x )＝ln x
x ，
y ′＝1－ln x x 2
，
易知当x >e 时，函数f (x )是减少的． 因为e<3<4<5，
所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .
比较两个数(式)大小的3种方法
不等式的性质(自主练透)
1．已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为c >d ，所以c －d >0.又a >b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a <b 且c <d ，所以“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．
2．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2 B ．a |b |<c |b | C ．ba <ca
D ．ca <cb
解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．
3．若1a <1
b <0，则下列不等式①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
解析：选C.因为1a <1
b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a
两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.
4．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论①ad >bc ；②a d ＋b
c <0；③a －c >b －
d ；④a (d －c )>b (d
－c )中，成立的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.因为a >0>b ，c <d <0， 所以ad <0，bc >0， 所以ad <bc ，故①错误． 因为a >0>b >－a ， 所以a >－b >0，
因为c <d <0，所以－c >－d >0，
所以a (－c )>(－b )(－d )，所以ac ＋bd <0， 所以a d ＋b c ＝ac ＋bd cd <0，故②正确．
因为c <d ，所以－c >－d ，
因为a >b ，所以a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．
因为a >b ，d －c >0，所以a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C.
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．
[提醒] 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
不等式性质的应用(典例迁移)
已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是
________．
【解析】 因为－1<x <4，2<y <3， 所以－3<－y <－2， 所以－4<x －y <2.
由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，
所以1<3x ＋2y <18.
【答案】 (－4，2) (1，18)
【迁移探究1】 (变条件)若将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3<－y <1，所以－4<x －y <4.
又因为x ＜y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4，0)．
【迁移探究2】 (变条件)若将本例条件改为“－1<x ＋y <4，2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．
解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，
m －n ＝2，所以⎩⎨⎧m ＝5
2，n ＝12.
即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋1
2(x －y )，
又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<3
2，
所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，
即－32<3x ＋2y <232
，
所以3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－32，23
2.
求代数式取值范围的方法
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．
1．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3. 答案：(－3，3)
2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .
f (－2)＝4a －2b .
设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .
则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. 所以f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． 因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 所以5≤f (－2)≤10.
即f (－2)的取值范围为[5，10]．
[基础题组练]
1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2>a 2b C.1ab 2<1a 2b
D ．b a <a b
解析：选C.若a <b <0，则a 2>b 2，故A 错；若0<a <b ，则b a >a
b ，故D 错；若ab <0，即a <0，
b >0，则a 2b >ab 2，故B 错；故C 正确．所以选C.
2．(一题多解)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1b
D ．⎝⎛⎭⎫12a
>⎝⎛⎭⎫12b
解析：选C.法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a
<⎝⎛⎭
⎫
12b
，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab
>0，所
以1a >1
b
一定成立，故选C. 法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1
b
一定成立，故选C.
3．(一题多解)若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是 ( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n
D ．m <－n <n <－m
解析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．
4．已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1
b 成立的有
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出1a <1b .由a >0>b 得1a >1
b ，故
能推出1a <1
b
成立的条件有3个．
5．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b >0，则c a >c
b .
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a >b >0，则1a <1b ，当c >0时，c a <c
b ，故
④错误．所以正确的命题只有1个．
6．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2
D ．x >2且0<y <2
解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩
⎪⎨⎪
⎧x >0，y >0，
由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2， 又xy <4，可得⎩
⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.
7．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1
8．设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；②1a <1
b ；③|a |>|b |；④a |
c |≥b |c |，则一定成立的有
________．(填正确的序号)
解析：对于①，1
c
2>0，故①成立；
对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④
9．已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝⎛⎭⎫18，14，则a
b 的取值范围是________． 解析：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<a
b <24，故答案为(4，24)．
答案：(4，24)
10．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b
x 这
五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2. 符合题设条件x >y ，a >b .
因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5. 所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．
因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③不成立． 因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2
－2＝－1，
所以a y ＝b
x ，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④
[综合题组练]
1．若6<a <10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )
A ．[9，18]
B ．(15，30)
C ．[9，30]
D ．(9，30)
解析：选D.因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a
2≤c ≤3a ，因为6<a <10，所以9<c <30.
故选D.
2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b
2a <log 2(a ＋b )
B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2
a
D ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252
＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a . 3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a
，则( ) A ．c <a <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <b <a
解析：选A.由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<b c ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c
<a ＋b ＋c c ＋a
，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a <b .故选A.
4．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )
A ．mn ≥4且p ＋q ≤4
B ．m ＋n ≥4且pq ≤4
C ．mn ≤4且p ＋q ≥4
D ．m ＋n ≤4且pq ≤4
解析：选A.结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩
⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ， 即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩
⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，
所以p ＋q ≤4.
5．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．
解析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，
当a >0时，b 2>1>b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1.
答案：(－∞，－1)
6．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则c a
的取值范围为________． 解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a ，
1＋c a >b a ，
所以⎩⎨⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1， 两式相加得，0<2×c a <4，所以c a 的取值范围为(0，2)． 答案：(0，2)。