数论与有限域 第二章

例如
{7/6}=7/6-[7/6]=7/6-1=1/6， {-7/8}=-7/8-[-7/8]=-7/8-(-1)=1/8。
一、高斯函数[x]的性质
定理2.2.1 设x与y是实数，则
(i) 若x≤y，则[x]≤[y]； (ii) 若x=m+v，m是整数，0≤v<1，则m=[x]，v={x}。 特别地，当0≤x<1时，[x]=0，{x}=x； (iii) 对任意整数m有：[x+m]=[x]+m，{x+m}={x}； (iv) [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1，其中等号有且仅有一 个成立；
s
且 a a (n) ( p1a1 p 2 2 p sas ) ( p1a1 ) ( p 2 2 ) ( p sas ) 。
二、除数函数
例2.1.6 利用定理2.1.3我们可以得到
(2100) (22 3527) (2 1)(1 1)( 2 1)(1 1) 48
一、高斯函数[x]的性质
定义2.2.1 一个实数x的高斯函数（也称为下取整函数， 地板（floor）函数），是指不超过x的最大整数，记 为[x]，即[x]≤x<[x]+1。 例如 [3.6]=3，[-3.1]=-4，[π]=3，[-3]=-3，[0]=0。 若记x的小数部分为{x}，则 {x}=x-[x]，且 0≤{x}<1， 同时x是整数的充要条件是{x}=0。
一、高斯函数[x]的性质
定理2.2.1 设x与y是实数，则 (vii) 不小于x的最小整数是-[-x]； (viii)小于x的最大整数是-[-x]-1； (ix) 大于x的最小整数是[x]+1； (x) 离x最近的整数是[x+1/2]和-[-x+1/2]，当x+1/2是整 数时，这两个不同的整数和x等距；当x+1/2不是整 数时，它们相等； (xi) 若x≥0，则不超过x的正整数n的个数等于[x]， 即
二、除数函数
定义2.1.2 除数和函数σ(n)定义为自然数n的所有正因数 的和。 例2.1.3σ(1)=1；σ(2)=3；σ(3)=4； σ(4)=7；σ(10)=18；σ(12)=28，…。 定义2.1.3 除数个数函数τ(n)定义为自然数n的正因数的 个数。 例2.1.4 τ(1)=1；τ(2)=2；τ(3)=2； τ(4)=3；τ(10)=4；τ(12)=6，…。 易知除数和函数σ(n)与除数个数函数τ(n)以求和记号可 d 以分别表示为 σ(n)= 与τ(n)= 1
一、高斯函数[x]的性质
一、高斯函数[x]的性质
(vii) 不小于x的最小整数是-[-x]； 证明：设不小于x的最小整数是a， a-1<x≤a，因此， -a≤-x<-a+1，所以 -a=[-x]，即 a=-[-x]。
(viii)小于x的最大整数是-[-x]-1； (ix) 大于x的最小整数是[x]+1；
34 1 5 3 1 7 2 1 (4725) ( 33527) 40 31 8 9920 31 51 71
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4725) (3 5 7) ( 3 1)( 2 1)(1 1) 24
3 2
第二节 高斯函数[x]
一、高斯函数[x]的性质 二、n！的标准分解式
第二章 数论函数
第一节 积性函数
一、积性函数的定义 二、除数函数
一、积性函数的定义
定义2.1.1 设正整数m与n互素，若f(mn)=f(m)f(n)，则称 数论函数f为积性函数。更一般的，若对所有的正整 数m, n都有f(mn)=f(m)f(n)，则称数论函数f为完全积 性函数。 例2.1.1 若函数f在任意正整数n处的函数值都为1，即 nZ+ ，f(n)=1，则函数f是完全积性函数；而若函 数f在任意正整数n处的函数值都为正整数n自身，即 nZ+，f(n)=n，则函数f也是完全积性函数。 证明：由于对所有的正整数m与n都有f(mn)=1， f(n)=1，f(m)=1，进而f(mn)=f(m)f(n)，因而函数f是 完全积性函数。 类似地可以证明函数f(n)=n也是完全积性函数。
s
且 ( n) (a1 1)( a2 1)(a s 1) (a j 1) j 1 证明：由于σ(n)与τ(n)都是积性函数，因而有
( n) ( p p p ) ( p ) ( p ) ( p )
a1 1 a2 2 as s a1 1 a2 2 as s
x Z [ x ], x Z { x }, [ x ] [ x ] 1, x Z 及 { x } { x } 1, x Z (v) ＋ (vi) 对正整数m有 x x ； m m
；
二、除数函数
定理2.1.2 若f是积性函数，则f的求和函数 F (n) f (d ) d |n 也是积性函数。 证明：需要证明：对于相对互素的正整数m与n，应有 F(mn)=F(m)F(n)。 因而首先假设(m,n)=1。此时由第一章的引理1.3.6我们知 道mn的每个因子d都可以唯一地写成m的一个因子d1 与n的一个因子d2的乘积，且(d1,d2)=1。 又由f的求和函数的定义2.1.4有 F (mn) f (d，进而 )
d |n
d |n
二、除数函数
定义2.1.4 设f是数论函数，则表达式 F (n) f (d ) d |n 表述了对n的各正因子d的函数值f(d)求和的结果，称函 数F为数论函数f的求和函数。 例2.1.5 若数论函数f(d)=5d+1，则对于f的求和函数F有 F(15)=f(1)+f(3)+f(5)+f(15) =(5×1+1)+(5×3+1)+(5×5+1)+(5×15+1) =128。
二、除数函数
定理2.1.3 设正整数n有素分解式 则
( n)
p
a1 1 1 a2 1 2 a s 1 s
as a a n p1 1 p2 2 p， s
a j 1 j
p 1 p 1 1 p 1 p1 1 p2 1 ps 1 pj 1 j 1
a1 a2 as
1 2 s
1
2
k
k 1
a a a a f ( n) f ( p1 1 ) f ( p2 2 ) f ( pk k ) f ( pk k 11 ) 因而
一、积性函数的定义
例2.1.2 计算数论函数f(d)=d5在d=12时的函数值。 解：首先由于对所有的正整数m, n都有 f(mn)=(mn)5，f(n)=n5，f(m)=m5， 进而 f(mn)=f(m)f(n)， 即数论函数f(d)=d5是完全积性函数。 又12=22×3，因而 f(12)=f(22) f(3)，即 125=(22)5×(3)5=248832。
(v)
x Z [ x ], [ x ] [ x ] 1, x Z 及
x Z { x }, { x } ＋ { x } 1, x Z ；
证明：x为整数时显然成立，当x不是整数时，
(vi) 对正整数m有 x x ； m m 证明：由带余数除法知，存在整数q，r使得 [x]=qm+r，0≤r<m，即 [x]/m=q+r/m，0≤r/m<1， [[x]/m]=q； 另一方面 x/m=[x]/m+{x}/m=q+({x}+r)/m， 注意到0≤{x}<1，0≤r<m，由于r是整数，因而 0≤r≤m-1， ∴0≤({x}+r)/m<1， [x/m]=q。
若{x}<1/2，则离x最近的整数是[x]，又 x+1/2=[x]+{x}+1/2，0≤{x}+1/2<1，因而[x]=[x+1/2]； II. 若1/2<{x}<1，则离x最近的整数是[x]+1，又 x+1/2=[x]+1+{x}-1/2，0<{x}-1/2<1，因而 [x]+1= [x+1/2]， I.
一、积性函数的定义
定理2.1.1 设正整数n有素分解式 n p1 p2 ps，则积性 a a a f ( n) f ( p1 ) f ( p2 ) f ( ps ) 函数f的函数值 。 证明：对正整数n的素分解式中不同素因子的个数进行数 学归纳。 a n ，则结论显然成 p1 1 若n的素分解式中只有素因子p1，即 立。 假设n的素分解式中有k个不同素因子时结论成立。 接下来假设n的素分解式中有k+1个不同的素因子， a a a a a a a 即 n p1 1 p2 2 pk k pk k 11 。则由( p1a p2 pk , pk 1 ) 1以及 函数f的积性，可以得到 a a a a f(n)= f ( p1 1 p2 2 pk k ) f ( pk k 11 ) 由归纳假设 a a a a a a f ( p1 1 p2 2 pk k ) f ( p1 1 ) f ( p2 2 ) f ( pk k )
一、高斯函数[x]的性质
(x) 离x最近的整数是[x+1/2]和-[-x+1/2]，当x+1/2是整 数时，这两个不同的整数和x等距；当x+1/2不是整 数时，它们相等； 证明：离x最近的整数必在[x]和[x]+1之中， a) 当x+1/2是整数时， [x]+1=[x+1/2]，[x]=-[-x+1/2]，且它们和x等距； b) 当x+1/2不是整数时，
一、高斯函数[x]的性质