河南省三门峡市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析

河南省三门峡市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
2．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b
=+的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．5
3．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ）
A ．35C
B ．35A
C ．35
D ．53 4．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．设103i z i
=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+
B ．13i --
C ．13i +
D ．13i - 6．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，……，1()'()n n f x f x +=，x ∈N ，则2019()f x =（ ） A ．cos x
B ．cos x -
C ．sin x
D ．sin x - 7．求函数21y x x =-
- ） A ．[0，+∞） B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158
，+∞） 8．某几何体的三视图如图所示，当4a b +=时，这个几何体的体积为（）
A ．1
B ．12
C ．43
D ．23 9．设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ） A ． B ． C ． D ．
10．设X ～N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
11．已知ABC ∆为等腰三角形，满足3AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则
()AP AB AC ⋅+=
A ．有最大值8
B ．是定值2
C ．有最小值1
D ．是定值4
12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16
，女生喜欢抖音的人数占女生人数23若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人． （K 2≥k 1）
1．151 1．111 k 1
3.841 6.635 A ．12 B ．6 C ．11 D ．18
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．直线:1l y kx =+与圆2222240+-+--=x y ax a a 恒有交点，则实数a 的取值范围
是 .
14．已知(
)()25332m i m R i -=∈+其中，则实数m =_______.
15．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.
16．已知函数()sin cos x f x x x =-，23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最小值是__________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知函数()11f x x mx =++-.
（1）若1m =，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围；
（2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围.
18．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①
212i i +- ②4334i i -++ ③11i i
---+ （i 是虚数单位）
（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
19．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，AC BC ⊥，E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点.
（1）证明：平面BCE ⊥平面1BDC ；
（2）若2AC BC =，求二面角1C BD C --的余弦值.
20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为13x t y t
=⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2cos 4cos 0ρθθρ+-=.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 交于A ，B 两点，求11||||
PA PB +的值. 21．（6分）设点O 为坐标原点，椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，过点O 且斜率为16的直线与直线AB 相交于点M ，且13
MA BM =. （1）求椭圆E 的离心率e ；
（2）PQ 是圆C ：22
(2)(1)5x y -+-=的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程. 22．（8分）设函数()|23||1|f x x x =++-.
（1）解不等式()4f x >；
（2）若存在0312x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，，使不等式01()a f x +>成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．D
【解析】
【分析】
【详解】
解：对于A ，由图象可知当速度大于40km/h 时，乙车的燃油效率大于5km/L ，
∴当速度大于40km/h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；
对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；
对于C ，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L ，
即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；
对于D ，由图象可知当速度小于80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确
故选D ．
考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.
2．C
【解析】
【分析】 由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b
=
+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】
由题意可得： 14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
152⎛≥⨯+ ⎝92
=， 当且仅当24,33a b =
=时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92
. 故选：C.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
3．C
【解析】
分析：利用分布计数乘法原理解答即可.
详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是
3555 5.
⨯⨯= 故选C.
点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.
4．B
【解析】
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论.
详解：()2
11z i i -=+， ()()()221i i 1i
1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222
-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，位于第二象限，故选B.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．D
【解析】 试题分析：()()()
1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．
6．B
【解析】
【分析】
根据题意，依次求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）的值，分析可得f n+4（x ）＝f n （x ），据此可得f 2019（x ）＝f 3（x ），即可得答案．
【详解】
根据题意，()0f x ＝sinx ，f 1（x ）＝()0'f x ＝cosx ，
f 2（x ）＝()1'f x ＝﹣sinx ，
f 3（x ）＝()2'f x ＝﹣cosx ，
f 4（x ）＝()3'f x ＝sinx ，
则有f 1（x ）＝f 4（x ），f 2（x ）＝f 5（x ），……
则有f n+4（x ）＝f n （x ），
则f 2019（x ）＝f 3（x ）＝﹣cosx ；
故选：B ．
【点睛】
本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．
7．D
【解析】
【分析】
=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x
【详解】
=t ，t ≥0，
则x ＝t 2+1，
∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ．
【点睛】 本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．
8．B
【解析】
【分析】
三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．
【详解】
解：如图所示，可知6,1,,AC BD BC b AB a ====．
设,CD x AD y ==，
则222222
6,1,1x y x b y a +=+=+=， 消去22,x y 得2
22
()82a b a b ++=≥， 所以4a b +≤，
当且仅当2a b ==时等号成立，此时3,3x y ==，
所以111133322
V =⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题．
9．A
【解析】
由
，得，故其虚部为，故选A.
10．B
【解析】
分析：求出()10110.682610.34130.65872
P x <≤=-⨯=-=，即可得出结论. 详解：由题意得，P (X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，
∴P(－1＜X ＜3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，σ＝1，
∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.341 3，
故估计的个数为10000×(1－0.3413)＝6587，
故选：B.
点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性.
11．D
【解析】
【分析】
设AD 是等腰三角形的高.将AP 转化为AD DP +，将AB AC +转化为2AD ，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.
【详解】
设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC ⋅+=
()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=.所以选D.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
由题，设男生人数x ，然后列联表，求得观测值，可得x 的范围，再利用人数比为整数，可得结果.
【详解】
设男生人数为x ，则女生人数为
2x ， 则列联表如下：
若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则2 3.841K >
即2235()326636 3.841822
x x x x x x K x x x x ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 解得10.24x > 又因为,,,
236
x x x 为整数，所以男生至少有12人 故选A
【点睛】
本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．[]13
-，
【解析】
【分析】
【详解】
配方得22
()24x a y a -+=+，则2a >-，
由已知直线和圆相交或相切，且直线l 过定点（0,1），
只需点（0,1）在圆内或圆上，22(0)124a a -+≤+,则13a -≤≤， 综上所述a 的取值范围是[]13-，.
14．2或2-
【解析】
【分析】
=.
【详解】
22
==2592
m m
+=∴=±故答案为2或 2.
-
【点睛】
本题考查了复数的模的计算，属于基础题.
15．36
【解析】
【分析】
本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.
【详解】
问题中的x y z
､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．
∴共有2
9
36
C=种．
故答案为：36
【点睛】
本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题. 16．
4
32
π
--
【解析】
【分析】
计算导数，然后构造函数()cos sin
h x x x x
=+，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果.
【详解】
由题可知：'
2
cos si
()cos
co
n
s
f x x
x
x
x x
=-
+
令()cos sin
h x x x x
=+，
则()
'sin sin cos cos
h x x x x x x x
=-++=
由
23
,
34
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，所以cos0
x<
所以()
'0
h x<，则()
h x在
23
,
34
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
递减
所以()min 3333cos sin 4444h x h π
πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
(
)min 31024h x π⎫=
->⎪⎝⎭，又cos 0x < 则'2cos sin ()cos 0cos f x x x x x x
=-+> 所以函数()f x 在23,34x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦递增 所以min 2223()sin 233cos 3
f x f π
πππ
⎛⎫==- ⎪⎝⎭
所以min 243()132
f x π
π==--
故答案为：43π-
【点睛】
本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17． (1)见解析;(2)(,1][1)-∞-⋃+∞.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义求出x 的范围即可；
（2）问题转化为当0x >时，11mx x -≥-，结合函数的性质得到关于m 的不等式，解出即可.
【详解】
（1）()()()11112f x x x x x =++-≥+--=，
当且仅当()()110x x +-≤时取等号，
故()f x 的最小值为2，此时x 的取值范围是[]
1,1-.
（2）0x ≤时，()2f x x ≥显然成立，所以此时m R ∈； 0x >时，由()112f x x mx x =++-≥，得11mx x -≥-. 由1y mx =-及1y x =-的图象可得1m ≥且11m
≤，
解得1m ≥或1m ≤-.综上所述，m 的取值范围是][(),11-∞-⋃+∞
【点睛】
该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，绝对值三角不等式，分类讨论思想，灵活掌握基础知识是解题的关键.
18．（I ）i （II ）结论为
a bi i
b ai +=-（,a b ∈R 且,a b 不同时为零），证明见解析 【解析】
【分析】
（Ⅰ）将三个式子化简答案都为i .
（II ）观察结构归纳结论为
a bi i
b ai
+=-，再利用复数的计算证明结论. 【详解】 （I ）2(2)(12)24212(12)(12)5
i i i i i i i i i +++++-===--+ 43(43)(34)121691234(34)(34)25
i i i i i i i i i -+-+--+++===++- 1(1)(1)1211(1)(1)2
i i i i i i i i ------+-===-+-+-- （II ）根据三个式子的结构特征及（I ）的计算结果，可以得到：
a bi i
b ai
+=-（,a b ∈R 且,a b 不同时为零） 下面进行证明： 要证明a bi i b ai
+=- 只需证()a bi i b ai +=-
只需证a bi a bi +=+ 因为上式成立，所以a bi i b ai
+=-成立. （或直接利用复数的乘除运算得出结果）
【点睛】
本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.
19．（1）证明见解析；（2）
13
. 【解析】
【分析】
(1)由题意可得BC ⊥平面11ACC A 即可得1BC C D ⊥，再利用1ACE CC D ≅△△可以得到1CE C D ⊥，
由线面垂直判断定理可得1C D ⊥平面BCE ，然后根据面面垂直判断定理可得结论；
(2)先以C 点为原点建立空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，写出相关点的坐标，再求出平面1BDC 的法向量和平面CBD 的法向量，由数量积公式求出二面角1C BD C --的余弦值.
【详解】
（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，AC BC ⊥，
∴BC ⊥平面11ACC A ，
∴1BC C D ⊥，
∵E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点，
∴1ACE CC D ≅△△，
∴1CE C D ⊥，
∵BC CE C =，
∴1C D ⊥平面BCE ，
∵1C D ⊂平面1BDC ，
∴平面BCE ⊥平面1BDC .
（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，如图：
设1BC =，则()1,0,0D ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，
()1,1,0DB =-，()11,0,2DC =-，
设平面1BDC 的法向量为(),,m x y z =，则1·0·
0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令2x =得()2,2,1m =，
又平面CBD 的法向量()0,0,1n =，
∴1cos ,34m n m n m n →→→→===+⋅，
即二面角1C BD C --的余弦值为
13. 【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，向量法求二面角的余弦值，考查了学生的逻辑推理以及计算能力，属于一般题.
20．
10y --=；24y x =.
(2) 2
+.
【解析】
分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线2C ，将方程两边同时乘以ρ，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.
详解：（1）由,1x t
y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 可得1C 10y --=，
又2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，即222
cos 4cos 0ρθρθρ+-=
，
所以2C 的直角坐标方程为24y x =． （2）1C 的参数方程可化为1,21x t y
⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）， 代入2C 得：(234240t t
-++=，
设A ，B 对应的直线1C 的参数分别为1t ，2t ， (12423t t +=，1243t t =，所以
10t >，20t >，
所以(1212124211113243
t t PA PB t t t t ++=+===．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦
达定理的应用以及直线的参数方程是否是标准式.
21．（2）22
1164
x y +=. 【解析】
分析：（1）运用向量的坐标运算，可得M 的坐标，进而得到直线OM 的斜率，进而得证；
（2）由（1）知2a b =，椭圆方程设为22244x y b +=，设PQ 的方程，与椭圆联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程.
详解：（1）∵(),0A a ，()0,B b ，13MA BM =，所以31,44a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴136
OM b k a ==，解得2a b =，
于是c e a
===E 的离心率e （2）由（1）知2a b =，∴椭圆E 的方程为222214x y b b
+=即22244x y b +=①
依题意，圆心()2,1C 是线段PQ 的中点，且PQ =由对称性可知，PQ 与x 轴不垂直，设其直线方程为()21y k x =-+，代入①得：
()()()22221482142140k x k k x k b +--+--=，
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()
12282114k k x x k -+=+，()22
122421414k b x x k --=+， 由1222x x +=得()2821414k k k
-=+，解得12k =-. 于是21282x x b =-.于是
12PQ x =- ==解得：24b =，216a =，∴椭圆E 的方程为22
1164x y +=. 点睛：本题考查椭圆的方程和性质，考查向量共线的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理以及弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题.
22． (1){|20}x x x <->或；(2)32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，.
【解析】
试题分析：
(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为{|20}x x x -或
(2)原问题等价于()min 1a f x +>，结合(1)中的结论可得32x =-时，()min 52
f x =，则实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
试题解析： （1）由题得，()33223412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩
，，，
， 则有32324x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或31244
x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩ 解得2x <-或01x <≤或1x >，
综上所述，不等式()4f x >的解集为{|20}x x x -或
（2）存在0312x ，
⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，使不等式()01a f x +>成立等价于()min 1a f x +> 由（1）知，3
12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()4f x x =+， ∴32x =-
时，()min 52
f x =， 故512a +>，即32a > ∴实数a 的取值范围为3
2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，。