江苏省徐州市大许中学高2021届高2018级高三上学期第三次学情分析考试数学试卷及参考答案

2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试
数学试卷
注意：1.试卷分值150分，考试时间120分钟；
2.试卷的答案一律写在答题纸上。

第I 巻(选择题)
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)
1.已知全集U R =，集合{}{}
31,1M x x N x x =-<<=≤，则阴影部分表示的集合是( ) A.[]1,1- B.(]3,1- C.()3,1--
D.()(),31,-∞-⋃-+∞
2.已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为( ) A.3 B.2 C.1 D.2
3.已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a ≥4 B .a ≤4 C .a ≥5 D .a ≤5
4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A.65
B.184
C.183
D.176 5.函数()sin(e e )x x f x -=+的图像大致为( )
6已知单位向量12,e e 的夹角为
23
π
，则向量12e e -与向量12+2e e 的夹角为( )
A.
6π B.3π C.23π D.
56
π
7.函数π
()sin()(0)4
f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为
π
3
的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象( ) A.向左平移
4
π个单位 B.向左平移π
12个单位 C.向
右平移
4π个单位 D.向右平移34
π
个单位 8.对于任意的实数x ∈[]e ,1，总存在三个不同的实数[]5,1-∈y ，使得0ln 12=---x ax xe y y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤
⎝⎛-e e e 1,2524 B.4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.⎥⎦⎤ ⎝⎛425,0e D.⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-e e e 3,2524 二、多选题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
9.已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x R ∈，则( ). A.()22f x -≤≤
B.()f x 在区间()0,π上只有一个零点
C.()f x 的最小正周期为π
D.直线3
x π
=
是函数()f x 图象的一条对称轴 10.已知等比数列{}n a 的公比q ＜0，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，
则下列结论一定正确的是( ).
A.9100a a <
B.910a a >
C.100b >
D.910b b >
11.已知函数()x f 是偶函数，()1+x f 是奇函数，并且当[]2,1∈x ，()21--=x x f ，则下列选项正确的是( ).
A.()x f 在()2,3--上为减函数
B.()x f 在()2,3--上()0<x f
C.()x f 在()2,3--上为增函数
D.()x f 在()2,3--上()0>x f 12.已知函数()ln f x x =，32()2e ()g x x x kx k R =-+∈，
若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是( ).
A.2
1
e e
k =+
B.曲线()y g x =在点(e,(e))g 处的切线与直线e 10x y -+=平行
C.函数2()2e y g x x =+在[0,e]上的最大值为22e 1+
D.函数2
()e e
x y g x x =-
-在 [0,1]上单调递增。

第II 巻(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分).
13.已知3
sin()35
π
α+
=-且α为钝角，则cos α的值为 . 14.如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =， 点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为________.
15.设△ABC 的面积为S ，满足230S AB AC +⋅=.且||3BC =，若角B 不是最小角，则S 的取值范围是 .
16.设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列
{}n d 的前n 项和为n S ，若存在正整数n ，使得()2
2log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小
值为 .
四、解答题(本大题共6小题，共计70分).
17.(本题满分10分)已知函数π
()cos()(0,0,0)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><<
的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3
，且最小值为－1. (1)求函数()f x 的解析式.
(2)若()f x 在区间π
[,]6
m 上的取值范围是3
[1,]--
，求m 的取值范围. 18.(本题满分12分)设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2
,(0,)1
y x m x =∈+的值域为B .
(1)当2m =时，求A
B ；
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
19.(本题满分12分)如下图，在中，
.
(1)求
的值；
(2)设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且
，其中
.
求
的取值范围.
P
A
B
C
D 第14题图
(第19题图) (第20题图)
20.(本题满分12分)如上图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，
3
CAB π
∠=
，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从
C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.
(1)证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；
(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线
CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由.
21.(本小题满分12分)
在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②242S S =，且1
12()2
n n T -=-这两个条件
中任选一个填入下面的横线上并解答.
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n Q .
(3)设等比数列{}n c 的首项为2，公比为(0)q q >，其前n 项和为n P ，若存在正整数m ，使得33m S S P =⋅，求q 的值.
22.(本小题满分12分)已知函数)0(ln )(>+=
m x x x
m
x f ，2ln )(-=x x g .
(1)当1=m 时，求函数)(x f 的单调区间；
(2)设函数2)()()(--=x xg x f x h ，0>x .若函数))((x h h y =的最小值是
2
2
3，求m 的值；
(3)若函数)(x f ，)(x g 的定义域都是],1[e ，对于函数)(x f 的图象上的任意一点A ，在函数
)(x g 的图象上都存在一点B ，使得OB OA ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，
求m 的取值范围.
数学试卷答案
一、单选题 1~5.CDCBACBB
二、多选题
9.ACD 10.AD 11.CD 12.ABD 三、填空题 13334-- 14. 7 15.3
16.13 四、解答题
17.(10分)
【试题解答】(1)由函数的最小值为－1，可得A=1， 因为最小正周期为
23
π
，所以ω=3. 可得()cos(3)f x x ϕ=+， 又因为函数的图象过点(0，12)，所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3
πϕ=， 故()cos(3)3
f x x π
=+. …………………… 5分 (2)由[
,]6
x m π
∈，可知
533633
x m πππ≤+≤+， 因为53()cos
6
62f π
π==-，且cos π=－1，73
cos 62
π=-
， 由余弦曲线的性质的，733
6m π
ππ≤+≤
，得25918
m ππ
≤≤，
即25[
,]918
m ππ
∈. ……………………………………10分 18.解：(1)由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =，
又函数21y x =
+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(
,2)1y m ∈+，即2
(,2)1
B m =+， 当2m =时，2
(,2)3
B =，所以(1,2)A B =. …………………………6分
(2)首先要求0m >，
而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ，即2
(
,2)(1,3)1
m +，
从而
2
11
m ≥+， 解得01m <≤. ……………………………………12分
19.解(1)
………4分
(2)建立如图所示的平面直角坐标，则. 设，由
，
得.所以.
所以
.
因为， 所以，当时，即
时，
的最大值为；
当
或
即
或
时，
的最小值为………………12分
20.解：(1)由题意，3
CAP π
θ∠=
-，所以3
CP π
θ=
-，
又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度
()1cos 3
f π
θθθ=
-+-cos 13
π
θθ=--+
+，03
π
θ<<
，
因为当03
π
θ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，
所以()f θ在(0,
)3
π
上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小.…6分
(2)设翻新道路的单位成本为(0)a a >， 则总成本()(
22cos )3
g a π
θθθ=-+-(2cos 2)3
a π
θθ=--+
+，03
π
θ<<
，
'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=
，因为03πθ<<，所以6
πθ=， 当06
π
θ<<
时，'()0g θ<，当
6
3
π
π
θ<<
时，'()0g θ>.
所以，当6
π
θ=
时，()g θ最小.
答：当6
π
θ=
时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.………………12分
19.(1)选① 1
1a 21,2n n n n b -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，选② 1
1a 21,2n n n n b -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
…………4分
(2) n (23)23n
Q n =-⨯+ ………………………………………………8分
(3)由(1)可得，2
n S n =，
由33m S S P =⋅，得229(222)m q q =⋅++， 所以
22
9
12q q m
=++，
因为0q >，所以
2912m >，即m <， 由于m N *∈，所以12m m ==或，
当1m =时，270,2q q q +-
==解得舍负）
，
当2m =时，210,8q q q +-
==解得舍负）
，
所以q ………………………………12分 22.解:(1) 当1=m 时，x x x x f ln 1)(+=
，1ln 1
)(2++='x x
x f . 因为)(x f '在),0(+∞上单调增，且0)1(='f ，
所以当1>x 时，0)(>'x f ；当10<<x 时，0)(<'x f .
所以函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞. ………………………………………3分
(2)22)(-+=x x m x h ，则2
2222)(x m x x m x h -=-='，令
0)(='x h 得2m x =， 当20m x <
<时，0)(<'x h ，函数)(x h 在)2
,0(m 上单调减； 当2m x >
时，0)(>'x h ，函数)(x h 在),2
(+∞m 上单调增.
所以222)2
(
)]([min -==m m
h x h . ①当2
)12(2m
m ≥
-，即94≥m 时，
函数))((x h h y =的最小值)12(2[
2)222(-=-m m m h 22
3
]1)12(2=--+m ，
即092617=+-m m ，解得1=m 或17
9
=
m (舍)，所以1=m ； ②当2
)12(20m
m <
-<，即9441<<m 时，
函数))((x h h y =的最小值22
3)12(2)2(
=-=m m h ，解得54=m (舍).
综上所述，m 的值为1.……………………………………………………………7分
(3)由题意知，x x m k OA ln 2+=
，x
x k OB 2
ln -=. 考虑函数x x y 2ln -=，因为2
ln 3x x
y -='在],1[e 上恒成立， 所以函数x x y 2ln -=在],1[e 上单调增，故]1
,2[e k OB --∈.
所以],21[e k OA ∈，即e x x
m
≤+≤ln 212在],1[e 上恒成立，
即)ln (ln 2
222
x e x m x x x -≤≤-在],1[e 上恒成立.
设x x x x p ln 2
)(22
-=，则0ln 2)(≤-='x x p 在],1[e 上恒成立，
所以)(x p 在],1[e 上单调减，所以2
1)1(=≥p m . 设)ln ()(2
x e x x q -=，
则≥--=')ln 212()(x e x x q 0ln 212(>--e e x 在],1[e 上恒成立， 所以)(x q 在],1[e 上单调增，所以e q m =≤)1(.
综上所述，m 的取值范围为],2
1[e . ……………………………………12分。