南山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10 B ．20
C ．30
D ．40
2． 已知集合（其中为虚数单位），，则（ ）23111
{1,(),,}122
i A i i i i -=-+-+2{1}B x x =<A B =
A ．
B ．
C ． {1}-{1}{-
D ．3． 集合,是的一个子集,当时,若有,则称为的一个“孤立
{}5,4,3,2,1,0=S A S A x ∈A x A x ∉+∉-11且x A 元素”.集合是的一个子集, 中含4个元素且中无“孤立元素”,这样的集合共有个B S B B B A.4 B. 5 C.6 D.74． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ）
A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2}
B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2}
C ．{x|x ＞﹣lg2}
D ．{x|x ＜﹣lg2}
5． 在正方体中， 分别为的中点，则下列直线中与直线 EF
相交
1111ABCD A B C D -,E F 1,BC BB 的是（
）
A ．直线
B ．直线
C. 直线
D ．直线1AA 11A B 11A D 11
B C 6． 已知a=5
，b=log 2，c=log 5，则（
）
A ．b ＞c ＞a
B ．a ＞b ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c 7． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（
）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
9． 已知不等式组表示的平面区域为，若内存在一点,使，则的取值
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x D D 00(,)P x y 001ax y +<a 范围为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．(,2)-∞(,1)-∞(2,)+∞(1,)
+∞10．设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a 的
值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
11．下列命题中正确的是（
）
（A ）若为真命题，则为真命题
p q ∨p q ∧（ B ） “，”是“
”的充分必要条件0a >0b >2b a
a b
+≥ （C ） 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠（D ） 命题，使得，则，使得:p 0R x ∃∈2
0010x x +-<:p ⌝R x ∀∈210
x x +-≥12．设a ＞0，b ＞0
，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
二、填空题
13．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，
f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，则
+
+…+
= ．
14．已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中{}n a 223n n a a =-2
6121a a a =∙12n n S -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的最大值为_________.15．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是
．
16．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．17．
= .
-2
331
1
+
log 6-log 4
2
（
18．若与共线，则y= ．
三、解答题
19．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
20．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

（1）求数列的通项公式。

（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.
21．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）2345
加工的时间y（小时） 2.534 4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线=bx+a ，其中b==，a=﹣b ．
22．在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，设
xOy (2,0)C 2
4y x A B ，．
11(,)A x y 22(,)B x y （1）求证：为定值；
12y y （2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程y AC 和弦长，如果不存在，说明理由．
23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y+2=0上．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
24．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.
()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈（1）若曲线与直线相切，求实数的值；()y f x =()y g x =m （2）记，求在上的最大值；()()()
h x f x g x =⋅()h x []0,1（3）当时，试比较与的大小.
0m =()
2f x e
-()g x
南山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++考点：分层抽样．2． 【答案】D 【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算3． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：，，，，，共6个。

故{}0,1,3,4{}0,1,3,5{}0,1,4,5{}0,2,3,5{}0,2,4,5{}1,2,4,5选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

4． 【答案】D
【解析】解：由题意可知f （x ）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜}，故可得f （10x ）＞0等价于﹣1＜10x ＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x ＞﹣1，而10x ＜可化为10x ＜
，即10x ＜10﹣lg2，
由指数函数的单调性可知：x ＜﹣lg2故选：D
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线都和直线为异面直线，和在同一个平11111,,AA A B A D EF 11B C EF 面内，且这两条直线不平行；所以直线和相交，故选D.11B C EF 考点：异面直线的概念与判断.6． 【答案】C 【解析】解：∵a=5＞1，b=log 2＜log 5=c ＜0，
∴a ＞c ＞b ．故选：C ．　
7． 【答案】D
【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，
∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得
=13．
故选：D ．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．　
8． 【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ）即：k360°+257°，（k ∈Z ）故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．　
9． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域如图所示，先求的最小值，当D z ax y =+1
2
a ≤时，，在点取得最小值；当时，，在点取
12a -≥-
z ax y =+1,0A （）a 12a >12a -<-z ax y =+11
,33
B （）得最小值．若内存在一点,使，则有的最小值小于，∴或
1133a +D 00(,)P x y 001ax y +<z ax y =+1121
a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩
，∴，选A ．12
111
3
3a a ⎧>⎪⎪⎨
⎪+<⎪⎩2a <10．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax ﹣y （a ＞0）得y=ax ﹣z ，∵a ＞0，∴目标函数的斜率k=a ＞0．平移直线y=ax ﹣z ，
由图象可知当直线y=ax ﹣z 和直线2x ﹣y+2=0平行时，当直线经过B 时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax ﹣z 和直线x ﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．此时a=．故选：B ．
11．【答案】D
【解析】对选项A ，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，
p q ∨,p q p q ∧
故选项A 错误；对于选项B ，
的充分必要条件是同号，故选项B 错误；命题“若2b a
a b
+≥,a b ，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C 错误；
2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠故选D ．12．【答案】B 【解析】解：∵是5a 与5b 的等比中项，∴5a •5b =（）2=5，
即5a+b =5，则a+b=1，
则
+
=（
+）（a+b ）=1+1++≥2+2
=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即
+
的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．　
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：点An （n ，
）（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，
=
，
=
，…， =
，
∴
++…+
=
+…+
=1﹣
=
，
故答案为：
．【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
14．【答案】【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
1,,,,n n a a d n S 式在解题中起到变量代换作用,而是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.1,a d 15．【答案】　（0，）∪（64，+∞）　．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），又f （x ）在[0，+∞）上为增函数，∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，∴x ＞64或0＜x ＜
．
即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}
故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．　
16．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）===，解得：tan α=1，∴α=．故答案为：
．【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
17．【答案】
332【解析】
试题分析：原式=。

23
3331334log log 16log 16log 1622+-=+=+=+=考点：指、对数运算。

18．【答案】　﹣6　．
【解析】解：若与共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键．
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中，
令x=y=0可得，f （0）=f （0）+f （0），
则f （0）=0，
（2）令y=﹣x ，得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），
又f （0）=0，则有0=f （x ）+f （﹣x ），
即可证得f （x ）为奇函数；
（3）因为f （x ）在R 上是增函数，又由（2）知f （x ）是奇函数，
f （k •3x ）＜﹣f （3x ﹣9x ﹣2）=f （﹣3x +9x +2），
即有k•3x＜﹣3x+9x+2，得，
又有，即有最小值2﹣1，
所以要使f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0恒成立，只要使即可，
故k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
20．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n=2，
当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。

（2）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，
当a n=4n﹣2时，S n==2n2，
令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，
当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
21．【答案】
【解析】解：（1）作出散点图如下：
…（3分）
（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）
=54，
x i y i =52.5
∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）
（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为.
1x =【解析】
（2 ，进而得时为定值.
1a =试题解析：（1）设直线的方程为，由AB 2my x =-22,4,
my x y x =-⎧⎨=⎩得，∴，
2480y my --=128y y =-因此有为定值．111]
128y y =-
（2）设存在直线：满足条件，则的中点，，x a =AC 112(
,22
x y E +AC =
因此以为直径圆的半径，点到直线的距离AC 12r AC ===E x a =，12||2
x d a +=-
所以所截弦长为==
．
=当，即时，弦长为定值2，这时直线方程为．
10a -=1a =1x =考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.23．【答案】
【解析】解：（1）∵S n =a n ﹣，
∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣﹣
，
即a n =3a n ﹣1，．
∵a 1=S 1=﹣，∴a 1=3．∴数列{a n }是等比数列，∴a n =3n ．
∵点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上，
∴b n+1﹣b n =2，
即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n ﹣1．
（2）∵c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n ，
∵T n =1×3+3×32+5×33+…+（2n ﹣3）3n ﹣1+（2n ﹣1）3n ，
∴3T n =1×32+3×33+5×34+…+（2n ﹣3）3n +（2n ﹣1）3n+1，
两式相减得：﹣2T n =3+2×（32+33+34+…+3n ）﹣（2n ﹣1）3n+1，
=﹣6﹣2（n ﹣1）3n+1，
∴T n =3+（n ﹣1）3n+1．
24．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；1m =-1e m e <
-()()max 1h x m e =-1e m e ≥-()max h x m =-（3）.
()()2f x e g x ->【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线与相切于点，
()x f x e =()g x x m =-()00,P x y 由，知，解得，()x f x e '=0
1x e =00x =又可求得点为，所以代入，得.
P ()0,1()g x x m =-1m =-（2）因为，所以.
()()x h x x m e =-()()()()
[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--①当，即时，，此时在上单调递增，
10m -≤1m ≤()0h x '≥()h x []0,1所以；()()()max 11h x h m e ==-②当即，当时，单调递减，
011m <-<12m <<()0,1x m ∈-()()0,h x h x '<当时，单调递增，.
()1,1x m ∈-()()0,h x h x '>()()()0,11h m h m e =-=-（i ）当，即时，；()1m m e -≥-21
e m e ≤<-()()max 0h x h m ==-
（ii ）当，即时，；()1m m e -<-11
e m e <<
-()()()max 11h x h m e ==-③当，即时，，此时在上单调递减，11m -≥2m ≥()0h x '≤()h x []0,1所以.
()()min 0h x h m ==-综上，当时，；1e m e <
-()()max 1h x m e =-当时，.1
e m e ≥-()max h x m =-（3）当时，，
0m =()()22,x f x e e e g x x --==①当时，显然；0x ≤()()2f x e
g x ->②当时，，
0x >()()222ln ln ,ln ln x f x e x e e e g x x ---===记函数，()221ln ln x x x e x e x e
φ-=-=⨯-则，可知在上单调递增，又由知，在()22111x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'()x φ'()0,+∞()()10,20φφ''()x φ'上有唯一实根，且，则，即（*），()0,+∞0x 012x <<()020010x x e x φ--'==0201x e x -=当时，单调递减；当时，单调递增，
()00,x x ∈()()0,x x φφ'<()0,x x ∈+∞()()0,x x φφ'>所以，()()0200ln x x x e
x φφ-≥=-结合（*）式，知，020
1x e x -=002ln x x -=-所以，()()()2200000000
121120x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>则，即，所以.()2ln 0x x e
x φ-=->2ln x e x ->2x e e x ->综上，.()
()2f x e g x ->试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．。