(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷

1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是.

2、设a b c , n N ，且 1 1

c n 恒成立，则 n 的最大值为

a b b a c

3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是

4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ，

2 2

c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是

cos

sin

5、不等式4x 2 2 3 x 2000

.

的解集是

1999

6、函数f x x 2 2x

2 2 x 1 的最小值为

2x

7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是.

a b

8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是．

9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值．

1 1

L 1

10、求s 1 ，则 s 的整数部分

2 3 106

11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯）

12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ．

b c c a a b 2

（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案

1、解法 1

x

a b

b

a ， y

b

b a

a .

a b

b

b

b

a

0 a b,

a b b b b a, x y .

解法 2

x

a b

b

b b a

x

y

b

b a

a b

， a b b a,

1, x y .

b

y

解法 3

1 1

1

1

a b

b

b

b a

x

y

a b

b

b

b a

a

a

a b

b a

1 1

0, x y .

=

a

0, x

y

解法 4 原问题等价于比较

a b

b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2

y 2 ( x y) 2 , 得

2 （ a b

b

a )2 2(a

b b a)

4b ， a b

b a 2 b .

a b

b a ,

a b b a 2 b , x y .

解法 5 如图 1，在函数 y

x 的图象上取三个不同的

y

C

点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）.

B

由图象，显然有 k BC

k AB ，即 a b

b

b b a ， A

(a b) b

b (b a)

即 a b b

b b a ，亦即 x y .

O

b-a

b

b+a

x

a 图 1

解法 6

令 f (t)

a t

t ， f (t )

单

a t

t

调递减，而 b b a ，

f (b) f (b a) ，即 a b

b b

b a ， x

y .

2、解法 1

原式

a c a c n ． n a c a c

．而

a

c a c

a b

b c

a b b c

min

a

b b c

a b b c

b c a b 2 + b

c a b 4 ，且当

b c a

b

，即 a c

2b

a b

b c

a b b c

a b b c

时取等号．

a c a c 4 ． n 4．故选 C ．

a b b c min

解法 2

a b c ， a b 0, b c 0,a c 0 ，已知不等式化为

a 2

a

2 a c 2 a c 2

n

c

．由

c

2

4 ，即

4 ，

a b b c

b b c

a b b

a b b

c

a

c

min

2

故由已知得 n

4，选 C ．

解 法 3

由

a b c

，

知 a b 0,b c 0, a

c 0

， 有

n

a c

1 1

．

又

a b b c

a

c

1

1

a b

b c

1

1

1

1 2

4 ，

a b b c

a b

b c

即

a c

1 1

4 ，由题意， n

4．故选 C ．

a b b c

min

解法 4

a b c ， a b

0, b c 0, a c 0 ． 已知不等式可变形为

a 2

a c 2

n

c

．记 k

，

a b b c

a b b

c

a b b c 2

2 a b

b c 2

则 k

4 ．由题意， n 4．故选 C ．

a

b b c

a b b

c

解法 5

a b c

a 1

b 0, 1 0. 于是

b c

1 1

4

4 ．比较得 n 4．故选 C ．

a b

b c

a b

b c

a

c

x 2 1 0 x 2 1 0

x 2 1 0

x 2

1 0 3、解法 1 题设等价于

m 2x 1 或 m

2x 1 或

2x

，即 1 2x 1

或

x 2 1 x 2 1

1 0

x 2

1

x 2 1 0 x 2 1 0

x 2

3 1 x 1或 x

1 ，即 x

( 3

1,2) .

2x 1

或

1

,所以 1

或

1

1

2x

x 2

解法 2

已知不等式即 x

2

1 m 2x 1 0 ，令 f (m)

x 2 1 m

2x 1 ，则

当 x 2 1 0 ，即 x

1 时， f (m) 是 m 的一次函数，因为 m 1 ，即 1 m 1 时不

等 式 恒 成 立 ， 所 以 f ( m) 在 1,1 上 的 图 象 恒 在 m 轴 的 下 方 ， 故 有