2021-2022学年上海市宝山区九年级上学期期末数学试题(解析卷)

上海市宝山区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果
23a b =，且b 是a 和c 的比例中项，那么b c 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．32 D ．23
【答案】D
【解析】
【分析】
根据比例中项的概念（如果a 、
b 、
c 三个量成连比例即::a b b c =，b 叫做a 和c 的比例中项）可得::a b b c =，则可求得:b c 的值．
【详解】 解：∵
23a b =，b 是a 和c 的比例中项， 即
a b b c =， ∴23
b c =． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键．
2．在比例尺为1:5000的地图上，如果A B 、两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（ ）
A ．50000米
B ．5000米
C ．500米
D ．50米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
【详解】
解：根据题意，10÷（1： 5000）=50000厘米=500米．
即两地间的实际距离是500米．
故选C ．
考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．
3．已知c 为非零向量，2,3a c b c ==-，那么下列结论中，不正确的是（ ）
A ．23a b =
B ．32a b =-
C ．320a b +=
D ．a b ∥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】
解：∵2,3a c b c ==-， ∵2a b 3=-， ∵a b ∥，23
a b =，320a b +=， ∵A ，C ，D 正确，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，已知Rt ,ABC CD 是斜边AB 边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A ．tan CD A
B B =⋅
B ．cot CD AD A =⋅
C ．sin C
D AC B =⋅ D ．cos CD BC A =⋅
【答案】D
【解析】
【分析】 根据锐角三角函数的定义分析即可；
解：A ．tan CD DB B =⋅，故A 错；
Ｂ．tan CD AD A =⋅，故Ｂ错；
Ｃ．si CD AC nA =⋅，故Ｃ错；
Ｄcos CD BC DCB ∠=⋅．=BC cos A ⋅，故D 正确;
故答案为:D
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键
5．把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A ．()215y x =-+
B ．()211y x =-+
C ．()213y x =++
D ．()233y x =-+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：()2123y x =-++,即()2
13y x =++；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6．下列格点三角形中，与右侧已知格点ABC 相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中利用方格点求出ABC的三边长，可确定ABC为直角三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得．
【详解】
解：ABC的三边长分别为：
AB==
AC==BC=
∵222
+=，
AB AC BC
∴ABC为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，
===
A选项符合题意，
D
≠≠
故选：A．
【点睛】
题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．
二、填空题
7．已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________．
【答案】3:2##32
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，进而即可求解．
【详解】
解：如图，
∵2AB BC =
设,BC a =则2AB a =
23AC AB BC a a a ∴=+=+=
∵:3:2AC AB =
故答案为：3:2
【点睛】
本题考查了比例线段，数形结合是解题的关键．
8．如果x y y -的值是黄金分割数，那么x y
的值为_________．
【解析】
【分析】
根据黄金分割得到
x y y -，再根据分式的性质在分式的分子中加上分母即可求出答案． 【详解】
解：∵x y y
-的值是黄金分割数，
∵x y y -
∵x y y y -+
∵x y =
． 【点睛】
此题考查了比例的性质，黄金分割定理，熟记黄金分割定理及比例的性质是解题的关键． 9．计算：22sin 30cos 45＋＝ _________． 【答案】34
##0.75 【解析】
【分析】
把特殊角的三角函数值代入后计算即可；
【详解】
解：22sin 30cos 45＋＝2
211232444⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：34
【点睛】
本题考查了了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 10．在Rt ABC 中，90C ∠=，如果
34
AC BC =，那么sin A 的值是_________． 【答案】45##0.8 【解析】
【分析】
设3,4AC a BC a ==，勾股定理求得AB ，进而根据正弦的定义（sin αα=
的对边斜边）即可求
得正弦值．
【详解】
解：如图
在Rt ABC 中，90C ∠=，
34
AC BC = 设3,4AC a BC a ==，
5AB a
4sin 5
BC A AB ∴== 故答案为：45
【点睛】
本题考查了求正弦值，勾股定理，求得斜边的长是解题的关键．
11．已知二次函数2113
y x x =+-，当3x =-时，函数y 的值是_________． 【答案】-1
【解析】
【分析】
将x 的值代入2113
y x x =+-计算即可； 【详解】
解：当3x =-时
2113y x x =+-=()()213313
⨯-+--=-1 故答案为：-1
【点睛】
本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．
12．据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，
2021年的蔬菜产量为y 万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为(0)x x >，那么y 关于x 的函数解析式为_________．
【答案】()2
1001(0)y x x =+>
【解析】
【分析】
根据题意可得2020年的蔬菜产量为()1001x +，
2021年的蔬菜产量为()()10011x x ++，2021年的蔬菜产量为y 万吨，由此即可得．
【详解】
解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为()1001x +，
2021年的蔬菜产量为()()()2
100111001x x x ++=+，
∴()21001(0)y x x =+>， 故答案为：()2
1001(0)y x x =+> ．
【点睛】
题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键．
13．如果抛物线221y x x m =++-的顶点在x 轴上，那么m 的值是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x 轴上确定其纵坐标为0，进而求出m 的值．
【详解】
解：∵()222112y x x m x m =++-=++-，
∵二次函数顶点坐标为()1,2m --．
∵顶点在x 轴上，
∵20m -=，
∵m =2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．
14．已知ABC 的两条中线AD BE 、相交于点F 如果10AF ＝，那么AD 的长为_________．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求得AD 的长
【详解】
解：∵点F 是ABC 的两条中线AD BE 、的交点，则点F 是ABC 的重心， ∵21
AF FD = 10AF =
5FD ∴=
10515AD AF DF ∴=+=+=
故答案为：15
【点睛】
本题考查了三角形重心的性质，理解重心的性质是解题的关键．
15．如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD 为3米，路基高为1米，斜坡AB 的坡度1:1.5=，那么路基的下底宽BC 是_________米．
【答案】6
【解析】
【分析】
过A 作AE ∵BC ，过D 作DF ∵BC ，根据DF 的长和坡度即可求得BE 、CF 的值，根据AB =BE +EF +CF 即可计算BC ，即可解题．
【详解】
解：如图，过A 作AE ∵BC ，过D 作DF ∵BC ，
AE =DF =1米，AD =EF =3米，
∵坡度=AE BE =DF CF =11.5
， ∵BE =CF =1.5米，
∵BC =BE +EF +CF =1.5+3+1.5=6米．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求BE 、CF 的长是解题的关键．
16．如图，已知一张三角形纸片,5,2,4ABC AB BC AC ===，点M 在AC 边上．如果过点M 剪下一个与ABC 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM x =，那么x 的取值范围是_________．
【答案】34x ≤<
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：∵过点M 作∥MG AB 交BC 于点G ，作∥ME CB 交AB 于点E ，此时，点M 在线段AC 上，且不能与点A 、点C 重合，可确定x 的取值范围；∵过点M 作AMD ABC ∠=∠，交AB 于点D ，此时，点M 在线段AC 上，且不能与点A 重合，可确定x 的取值范围；∵过点M 作CMF CBA ∠=∠，交BC 于点F ，~CMF CBA ，当点F 与点B 重合时，AM 取得最小值，利用相似三角形的对应边成比例可得1CM =，即可确定x 的取值范围；综合三种情况即可得结果．
【详解】
解：如图所示：∵过点M 作∥MG AB 交BC 于点G ，作∥ME CB 交AB 于点E ，
∴~CMG CAB ，~AME ACB ，
此时，点M 在线段AC 上，且不能与点A 、点C 重合， ∴04AM <<，即04x <<；
∵过点M 作AMD ABC ∠=∠，交AB 于点D ， 则~AMD ABC ，
此时，点M 在线段AC 上，且不能与点A 重合， ∴04AM <≤，即04x <≤；
∵过点M 作CMF CBA ∠=∠，交BC 于点F ， ∵C C ∠=∠， ∴~CMF CBA ，
∵当点F 与点B 重合时，AM 取得最小值，
CF CB =，
∴CB CA CA
CM CF CB ==， ∴
242
CM =， ∴1CM =，
∴3AM AC CM =-=， ∵点M 不能与点C 重合， ∴34AM ≤<，即34x ≤<；
综上可得x 的取值范围为：34x ≤<， 故答案为：34x ≤<． 【点睛】
题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图形进行求解是解题关键． 17．如图，在矩形ABCD 中，3,5AB BC ==，点P 在CD 边上，联结AP ．如果将ADP 沿
直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么
ADP
ABCP
S
S 四边形 的值为_________．
【答案】
513
【解析】 【分析】
先根据翻折的性质得出AD ′=AD =5，DP =PD ′，，然后在Rt △ABF 中由勾股定理求出BD ′=4，D ′C =1，设DP =x ，则D ′P =x ，PC=3-x ，在RtCD ′P 中，由勾股定理求出列方程求出x 即可，然后利用三角形的面积公式求出S △ADP 和ABCP S 四边形的面积即可． 【详解】
解：∵AB =3，BC =5， ∵DC =3，AD =5，
又∵将△ADP 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点D ′， ∵AD ′=AD =5，DP =PD ′， 在Rt △ABD ′中，AB =3，AD ′=5， ∵BD
， ∵D ′C =5-4=1，
设DP =x ，则D ′P =x ，PC =3-x ，
在Rt △CD ′P 中，D ′P 2=D ′C 2+PC 2，即x 2=12+（3-x ）2，解得x =53，
即DP 的长为5
3
，
∵AD =5，
∵S △ADP =12×DP ×AD =12×5
3×5=256
，ADP
ABCD ABCP S S S
=-矩形四边形=3×5-
256=65
6
， ∵
ADP
ABCP
S
S 四边形=25
5
66513
6
=，
故答案为：
513
．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．
18．如果一条抛物线()2
0y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个
交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知()2
>0y x bx b =+的“特征三角形”
是等腰直角三角形，那么b 的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】
首先求出()2
>0y x bx b =+的顶点坐标和与x 轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰
直角三角形列方程求解即可． 【详解】
解：∵()2
>0y x bx b =+
∵22b b a -=-，代入得：2
2224b b b y b ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵抛物线的顶点坐标为224b b ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭， ∵当0y =时，即20x bx +=， 解得：10x =，2x b =-
∵抛物线()2
>0y x bx b =+与x 轴两个交点坐标为()00，和()0b -， ∵()2
>0y x bx b =+的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∵2
24b b =⨯，即242b b =
解得：2b =．
故答案为：2． 【点睛】
此题考查了二次函数与x 轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出
()2>0y x bx b =+的顶点坐标和与x 轴两个交点坐标．
三、解答题
19．如图，在ABC 中，5,6AB AC BC ===
(1)求tan B 的值；
(2)延长BC 至点D ，联结AD ，如果∵ADB ＝30°，求CD 的长．
【答案】(1)4
3
(2)3 【解析】 【分析】
（1）作AD ∵BC 于D ，利用等腰三角形的三线合一的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，再根据公式计算即可；
（2）由∵ADB ＝30°，AE =4，求出AD =2AE =8，利用勾股定理求出DE ，根据CD =DE -CE 求出数值． (1)
解：作AE ∵BC 于E ， ∵AB=AC ，BC =6， ∵BE=CE =3，
∵4AE ==， ∵tan B=
4
3
AE
BE
；
(2)
解：∵∵ADB＝30°，AE=4，
∵AD=2AE=8，
∵DE
=
∵CD=DE-CE=3．
【点睛】
此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，锐角三角函数，直角三角形30度角的性质，熟记等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．
20．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，2
AF DF
=，BF交AC于点E，1 4
AF BC
=．
(1)设,AB a AD b ==，用向量a b 、表示向量BF = ；AC = (2)如果90,3,4ABC AD AB ︒∠===求BE 的长． 【答案】(1)23
b a -,8
3a b +
(2)5 【解析】 【分析】
（1）先用a 和b 表示出向量AF 和BC ，然后根据三角形法则计算即可； （2）由1
4AF BC =可得AF //BC 、14
AF BC =,然后再根据平行线等分线段定理即可解答． (1)
解：∵2AF DF =，AD b = ∵23
AF b = ∵1
4
AF BC =
∵8
43
BC AF b ==
∵2
3BF BA AF AF AB b a =+=-=-
8
3
AC AB BC a b =+=+．
(2) 解：∵1
4
AF BC = ∵AF //BC 、1
4
AF BC = ∵1
4
AE AF AB BC == ∵
1
4AE AF AB BC ==，即AE =114
AB = ∵AE =AB +AE =4+1=5．
【点睛】
本题主要考查了平行线等分线段定理、平面向量的线性运算，根据1
4
AF BC =得到AF //BC 、1
4
AF BC =是解答本题的关键. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图像的顶点为()1,2A -，且经过()3,0B -． (1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标．
【答案】(1)213
22
y x x =--+
(2)()4,0 【解析】 【分析】
（1）根据题意设出二次函数的顶点式，然后用待定系数法求解即可；
（2）根据题意设出平移后的表达式为()2
1
122
y x m =-+-+，将原点()0,0代入即可求出平移
后的表达式，当0y =时，即可求出与x 轴的另一个交点的坐标． (1)
解：设二次函数的表达式为：()()2
102y a x a =+≠+ 将()3,0B -代入得：420a +=
解得：1
2
a =-
∵()2
1122y x =-++，即21322
y x x =--+； (2)
解：设将该二次函数图像向右平移()>0m m 个单位， ∵平移后的表达式为()2
1
122
y x m =-+-+， ∵平移后所得图像经过坐标原点，
∵将原点()0,0代入得，()2
100122
m =-+-+，即
()2
1122
m -=， 解得：123,1m m ==-(舍去)， ∵3m =，
∵平移后的表达式为()2
1222
y x =-
-+， 当0y =时，即()2
12202
x --+=， 解得：120,4x x ==，
∵平移后所得图像与x 轴的交点坐标为()0,0和()4,0， ∵平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标为()4,0． 【点睛】
本题考查二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，牢记相关的知识点是解此类题的关键．
22．如图，小杰在湖边高出水面MN 约10m 的平台A 处发现一架无人机停留在湖面上空的点P 处，该无人机在湖中的倒影为点P'，小杰在A 处测得点P 的仰角为45︒，点P'的俯角为60︒，求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）．
【答案】20103 【解析】 【分析】
连接PP '，过点A 作AQ PP '⊥于点Q ，PP '交MN 于点B ，根据俯角与仰角求得
45,60PAQ P AQ '∠=︒∠=︒，解直角三角形即可求得,AQ P Q '，根据轴对称的性质列出方程进
而求得PQ ，根据PB PQ QB =+即可求得该无人机离开湖面的高度． 【详解】
如图，连接PP '，过点A 作AQ PP '⊥于点Q ，PP '交MN 于点B ,
45,60PAQ P AQ '∴∠=︒∠=︒，10AM QB ==，
设PQ x =,则tan PQ
AQ PQ x PAQ
=
==∠，tan PQ AQ P AQ ''=⋅∠==
P 、P '关于MN 对称
∴PB P B '=
即PQ QB P Q QB '+=-
即1010x +=-
10x =+
∴该无人机离开湖面的高度101020PB PQ QB =+=+=+【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出图形是解题的关键．
23．如图，已知ABC 和DCE 都是等边三角形，点B C E 、、在同一直线上，联结BD 交AC
边于点F ．
(1)如果ABD CAD ∠∠=，求证：2BF DF DB =⋅； (2)如果2,18ABCD AF FC S ==四边形，求DCF
S 的值．
【答案】(1)见解析 (2)2 【解析】 【分析】
（1）根据ASA 证明ACD ABF ≅得AD =BF ，再证明ADF BDA 得
AD DF
BD AD
=，从而可得结论；
（2）证明DCF
ABF 得
2BF AF
DF FC
==，设DCF S x ∆=，则可得2ADF S x ∆=，4ABF S x ∆=，2BCF S x ∆=，根据18ABCD S =四边形可得关于x 的方程，求解即可．
(1)
∵,ABC DCE 均为等边三角形， ∵,60AB AC BAC ACB DCE =∠=∠=∠=︒ ∵18060ACD ACB DCE ∠=︒-∠-∠=︒ ∵BAC ACD ∠=∠ 在ABF 和CAD 中，
BAC ACD ABD CAD AB AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∵ABF ≅CAD ∵AD =BF
∵,ABD FAD ADB ADB ∠=∠∠=∠
∵ADF BDA ∵AD DF BD AD
=，即2AD DF DB = ∵AD BF =
∵2BF DF DB =⋅
(2)
∵,AFB DFC BAF DCF ∠=∠∠=∠
∵DCF ABF ∵BF AF DF FC
= ∵2,AF FC = ∵2BF AF DF FC
== ∵2BF FD =
设DCF S x ∆= ∵2ADF DCF S AF S FC
∆∆== ∵2ADF S x ∆=
同理可得，4ABF S x ∆=，2BCF S x ∆=，
∵18ABCD S =四边形
∵+++18DCF ADF ABF BCF S S S S ∆∆∆∆=，即24218x x x x +++=
解得，2x =
即DCF S △=2
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等的关系证明AD =BF 是解答本题的关键．
24．已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,0A -、
()()3,0,0,3B C ，顶点为点D ．
(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；
(2)联结BD CD 、，试判断BCD 与AOC 是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点P ，使得45PAC ∠=．如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)2y x 2x 3=-++，顶点坐标为：()1,4D ；
(2)~AOC DCB ，证明见解析；
(3)存在点P ，57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，理由见解析． 【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：()()13y a x x =+-，将点C 代入解得1a =-，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出AOC △的三边长，BCD △的三边长，由勾股定理逆定理可得BCD
△为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P 使45PAC ∠=︒，作线段AC 的中垂线交AC 于点E ，交AP 于点F ，连接
CF ，可得90FEA ∠=︒，13,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，利用等腰直角三角形的性质可得AF FC =，
1
2EF AC ==AF FC ==(),F x y ，根据直角坐标系中两点
之间的距离利用勾股定理可得34x y +=，同理可得EF =代入消元法解方程即可确定点F 的坐标，然后求出直线AF 的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C ，
设抛物线解析式为：()()13y a x x =+-，
将点C 代入可得：()()30103a =+-，
解得：1a =-，
∴()()()2
2132314y x x x x x =-+-=-++=--+， ∴顶点坐标为：()1,4D ；
(2)
解：如图所示：
AOC △为直角三角形且三边长分别为：1AO =，3OC =，AC ==
BCD △的三边长分别为：
BC
CD ==，BD ==
∴222BC CD BD +=，
∴BCD △为直角三角形，
∵CD BC BD AO OC AC
=== ∴~AOC DCB ；
(3)
解：设存在点P 使45PAC ∠=︒，作线段AC 的中垂线交AC 于点E ，交AP 于点F ，连接CF ，如（2）中图：
∴90FEA ∠=︒，13,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∵45PAC ∠=︒，
∴90AFC ∠=︒，
∴AFC △为等腰直角三角形，
∴AF FC =，12EF AC ==
∴222AF FC AC +=，即222AF AF +=
解得：AF =
设(),F x y ，
∴AF =
CF = ∴()()222213x y x y ++=+-，
整理得：34x y +=∵，
EF = 即22
135222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵， 将∵代入∵整理得：2320y y -+=，
解得：11y =，22y =，
∴11x =，22x =-，
∴()1,1F 或()2,2F -（不符合题意舍去），
∴()1,1F ，()1,0A -，
设直线F A 解析式为：()0y kx b k =+≠，将两个点代入可得：
10k b k b =+⎧⎨=-+⎩
， 解得：1212
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1122
y x =+， ∴联立两个函数得：2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩①②
，
将∵代入∵得：2112322
x x x +=-++， 整理得：22350x x --=，
解得：11x =-，252x =
， 当52x =时，74
y =， ∴57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
25．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．
(1)求证：CE EF =；
(2)联结CF ，如果13
DP CF =，求ABP ∠的正切值；
(3)联结AF，如果AF AB
，求n的值．【答案】(1)证明见解析；
(2)2
3
；
(3)30
【解析】
【分析】
（1）作CG∵CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE∵△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；
（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF 和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∵BCE的正切值，再根据余角的关系证明∵ABP=∵BCE，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∵AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．
(1)
：如图所示，作CG∵CE，交FD延长线于G点，
∵CE∵BP，DF∵BP，CG∵CE，
∵∵EFG=∵FEC=∵ECG=∵BEC=90°，
∵四边形FECG为矩形，∵G=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∵∵BCD=90°，BC=DC，
∵∵BCD=∵BCE+∵ECD，∵ECG=∵ECD+∵DCG，
∵∵BCE+∵ECD =∵ECD+∵DCG，
即：∵BCE=∵DCG，
在△BCE和△DCG中，
BEC G BCE DCG BC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∵△BCE ∵△DCG (AAS )，
∵CE =CG ，
∵四边形FECG 为正方形，
∵CE =EF ；
(2)
解：如图所示，连接CF ，
由（1）知，CE =EF ，CE ∵EF ，则△CEF 为等腰直角三角形，
由旋转的性质得：∵P AD =n °，AP =AD ，
∵∵P AB =90°+n °，∵APD =12（180°-∵P AD ）=90°-1
2n °，
∵AP =AB ，
∵∵APB =12（180°-∵P AB ）=45°-12n °，
∵∵FPD =∵APD -∵APB =45°，
∵DF ∵AB ，
∵∵DFP =90°，
∵∵DFP 也为等腰直角三角形，PF =DF ，
∵∵DFP ∵∵CEF ， ∵
13DP CF =， ∵13PF DP FE CF ==， 设PF = DF =x ，则FE =CE =3x ，
由（1）知四边形CEFG 为正方形，
∵FG =FE =3x ，
∵DG =FG -DF =2x ，
∵△BCE ∵△DCG ，
∵BE =DG =2x ，
∵在Rt △BEC 中，22tan 33
BE x BCE CE x ∠===， ∵∵ABP +∵EBC =90°，∵EBC +∵BCE =90°，
∵∵ABP =∵BCE ， ∵2tan tan 3
ABP BCE ∠=∠=；
(3)
解：∵090n <<，
∵如图所示，连接AF 和对角线AC ，
由（2）可知，∵EFC =45°，∵EFD =90°，
∵∵CFD =45°，
∵AC 为正方形ABCD 的对角线，
∵∵CAD =45°，AC ，
∵∵CAD =∵CFD ，
∵点A 、C 、D 、F 四点共圆，
∵∵AFC =∵ADC =90°，
∵AF ， ∵AF =12AC ，
则在Rt △AFC 中，1sin 2
AF ACF AC ∠=
=， ∵∵ACF 为锐角，
∵∵ACF =30°，∵F AC =90°-30°=60°，
∵∵CAD=45°，
∵∵F AD=60°-45°=15°，
∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，
∵∵AFP∵∵AFD，
∵∵F AD=∵F AP=15°，
∵∵P AD=30°，
∵n=30．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．。